小升初-数学-几何-五大几何模型

1、【.一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等：两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比：夹在一组平行线之间的等积变形，如右图Sacd=Smcd ：反之，如果S”=S “e，则可知直线A5平行于CO.等底等高的两个平行四边形而积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；三角形而积等于与它等底等高的平行四边形而积的一半：两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于 它们的高之比.二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘

2、积之比.S, . : S. =（ABx AC）:（AD x AE） cm 人，）匚A三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: $ :S? =Sq :S3或者S|XS3=S2XSjAO：0C = （y+S2）： +S3）蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可 以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对 应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）: ®S:S,=a2：b2 SX：S3：S2：S4= a2 ：b2 ： ab： ah .S的对应份数为（a + b）2.四、相似模型（一）金

3、字塔模型（二）沙漏模型SAF-.AG2.所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理（燕尾定理） 有一条公共边的三角形叫做共边三角形。共边定理：设直

4、线AB与PQ交于点M,则斗改=仪QM(1)(2)B特殊情况：当PQAB时，易知aPAB与AQAB的高相等，从而SZPABWZQAB危初题隔窗一、三角形相似模型【例1】 图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少 平方厘米？【巩固】如图，四边形A3C。和"GH都是平行四边形，四边形ABC。的面积是16, BG:GC = 3:l,则四边形EFGH的面积=【例2】 已知三角形ABC的面积为a, AF:FC = 2:1, £是8。的中点，且即 5C ,交CD于G ,求阴影部分的面积.【巩固】图中A3C。是边长为的正方形，从G到正方形顶点C、。连成一

5、个三角形，已知这个三角形在4?上截得的长度为4cm,那么三角形GDC的面积是多少?【例3】 如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4,那么 阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？【巩固】A3CD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、尸分别为4?、8c的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米.二、蝴蝶模型【例4】 如图所示，长方形ABC。内的阴影部分的面积之和为70, AB=8, AD二15四边形EFGO的 面积为.【巩固】如图5所示，矩形板9的面积是24平方厘米，、三角形被V与三角形6CV的面积之和是7. 8平方厘米，则四边形月姒V的面积是平方厘米。D【例5】 如图

6、，AA8C是等腰直角三角形，O&G是正方形，线段4?与CD相交于K点.已知正方形O£FG的面积48, AK:KB = 1:3,则的面积是多少？D A G【巩固】如图所示，A3C。是梯形，A4PE面积是L8, &S/的面积是9, ABCF的面积是27.那 么阴影MEC面积是多少？【例6】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形 的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中 的阴影图形，那么阴影部分的面积为【巩固】下图中，四边形A3C。都是边长为1的正方形，£、/、G、分别是反，BC, CD,0A的中

7、点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数”，那么, n(1+ n)的值等卜.三、共角定理(燕尾定理)【例7】 如图所示，在四边形ABC。中，AB = 3BE, AD = 3AF f四边形血下的面积是12 ,那 么平行四边形BODC的面积为.【巩固】正六边形A，&, 4，4，4，4的面积是2009平方厘米，用，B2,层，与，层，叫平方厘米.分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是【例8】 已知四边形A8C£>,为正方形，$'=1:8,。与是两个正方形的边长，求【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，BD = DE = EC, CF =

8、FG = GA,三角形ABC被分成9部 分，请写出这9部分的面积各是多少？【例 9】 如右图，面积为 1 的 ZVIBC 中，BD:DE:EC = :2: , CF: FG:G4 = 1:2:1 ,AH:2B = 1:2:1,求阴影部分面积.A【巩固】如图，A43c的面积为1,点。、上是8c边的三等分点，点/、G是AC边的三等分点，那么四边形1K/的面积是多少？【例10如图，面积为1的三角形板中，D、E、F、G、H、1分别是血、BC. CA的三等分点，求阴影部分面积.【巩固】如图，面积为1的三角形板中，D、E、尸、G、H、/分别是四、BC. CA的三等分点,求中心六边形面积.DHG【随练1】如

9、图，在正方形A3c。中，E、b分别在BC与CD上，且CE = 2BE, CF = 2DF,连 接“、相交于点G,过G作MN、尸。得到两个正方形A/GQA和PCNG,设正方形MGQA的面积为,正方形PCNG的面积为邑，则5；应=【随练2】如图所示，三角形AEF,三角形BDF,三角形BCD,都是正三角形，其中AE:BD=1:3, 三角形AEF的面积是1.求阴影部分的面积。【作业1】 如图，正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少?【作业2】 如图，已知。是8C中点，£是C。的中点，是AC的中点.三角形ABC由这6部分组成，其中比多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？【作业3】 如下图，在梯形A3C。中，4?与8平行，且CO = 2AB,点£、尸分别是4?和8C 的中点，已知阴影四边形KW/W的面积是54平方厘米，则梯形ABCO的面积是 平方厘米.【作业4】一个等腰直角三角形和一个正方形如图撰放，