数学物理方法第四版(梁昆淼)期末总结

1、1教教 材材：梁昆淼编写的梁昆淼编写的数学物理方法数学物理方法第四版第四版 内内 容容第一篇第一篇 复变函数论复变函数论第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程数数 学学 物物 理理 方方 法法2第一章第一章 复变函数复变函数1 1、复数的定义、复数的定义一、复数一、复数zxRezyIm实部实部： 虚部虚部： 模模： 22yxz辐角辐角： kzArgz2arg), 2, 1, 0(k主辐角：主辐角： )(argxyarctgz ,2arg0z共轭复数共轭复数:iyxz*zxiyiyxz三角式三角式)sin(cosiziez 指数式指数式代数式代数式* *复数三种表示式之间的转换复数三种表示式之间

2、的转换 32、复数的运算、复数的运算: : 加、减、乘、除、乘方、开方加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法、加法和减法 )()(212121yyixxzz111iyxz222iyxz(2)、乘法和除法、乘法和除法 )(221121iyxiyxzz)()(12212121yxyxiyyxx22222211)(yxiyxiyx2222211222222121yxyxyxiyxyyxx*22*21zzzz21zz4(2)、乘法和除法、乘法和除法 两复数相除就是把模数相除两复数相除就是把模数相除, , 辐角相减。辐角相减。)sin()cos(21212121izz)(2121ie121111

3、122222(cossin)(cossin)iiziezie1 2121212cos()sin()z zi )(2121ie 两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘, , 辐角相加辐角相加; ;5(3) 复数的乘方和复数的乘方和开方开方ninez)(inne)sin(cosninn或或( n为正整数的情况为正整数的情况)12 2 cossinnnkkzinn)1,2, 1,0( nknkine2 复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便或指数式往往比代数式来得方便。 棣莫弗公式棣莫弗公式： nininsincos)s

4、in(cos6二、六种初等复变函数二、六种初等复变函数： 1. 幂函数幂函数nzw 2 .指数函数指数函数 zew 周期为周期为2 i， 3. 3. 三角函数三角函数cos,2izizeezsin,2izizeezi周期为周期为2 74、双曲函数、双曲函数 2zzeeshz2zzeechz5、根式函数、根式函数 iez nkinew2)(,1210nk周期为周期为2 i6、对数函数、对数函数 zwlnln ziArgzkzArgz2arg, 10 k8222zzxy13例例1：已知已知 ，则，则 。23zizz13例例2：复数：复数ez 的模为的模为 ，辐角为，辐角为 . xe2,0, 1,

5、2,ykk zx iyeexiye e9三、解析函数三、解析函数),(),()(yxivyxuzf1 1、柯西、柯西- -黎曼方程黎曼方程 xvyuyvxu直角坐标系：直角坐标系：极坐标系：极坐标系：vuvu112 2、解析函数性质：、解析函数性质： (1)、若、若 是解析函数，则是解析函数，则 。 ),(),()(yxivyxuzf0vu(2)、若函数、若函数 在区域在区域 B上解析，则上解析，则 u和和v必为必为B上的上的相互共轭调和函数相互共轭调和函数。 ivuzf)(103 3、构建解析函数：、构建解析函数： 给出一个二元调和函数作为解析函数的实部给出一个二元调和函数作为解析函数的实部

6、或虚部，通过或虚部，通过CR条件求出该解析函数的虚部或条件求出该解析函数的虚部或实部，从而写出这个解析函数。实部，从而写出这个解析函数。 算偏导算偏导 u或或v 的全微分的全微分 求积分求积分 表成表成 ( )f z11例例 3 3：已知解析函数：已知解析函数 的实部的实部 ，求虚部和这个解析函数。求虚部和这个解析函数。 )(zf22( , ),(0)0u x yxyxy f2,2uuxyxyxy根据根据C-R条件条件， 2,2vuvuyxxyxyyx 解：解：21( )(2)( )2( )2vvdxyyx dxyxyxyx 1221( )(2)( )2( )2vvdxyyx dxyxyxyx

7、 2( )vxyy( )yy21( )2yyC2212()2vxyyxC222222221( )2()21()()212f zuivxyxyixyyxiCxiyixiyiCziziC(0)0f0C221( )2f zziz2,2vyxxvxyy13 例例4：已知解析函数：已知解析函数 f (z)的虚部的虚部 ，求实部求实部 和这个解析函数和这个解析函数 f (z) 。22),(yxxyxv),(yxu解：解：提示：提示：当给定的当给定的 u 或或 v 中含有因子中含有因子x2+y2，这种情，这种情况下采用极坐标处理比较方便况下采用极坐标处理比较方便， 即令即令 。 222yx 2cosvcos

8、)cos1 (2sin222sin2142sin2v21212sin2v2sin21212cos2v2cos2vuvu11vu12cos212cos21vu2sin212sin215sin22u 将上面第二式对将上面第二式对 积分，积分， 视作参数，有视作参数，有 ( )uudRsin( )22dRsin( )22dR 2cos( )2R其中其中 为为 的任意函数。的任意函数。 ( )R将上式两边对将上式两边对 求导，求导， 1cos( )22uR1cos221cos22u161cos( )22uR1cos22( )0R( )RCCu2cos22sin22cos2)(iCzfCi)2sin2(

9、cos2122 (cossin)iC122 (cossin)iC2zC17第二章第二章 复变函数积分复变函数积分一、复变函数积分的性质：一、复变函数积分的性质： P23 二、计算复变函数回路积分二、计算复变函数回路积分 1、单通区域柯西定理：、单通区域柯西定理：P242、复通区域柯西定理：、复通区域柯西定理：P253 3、重要公式应用（、重要公式应用（P28P28） )(2)(01包围不包围lildzzl184 4、柯西公式、柯西公式 ( ) d2( )lf zzifz( )1( )2( )()!nnlf zidzfzn高阶导数的柯西公式高阶导数的柯西公式19 当被积函数在积分区域内有奇点时的

10、回路积当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积分，可利用柯西公式来计算分，可利用柯西公式来计算, , 1( )()nf zz(1)(1)把被积函数写成把被积函数写成 的形式，的形式，f( (z) )在积在积分区域上解析分区域上解析, , 为积分区域内一点；为积分区域内一点； (2) (2) 利用柯西公式利用柯西公式 来计算积分来计算积分.lnnfnidzzzf)(!)()()(2120222sin()4.,:(1)11czdzcxyz例1其中2yxo1sin()411czdzzIz1sin421zziz22i21例2下列积分不为零的是 ( )。 0.51.zAdzz20.51.zBdzz1.0.

11、5zCdzz21.1zDdzzC21111()1211zzz21111()12111(22)20zzzdzdzdzzzzii0()12()lldzzil不包围包围22第三章第三章 幂级数展开幂级数展开一、收敛半径一、收敛半径 方法方法1：比值判别法：比值判别法1limkkkaaR方法方法2 ：根值判别法：根值判别法1limkkkRa收敛圆：收敛圆： 收敛域：收敛域： Rzz00zzR00()kkkazz2010200()()()kkaa zzazzazz23例例1求幂级数求幂级数 的收敛圆的收敛圆.1limkkkaaR1lim1kkkkak解解0()kkk zi收敛圆收敛圆:1zi24解解:1

12、!lim1(1)!kkk, 例例2幂级数幂级数 的收敛域。的收敛域。1limkkkaaRlim1kk收敛域收敛域:z 0!kzkzek25二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展成幂级数成幂级数 根据解析函数泰勒级数和洛朗级数展根据解析函数泰勒级数和洛朗级数展开的唯一性开的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展开式，通过一般可利用熟知的泰勒展开式，通过变量变换，结合级数的四则运算、逐项求导和积分、变量变换，结合级数的四则运算、逐项求导和积分、分解成最简分式等分解成最简分式等方法去展开方法去展开 。间接展开法：间接展开法：2601)!kzkzek012)1kk

13、zz013)( 1)1kkkzz2104)sin( 1)(21)!kkkzzk)1( z)1( z)( z)( z205) cos( 1)(2 )!kkkzzk)( z常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式:270.( )0f zarctgzz例3 把在邻域展成泰勒级数.解：解： 211arctgzdzz2201( 1),11kkkzzz210( 1)21kkkarctgzck00 arctg0c1,12) 1(012zzkarctgzkkk01( 1),11kkkttt2811( )dzi dz z 21.( )1()f zzizzi 例4 把在圆环展成幂级数.解：解： 22111( )(

14、)f zzzizi z03101111()11( 1) ()( ) ()kkkkkkiziziziziiziziizi 31320011( )( ) ()( ) (1)()kkkkkkdf ziziikzizi dzzi 33(3)(2)() , (1)kkkkizizi 01( 1),11kkkttt29奇点名称奇点名称可去奇点可去奇点极点极点本性奇点本性奇点不含负幂项不含负幂项含无限个负幂项含无限个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项的洛朗级数的洛朗级数00zzR极限性质极限性质0lim( )zzf z 有限值0lim( )zzf z 0lim( )zzf z无定值三、有限远孤立奇点分类及其

15、类型判定三、有限远孤立奇点分类及其类型判定30极限判定法来判定可去奇点，极点，本性奇点。极限判定法来判定可去奇点，极点，本性奇点。几个名词的定义：几个名词的定义：孤立奇点，非孤立奇点，可去奇点，孤立奇点，非孤立奇点，可去奇点， m阶极点，本性奇点阶极点，本性奇点532( ):_.4zif zzz的极点为0,2i1/2( ):_;:_.9zef zz的极点为本性奇点为3 , 3ii031 设函数设函数 f(z)在回路在回路 l 所围区域所围区域 B上除有限个孤上除有限个孤立奇点立奇点b1，b2，bn外解析，在闭区域外解析，在闭区域 上除上除b b1 1，b2，bn外连续，则外连续，则f( (z)

16、 )沿沿l正向积分正向积分 之值之值等于等于f( (z) )在在l所围区域内各奇点的留数和的所围区域内各奇点的留数和的2 2 i倍倍. . Bldzzf)( )lf z dz12Re()njjisf b左边的积分是沿左边的积分是沿l 的正向进行的；的正向进行的； 注意注意: :右边的奇点是指右边的奇点是指l 所围区域内的，并非是所围区域内的，并非是f(z)所有的奇点。所有的奇点。 一、留数定理：一、留数定理：P52P5232二、计算留数二、计算留数 各孤立奇点留数的计算公式各孤立奇点留数的计算公式奇点类型奇点类型0Re()sf z可去奇点可去奇点0m阶极点阶极点01011lim()( )(1)

17、!mmmzzdzzf zmdz一一阶阶极极点点普遍公式普遍公式00lim() ( )zzzzf z本性奇点本性奇点0010( )Re()zzRf zsf za在展开得00()()P zQ z( )( )( )P zf zQ z000()0,()0()0P zQ zQ z33 极点阶数判定极点阶数判定 非零的有限值mmzzazfzz)()(lim00法一法一0ma00lim()( )nzzzzf z把极点阶数估计得过高把极点阶数估计得过高n就是极点的阶数就是极点的阶数把极点阶数估计得过低把极点阶数估计得过低(nm)(n=m)(nm)法二法二零点和极点的关系零点和极点的关系 若若z = z0是是

18、f(z)的的m阶零点，则阶零点，则z = = z0 0必是必是 的的m阶极点。阶极点。1( )f z34三、留数定理的应用三、留数定理的应用 1、计算闭合回路积分；、计算闭合回路积分； 例例1 133sin(4) (1)(2)zzdzzzz计算积分解： 3sin( )(4) (1)(2)zf zzzz，其奇点为：z1=4, z2=2, z3=1 只有单极点z2=2, z3=1 在积分回路内。 31sinsin1Re(1)lim(4) (2)27zzsfzz2Re(1)Re(2)Iisfsfsin1sin22()278i32sinsin2Re(2)lim(4) (1)8zzsfzz 351120

19、1(cos ,sin )(,)22zzzzzdzRxx dxRiiz类型一：类型一：类型二：类型二：( )2 ( )f x dxi f z在上半平面所有奇点的留数和 ( )f zi在实轴上所有单极点的留数和2、计算三种类型实变函数定积分；、计算三种类型实变函数定积分； 类型三：类型三：01( )cos( )2imxF xmxdxF x edx01( )sin( )2imxG xmxdxG x edxi(2)imzF z ei在实轴上所有单极点的留数之和( )imzF z ei在上半平面所有奇点的留数之和)(2留数之和在实轴上所有单极点的imzezG( )imzG z e在上半平面所有奇点的留数

20、之和36201254cosIdxx例计算 =解：解： 21011154cos542zdzdxzzxiz111542zdzzziz2111522zdzizz111( 21)(2)zdzizz37111( 21)(2)zIdzizz且其留数为且其留数为 只有单极点只有单极点 在圆在圆 内，内， 21z1z1( )( 21)(2)f zzz1211lim()2 ( 21)(2)zzzz1Re( )2sf1323111( 21)(2)zIdzizz112Re( )2isfi3844,0.dxaxa例3 计算其中解：解： 441)(azzf 设设，解方程解方程044 az3, 2, 1, 0,:04)1

21、2(44 kaezazikk 有有四四个个根根，即即ikeaaz )12(444 所以所以47345243140iiiiaezaezaezaez ，即即：10, zz 明显，只有明显，只有 在上半平面，且为在上半平面，且为 f (z) 的一阶极点，因此的一阶极点，因此01442Re()Re( )dxisf zsf zxa39Re()lim() ( )kkkzzsf zzzf z44limkkzzzzza44()lim()kkzzzzza31lim4kzzz34031Re()4isf zea3122()422ia94131Re()4isf zea3122()422ia4314iea3312212

22、22()()422422iiiaa322a01442Re()Re( )dxisf zsf zxa341izae40izae402220sin4,0()xmxdx axa例计算解：解： 222( )( )()imzimzzf zG z eeza有两个二阶极点有两个二阶极点 ， ai其中其中 在上半平面，在上半平面， ai22221Re()lim()1!()imzzaidzesf aizaidzza2lim()imzzaidzedzzai4mamea2222220sin1()2()imxxmxxedxdxxaixa12Re()2Iisf aiiRe()sf ai4mameaRe()Isf ai4m

23、ameaP61 例例741第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换 一、傅里叶级数一、傅里叶级数1 1、周期函数、周期函数(T=2l)的傅里叶展开的傅里叶展开 一般周期函数：一般周期函数： (5.1.3)、(5.1.5)；P88 奇函数：奇函数： (5.1.8)、(5.1.9)； P90 偶函数：偶函数： (5.1.10)、(5.1.11)；P90 傅里叶正弦级数傅里叶正弦级数傅里叶余弦级数傅里叶余弦级数傅里叶级数傅里叶级数422 2、定义在有限区间、定义在有限区间(0,(0,l) )上的函数的傅里叶展开上的函数的傅里叶展开 对函数对函数f(x)的边界的边界（区间的端点区间的端点x=0, x=l）上

24、的行为提出上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。 (1)、边界条件为边界条件为f(0)=0,(0)=0,f( (l)=0)=0 应延拓成以应延拓成以2 2l为周期的奇函数为周期的奇函数 ( (奇延拓奇延拓) ) 1( )sinkkkf xbxl02( )sinlkkbfdll(2)、边界条件为边界条件为应延拓成以应延拓成以2l为周期的偶函数为周期的偶函数 ( (偶延拓偶延拓) ) (0)0,( )0ffl01( )coskkkf xaaxl02( )coslkkkafdll43(3)、边界条件为边界条件为(0)0,(

25、 )0ff l01()2( )sinkkkxf xbllkdlkflb0)21(sin)(2根据边界条件根据边界条件f(0)=0应将函数应将函数f(x)对区间对区间(0,l)的端点的端点x=0作奇延拓。作奇延拓。 又根据边界条件又根据边界条件 ，应将函数，应将函数 f( (x) )对区间对区间(0,(0,l) )的端点的端点x= =l作偶延拓，作偶延拓， ( )0fl 然后以然后以4l为周期向整为周期向整个实轴延拓，延拓以后的函数是个实轴延拓，延拓以后的函数是以以4l为周期的奇函数为周期的奇函数。 44(4)、边界条件为边界条件为(0)0,( )0ff l01()2( )coskkkxf xa

26、llkdlkfla0)21(cos)(2 又根据边界条件又根据边界条件f (l)=0 ，应将函数，应将函数f( (x) )对区间对区间(0,(0,l) )的端点的端点x= =l作奇延拓，作奇延拓， 然后以然后以4l为周期向整为周期向整个实轴延拓，延拓以后的函数是个实轴延拓，延拓以后的函数是以以4l为周期的偶函数为周期的偶函数。 根据边界条件根据边界条件 应将函数应将函数f(x)对区间对区间(0,l)的端点的端点x=0作偶延拓。作偶延拓。 (0)0f 45实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换: : 00 xdBxdAxfsin)(cos)()(其中其中 dfAcos)

27、()(1dfBsin)()(1复数形式的傅里叶积分复数形式的傅里叶积分: :*1( )( )2i xFf x edxdeFxfxi)()(二、傅里叶积分二、傅里叶积分 f(x)非周期函数非周期函数 x (- , )可以写成对称的形式可以写成对称的形式: : deFxfxi)(21)(*1( )( )2i xFf x edx46三、三、 函数函数1、 函数函数定义定义2、 函数函数性质性质挑选性：挑选性： 00( ) ()()f xxx dxf xdexxi21)(3、 函数函数的傅里叶积分的傅里叶积分满足下面两个条件满足下面两个条件: : 的函数的函数 ( x- x0)称为称为 函数函数。 0

28、000()()()xxxxxx(1)(2)1)(0dxxx47定解问题定解问题泛定方程泛定方程定解条件定解条件初始条件初始条件: :说明物理现象初始状态的条件说明物理现象初始状态的条件 边界条件边界条件: :说明边界上的约束情况的条件说明边界上的约束情况的条件 波动方程波动方程输运方程输运方程稳定场方程稳定场方程2( , )ttxxua uf x t2( , )txxua uf x t( )uf r 第七章第七章 数学物理定解问题数学物理定解问题 衔接条件衔接条件480( , , , )( , , )tu x y z tx y z杆或弦的振动：杆或弦的振动：0( , , , )( , , )t

29、tu x y z tx y z表示初始的位移表示初始的位移表示初始的速度表示初始的速度初始条件：初始条件： 给出某一初始时刻给出某一初始时刻整个系统整个系统的已知状态。的已知状态。 在在热传导现象热传导现象中，初始条件就是给出初始时刻中，初始条件就是给出初始时刻系统中每点的系统中每点的温度温度u之值。之值。 0( )tuT r其中其中T(r)是已知函数。是已知函数。 49如：如： 2ttxxua uf 00( )( )tttuxux2txxua uf 0( )tux( , , )ug x y z 不需要初始条件不需要初始条件 一般地说，一般地说，初始条件的个数等于初始条件的个数等于数理方程所含

30、有数理方程所含有的的对时间最高阶偏导数的阶数对时间最高阶偏导数的阶数。 50(1)(1)、杆或弦两端固定、杆或弦两端固定 0),(0 xtxu0),(lxtxu常见的边界条件：常见的边界条件：边界条件：边界条件： 给出系统的边界在给出系统的边界在各个时刻各个时刻的已知状态。的已知状态。 三类线性边界条件：三类线性边界条件：P123(1)(1)、第一类边界条件：、第一类边界条件： )(tfu(2)(2)、第二类边界条件：、第二类边界条件： )(tfnu(3)(3)、第三类边界条件：、第三类边界条件： )()(tfnuHu5100 xxu0 xx lu(2)(2)、杆两端自由、杆两端自由 (3)、

31、杆的两端保持恒温、杆的两端保持恒温T 0( , )xu x tT( , )x lu x tT(4)、两端绝热、两端绝热 00 xxuuqkix 0lxxu0 x52(5)、两端有热流强度为、两端有热流强度为f(t)的热流流出的热流流出 0 xl f(t) f(t)在在x=0端端:ktfuxx)(0ktfulxx)(0( )xukf tx ( )x lukf tx在在x=l端端:uqkix 同理得，两端有热流强度为同理得，两端有热流强度为f(t)的热流的热流流入流入，则，则 0( )( ),xxxx lf tf tuukk 53数学物理定解问题的适定性数学物理定解问题的适定性: (1) 解的存在

32、性解的存在性 看所归结出来的定解问题是否有解； (2) 解的唯一性解的唯一性 看是否只有一个解 (3) 解的稳定性解的稳定性 当定解问题的自由项自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量 定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性定解问题的适定性. 54解：弦仅在解：弦仅在x0处受策动力作用，故其定解问题为：处受策动力作用，故其定解问题为： 200sin()ttxxFtxxua u 00 xx luu000tttuu例例1 1：长为：长为l的均匀弦，两端的均匀弦，两端x=0和和x=l固定，固定，在点在点x0(0 x0l)受受谐变力谐变力F0sin t的作用的作用而

33、作微小振动，试写出其定解问题。而作微小振动，试写出其定解问题。 55解定解问题三步曲：解定解问题三步曲： （1 1）写出正确的定解问题；）写出正确的定解问题； （2 2）边界条件齐次化；）边界条件齐次化； （3 3）求解）求解傅氏级数法或分离变数法傅氏级数法或分离变数法. . 第八章第八章 分离变数法分离变数法 56分离变数法分离变数法 齐次的振动方程和输运方程齐次的振动方程和输运方程 齐次的边界条件齐次的边界条件 傅里叶级数法傅里叶级数法 齐次或非齐次的齐次或非齐次的振动方程和输运振动方程和输运方程方程 齐次的边界条件齐次的边界条件 57一、分离变数法解题步骤一、分离变数法解题步骤 (1)

34、对齐次方程和齐次边界条件分离变量；对齐次方程和齐次边界条件分离变量；(2) 解关于空间因子的常微分方程的本征值问题；解关于空间因子的常微分方程的本征值问题；(3)求其它常微分方程的解，与本征函数相乘，得求其它常微分方程的解，与本征函数相乘，得 到本征解。到本征解。(4) 迭加所有本征解，由初始条件或非齐次边界条件迭加所有本征解，由初始条件或非齐次边界条件 确定迭加系数，而最后得到所求定解问题的解。确定迭加系数，而最后得到所求定解问题的解。58例例1 1：用分离变数法求定解问题用分离变数法求定解问题200000,(0)0,0,0ttxxxx ltttua uxluuuu u先以分离变数形式的试探

35、解先以分离变数形式的试探解 解：解： 代入泛定方程代入泛定方程(1)和边界条件和边界条件(2)，得，得 )()(),(tTxXtxu20XTa X T2XTXa T 0 XX20Ta T(1)(2)(3)(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(0)0( )0XX l59222lnn(1,2,3,)n 1( )sinnn xXxcl0(0)0,( )0XXXX l 本征值问题本征值问题 本征值：本征值：本征函数：本征函数：0)()(2222 tTlantTnn02 TaT其通解为其通解为 相应的本征解相应的本征解 tlanBtlanAtTnsincos)(1,2,3,)n )()

36、(),(tTxXtxunnn(cossin)sinnnn an anAtBtxlll(1,2,3,)n 一般解是所有本征解的线性迭加，一般解是所有本征解的线性迭加， 1( , )( )( )nnnu x tXx T t1(cossin)sinnnnn an anAtBtxlll(4)60一般解是所有本征解的线性迭加，一般解是所有本征解的线性迭加， 代入初始条件，代入初始条件，00,0tntuB01sinnnnAxul1( , )( )( )nnnu x tXx T t1(cossin)sinnnnn an anAtBtxlll(4)lnxdxlnluA00sin2021 ( 1) nun 00

37、,24,21(21)nkunkk00) 12(sin) 12(cos) 12(4),(kxlktlakkutxu61例例2 2：用分离变数法求定解问题用分离变数法求定解问题2000,(0)0,0( )txxxxx ltua uxluuux(1)(2)(3)先以分离变数形式的试探解先以分离变数形式的试探解 解：解： 代入泛定方程代入泛定方程(1)和边界条件和边界条件(2)，得，得 )()(),(tTxXtxu20XTa X T2XTXa T 0 XX20Ta T(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(0)0( )0XX l622221()2nnl(0,1,2,3,)n 21()2

38、( )cosnnxXxcl0(0)0,( )0XXXX l 本征值问题本征值问题 本征值：本征值：本征函数：本征函数：22221()2( )( )0nnnaTtT tl其通解为其通解为 )()(),(tTxXtxunnn相应的本征解相应的本征解 20Ta T22221()2( )natlnT tCe22221()21()2cosnatlnnxC el(0,1,2,)n 一般解是所有本征解的线性迭加，一般解是所有本征解的线性迭加， 0( , )( )( )nnnu x tXx T t22221()201()2cosnatlnnnxC el63代入初始条件，代入初始条件，0( )tux01()2c

39、os( )nnnxCxl01()22( )coslnnCdll 所求的定解问题的解为：所求的定解问题的解为： 22221()201()2( , )cosnatlnnnxu x tC el22221()20011()()222( , )( )coscosnaltlnnnxu x tdelll 640(1)0,0;xx luu1( , )( )sinnnn xu x tT tl0(2)0,0;xxxx luu0( , )( )cosnnn xu x tT tl0(3)0,0;xxx luu01()2( , )( )sinnnnxu x tT tl0(4)0,0;xxx luu01()2( , )(

40、 )cosnnnxu x tT tl 运用傅氏级数法求定解问题，要注意在不同运用傅氏级数法求定解问题，要注意在不同齐次边界条件下，所求定解问题的解展开为不同形齐次边界条件下，所求定解问题的解展开为不同形式的傅里叶级数式的傅里叶级数，二、傅里叶级数法二、傅里叶级数法65三、熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化：三、熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化： (1)、若是第一类非齐次边界条件、若是第一类非齐次边界条件 可设可设 )()(),(tBxtAtxv可将可将w(x,t)的边界条件齐次化。的边界条件齐次化。 120( ),( )xx luf tuf t引入辅助函数引入辅助函数v(x,t)，令，令u(

41、x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使使v(x,t)满足非齐次边界条件，可将函数满足非齐次边界条件，可将函数u(x,t)满足的非齐次满足的非齐次边界条件的定解问题边界条件的定解问题变换为函数变换为函数w(x,t)满足的齐次边满足的齐次边界条件的定解问题界条件的定解问题。 66120( ),( )xxxx luf tuf t可设可设 2( , )( )( )v x tA t xB t x可将可将w( (x, ,t) )的边界条件是齐次的，的边界条件是齐次的， (3)、若是第一、二类非齐次边界条件、若是第一、二类非齐次边界条件 120( ),( )xxx luf tuf t120( ),( )x

42、xx luf tuf t或或可设可设 )()(),(tBxtAtxv可将可将w(x,t)的边界条件齐次化。的边界条件齐次化。 (2)、若是第二类非齐次边界条件、若是第二类非齐次边界条件 67例例3、求定解问题、求定解问题 解：设,uwv000,xx lvu vu令( )( )vA t xB t代入上式000( ),( )( )0B tuA t luuA t0vu 200000000000,(0),(),(0)ttxxxx ltttua uxluu uuuuuxxxluu200000000,0(),ttxxxx ltttwa wwwwuxxwu68由于边界条件是第一类齐次边界条件，所以设1( )

43、sinnnnwT txl代入泛定方程，得02222 nnTlanTcossinnnnn atn atTABll1( , )(cossin)sinnnnn an anw x tAtBtxlll22221sin0nnnnanTTxll200000000,0(),ttxxxx ltttwa wwwwuxxwu691( , )(cossin)sinnnnn an anw x tAtBtxlll代入初始条件，0001sin()ntnn xwAxuxxl所求的定解问题的解为： 001sintntnn anuBx ull0000022()sinsinlnn xnAuxxxdxullll00000()22si

44、n1 ( 1) 4()lnnnunBuxdxun aln ann a 为偶数为奇数000000241(2)(21)sincossinsinsin(21)nkun xun atnnatnxuuxllllanll70例例4、求定解问题、求定解问题 2010000,(0),txxxxx ltua uxluu uuuu解： 设uwv010,xxx lvu vu令( )( )vA t xB t代入上式01( ), ( )B tuA tu10vu xu 201000,0,txxxxx ltwa wwwwu x 71201000,0,txxxxx ltwa wwwwu x 由于边界条件是第一类齐次边界条件，

45、所以设01()2sinnnnxwTl代入泛定方程，得22221()20nnnaTTl22221()2( )natlnnT tC e22221()201()2( , )sinnatlnnnxw x tC el代入初始条件，101()2sinnnnCxu xl 101()22sinlnnxuCxdxll 11222( 1)1()2nu ln定解问题的解为 22221()121012201()2( 1)2( , )sin1()2nantlnnu lu x tuu xexln721 1、掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质、掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质 (1) l阶勒让德方程与自然边界条件构成

46、本征值问题阶勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题 1( )xy x 当时有限0) 1(2)1 (2 yllyxyx(自然边界条件自然边界条件)本征值问题本征值问题本征值本征值是是l (l+1) 本征函数本征函数则是则是l阶勒让德多项式阶勒让德多项式Pl(x)。 (0,1,2)l 第十章第十章 球函数球函数 73(2)勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质 1)、正交性正交性 不同阶的勒让德多项式在区间不同阶的勒让德多项式在区间(-1, 1)上正交，上正交， 11( ) ( )0()klP x P x dxkl2)2)、勒让德多项式的模、勒让德多项式的模 221lNl(0,1,2,)l 743)

47、3)、勒让德多项式的全体构成完备组、勒让德多项式的全体构成完备组 如何将一个定义在如何将一个定义在x的区间的区间-1, 1上的函数上的函数f(x)展开成展开成广义傅里叶级数广义傅里叶级数： 一般公式：一般公式： 0)()(lllxPfxf展开系数展开系数 11)()(212dxxPxflfll待定系数法待定系数法 仅适用于仅适用于f(x)是关于是关于x的次幂的多项式的次幂的多项式 75(3)勒让德多项式的母函数勒让德多项式的母函数 母函数母函数 2cos211),(rrrw211 2 cosrr101(cos )lllPr0(cos )lllr P) 1( r(1)r 10(cos )llllrPR2212cosRrRr10(cos )llllRPr()rR()rR以半径为以半径为R的球代替单位球，则的球代替单位球，则 763、掌握关于极轴对称拉掌握关于极轴对称拉氏方程在球坐标系下的解：氏方程在球坐标系下的解： 关于轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为关于轴对称的拉氏方程的定解问题