高等数学 上下册5_3 定积分的换元积分法和分部积分法ppt课件

1、 定理定理 设函数设函数( )f x在区间在区间, a b上连续，变换上连续，变换( )xt满满足：足： （1 1）( )a ， ( )b ； （2 2）在区间）在区间, （或（或, ）上，）上，( ) t单调且有连续单调且有连续的导数，的导数， 则有则有 ( )d( )( )dbaf xxfttt. . 上式称为定积分的换元公式上式称为定积分的换元公式. . 第三节第三节 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法 在不定积分中，换元积分法和分部积分法是两种非常在不定积分中，换元积分法和分部积分法是两种非常重要的方法，本节将讨论这两种方法在定积分中的运用，重要的方法，本节将

2、讨论这两种方法在定积分中的运用，并导出几个公式并导出几个公式. .一一 、定积分的换元积分法、定积分的换元积分法 解解 设设54xt， 则则211(5),dd42xtxt t . .当当1x 时时，3t ， 当当1x 时时，1t ； 当当 t t 从从 3 3 变变到到 1 1 时时，21(5)4xt单单调调地地从从- -1 1 变变到到 1 1. .于于是是由由定定积积分分换换元元公公式式，得得 21113511d()d4254xtxtttx 1231331(5)d81 1(5 )8 316tttt 例例 1 1 求求11d54xxx 本本例例中中，54tx是是变变换换21(5)4xt在在积

3、积分分区区间间上上的的反反函函数数. .由由于于存存在在反反函函数数的的连连续续函函数数一一定定单单调调，因因此此，只只要要能能写写出出变变换换的的反反函函数数，就就不不必必再再检检验验变变换换的的单单调调性性. .今今后后作作定定积积分分换换元元时时，通通常常都都写写出出它它的的反反函函数数，不不再再检检验验其其单单调调性性. . 由由例例 1 可可见见， 不不定定积积分分的的换换元元法法与与定定积积分分的的换换元元法法的的区区别别在在于于：不不定定积积分分的的换换元元法法在在求求得得关关于于新新变变量量 t 的的积积分分后后，必必须须代代回回原原变变量量 x，而而定定积积分分的的换换元元法

4、法在在积积分分变变量量由由 x 换换成成 t 的的同同时时，其其积积分分限限也也由由 x=a 和和 xb相相应应地地换换成成t和和t， 在在完完成成关关于于变变量量 t 的的积积分分后后， 直直接接用用 t 的的上上下下限限 和和 代代入入计计算算定定积积分分的的值值， 而而不不必必代代回回原原变变量量. 解解 设设sinxt， 取， 取arcsintx， 则， 则dcos dxt t， 当， 当12x 时，时，6t ，当，当22x 时，时，4t . .于是于是 224122226dcosdsincos1xttttxx 24466csc dcot31t tt 例例 3 3 求求222d1xx

5、x . 例例 2 2 求求221222d1xxx 解解 设设1sec (0),arccos(1)2xtttxx 则则dsec tan dxtt t，当，当2x时，时，3t ，当，当2x 时，时，4t . .于是于是 24223d1sec tan dsec tan1xtt tttx x 43d4312t . . 换元公式也可换元公式也可以反过来使用，即以反过来使用，即 ( )( )d( )dbafxx xf tt， 其中其中 ( ),( ),( )txab 这这时时，通通常常不不写写出出中中间间变变量量t，而而写写作作 ( )( )d( ) d ( )bbaafxx xfxx. . 注注意意这这

6、里里积积分分上上下下限限不不作作变变更更，如如上上节节例例 8 8、例例 9 9 的的表表述述. .下下面面再再举举一一例例. . 例例 4 4 求求210edxxx. . 解解 210edxxx2211220011ed()ed()22xxxx 211011e(1 e )22x . . 可可见见，这这种种计计算算法法对对应应于于不不定定积积分分的的第第一一类类换换元元法法，即即凑凑微微分分法法. . 设设( )u x和和( )v x在区间在区间, a b上有连续的导数，由微上有连续的导数，由微分运算法则，有分运算法则，有 d()ddu vu vv u， 移项得移项得 dd()du vuvv u

7、 两边在区间两边在区间, a b上积分，得上积分，得 dd()dbbbaaau vuvv u. . 因因d()bbaauvuv故故 ddbbbaaau vuvv u， 上式称为上式称为定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式. . 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 解解 00cos dd(sin )xx xxx 00sinsin dxxx x 00cos2x 例例 6 6 求求0cos dxx x 可见，定积分的分部积分法，本质上是先利用不可见，定积分的分部积分法，本质上是先利用不定积分的分部积分法求出原函数，再用牛顿定积分的分部积分法求出原函数，再用牛顿- -莱布尼莱布尼茨公式求

8、得结果，这两者的差别在于定积分经分部积茨公式求得结果，这两者的差别在于定积分经分部积分后，积出部分就代入上下限，即积出一步代一步，分后，积出部分就代入上下限，即积出一步代一步，不用等到最后一同代不用等到最后一同代. . 解解 120ln(1)dxxx 112220012ln(1)(1)d1)21)xxxxxxxxx 120ln(12)d1xxx12201ln(12)d(x +1)21xx 120ln(12)1ln(12)21x 例例 7 7 求求120ln(1)dxxx. . 1.1.设设( )f x在关于原点对称的区间在关于原点对称的区间, a a上可积，则上可积，则 (1)(1)当当( )

9、f x为奇函数时，为奇函数时，( )d0aaf xx； (2)(2)当当( )f x为偶函数时，为偶函数时，0( )d2( )daaaf xxf xx. . 解解 11112220000e dd(e)e2 e dxxxxxxxxxx 111001110111e + 2 ( e)2( e)de2e2e3e2(e1)25exxxxx 三、定积分的几个常用公式三、定积分的几个常用公式 例例 8 8 求求120e dxxx. . 当当( )f x为为奇奇函函数数时时，()( )0fxf x，因因此此 ( )d0aaf xx 当当( )f x为为偶偶函函数数时时()( )fxf x，得得 0( )d2(

10、 )daaaf xxf xx. 证证 由由定定积积分分的的性性质质 3 3，有有 00( )d( )d( )daaaaf xxf xxf xx， 对对积积分分0( )daf xx， 令令xt ， 则则ddxt ， 当当xa 时时，ta，当当0 x 时时，0t . .于于是是 0( )daf xx000()( d )()d()daaafttfttfxx， 从从而而 0( )d()( ) daaaf xxfxf xx. . 解解 222222222coscosddd1 sin1 sin1 sinxxxxxxxxxx， 右右边边第第一一个个积积分分的的被被积积函函数数21 sinxx是是奇奇函函数数

11、，第第二二个个积积分分的的被被积积函函数数2cos1 sinxx是是偶偶函函数数，且且积积分分区区间间 ,2 2关关于于原原点点对对称称，故故 22222200220coscos1d02d2d(sin )1 sin1 sin1 sin2arctan(sin )2xxxxxxxxxx 例例 9 9 求求222cosd1 sinxxxx 证证 由定积分性质由定积分性质 3 3，有，有 00( )d( )d( )d( )da TTa TaaTf xxf xxf xxf xx. . 对右边第三个积分，令对右边第三个积分，令xtT ，则，则 ddxt，当，当xT时，时，0t ，当，当xaT时，时，ta，并注意到，并注意到()( )f tTf t，得得 00( )d()d( )da Taaaf xxf tTxf tt， 于是于是 0000( )d( )d( )d( )d( )da TTaTaaf xxf xxf xxf ttf xx. . 2. 设设( )f x是是以以 T 为为周周期期的的周周期期函函数数，且且可可积积，则则对对任任一一实实数数