数学建模实验报告大小圆追击问题

1、数学建模实验报告实验题目第一题：设一个小圆在大圆内无滑动的滚动，用 Matlab 变编程探 讨小圆上或小圆内一点的运动轨迹。问题分析： 由题目条件可知，小圆在大圆内无滑动滚动，所以对于小圆与大 圆的初始接触点来说，该点滑动的弧长即为小圆滚动的路程。由 此便可以联系小圆与大圆。首先，分析目标点。若对小圆上一点 进行观察，对于任意两点，从它不再与大圆接触到再一次与大圆 接触，其运动轨迹必然是相同的（仅讨论轨迹弧线的形状，初末 位置不做要求）。所以，我们可以以初始位置时的接触点来考察运 动轨迹。若对小圆内（非圆心）一点进行考察，则其轨迹必与其 在小圆上的对应点相似。故可以先计算出小圆上对应点的轨迹，

2、 然后缩放移动即可。若对小圆圆心进行考察，则易知其轨迹必为 一圆。分析完成后，下面开始讨论轨迹的计算方法。由于除圆心 外，轨迹是类似于摆线的一条曲线，所以用参数方程进行求解。 具体做法是以大圆圆心为原点，建立一个直角坐标系。由于小圆 的初始位置与小圆上或小圆内一点的运动轨迹无关，所以，我们 不妨设小圆与大圆初始位置时的接触点在 X 轴正半轴上。之后再 以小圆的圆心建立一个直角坐标系。对于这个坐标系里的任一点， 可以利用向量的计算方法，由于大圆圆心和小圆圆心连线的向量 是可求的，所以可将该点投影到以大圆圆心建立的坐标系中。在 计算该点的参数方程时，可使用公式 l=Ra ， a 为圆心角。先求出该

3、点在以小圆圆心为原点的坐标系中的参数方程，然后投影至另 一坐标系中即可。若观察的是圆上一点，则只需将原程序中的小 圆半径换成该点到小圆圆心的距离即可。具体计算过程如下：Matlab 代码：h=0.1;q=0:h:20*pi;R=5;r=3; d=2;v=-R/r;xR=R*cos(q);yR=R*si n(q);xrh=(R-r)*cos(q);yrh=(R-r)*si n(q);xr=xh+d*cos(v*q+q);yr=yh+d*si n( v*q+q);plot(xh,yh,xx,yy,xz,yz);结果截图：绿色为大圆，半径 10,蓝色为小圆圆心轨迹，小圆半 径为3,红色为小圆上一点轨

4、迹。*10-0-64-2 G 245010绿色为大圆，半径5,蓝色为小圆圆心轨迹，小圆半径为 3,红色为小圆内一点轨迹，到小圆圆心距离为 2-54-3-2-10123第二题：狗追人问题。人按一固定轨迹运动，狗从某一点处追逐人，求狗的运动轨迹。问题分析：本题采用以直代曲的方法求解。先假设人的轨迹是一 个圆，并确定人，狗的运动速度以及人，狗的初始位置。然后假 定在某段极小的时间间隔内，人的速度大小和方向均不变。由于 人的位置可求，狗的当前位置也已得到，于是可以算出狗的速度 方向。之后，以直线代替曲线，将 dt内狗的运动轨迹画出。并保 存狗现在的位置，为下一次绘图做准备。如此循环，直至不满足 循环条

5、件。Matlab 代码：d=4;R=5; x_dog=10;y_dog=0;x_man=5;y_man=0;v_dog=1;w_man=0.5;dt=0.05;t=0;hold on;axis(-10,10,-10,10);grid;title( x？+ ? ? ?a 1)?while (t=50)t=t+dt; x_man=R*cos(w_man*t); y_man=R*sin(w_man*t);plot(x_man,y_man,r-,x_dog,y_dog,g-);hold on;x_dog=x_dog+v_dog*dt*(x_ma n-x_dog)/sqrt(y_dog-y_ma nF2+(x_dog-x_ma n) A2);y_dog=y_dog+v_dog*dt*(y_ma n-y_dog)/sqrt(y_dog-y_ma n) A2+(x_dog-x_ma n)A2);end结果截图：红色为人运动的轨迹，是一个 r=5的圆，人的初始位 置为（5，0），每0.05s运动0.5rad，绿色为狗运动的轨迹，狗的 初始位置为（10, 0）点，每0.05s运动距离为1。追击路线模拟團10 r - ifaiih|i红色为人运动的轨迹，是一个r=5的圆，人的初始位置为（5, 0），每0.05s运动0.05rad，绿色为狗运动的轨迹，狗的初始位置为（10,0）点，每0.05