统计量及其分布

1、4.3 统计量及其分布统计量及其分布 我们知道样本是总体的反应，在利用样本推断总体时，往往不能直接利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才能有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现为一堆“杂乱无章”的数据。例例5.3.1 从某地区随机抽取从某地区随机抽取50户农民，调查其年收入情况，得户农民，调查其年收入情况，得到下列数据（每户人均元）：到下列数据（每户人均元）： 924 800 916 704 870 1040 824 690 574 490 972 988 1266 684 764 940 408 804 610 852 602 754 788 962 704 712 854 888 7

2、68 848 882 1192 820 878 614 846 746 828 792 872 696 644 926 808 1010 728 742 850 864 738试对该地区农民收入的水平和贫富悬殊程度做个大致分析.显然,如果不进行加工，面对这大堆大小参差不齐的数据，你很难得出什么印象.但是只要对这些数据稍事加工，便能作出大致分析：如记各农户的年收入为 ， 则考虑 这样，我们可以从得出该地区农民平均人均收人水平属中等，从可以得出该地区农民贫富悬殊不大的结论.（当然还需要一些参照资料）由此可见对样本的加工是十分重要的. 对样本加工，这在数理统计学中往往通过构造一个合适的依赖于样本的函

3、数-统计量来达到.一、统计量的概念一、统计量的概念1.定义定义 定义定义4.3.1 样本 的一个函数如不含未知参数，则称之为统计量.通常记为. 如果样本容量为 ，它也就是 个随机变量的函数，并且要求这个函数是不依赖于任何未知参数的随机变量. 例如：总体 ,其中 为未知参数, 为取自总体的样本，则 ，均为统计量，但 不是统计量(因为 为未知参数).12,n 12( , ).nT T nn2,N212,nniiininiin1111,max,12.常用统计量常用统计量v定义定义4.3.2 若 是从总体 中取出的容量为 的样本，v统计量 称为样本均值;v统计量 称为样本方差；v统计量 称为样本的阶原

4、点矩；v统计量 称为样本的阶中心矩；12,n n11niin22221111()nnniiiiSnn nikiknA11kniiknB)(11若 是样本（ ）的一组观测值分别为样本均值 和样本方差 的观测值.设 为二维总体 的样本，则称统计量 为样本协方差;称统计量 为样本相关系数，其中 ， . 将 中观测值 从小到大排列成 ,（若 = ,则其先、后次序可任意排），我们规定 为上述样本的这样一个函数：当样本 无论取得怎样一组观测值， 总取其中 为观测值，并称这样定义的 为第个 次序（顺序）统计量.其中特别地称 为最小顺序统计量； 为最大顺序统计量.若 是从总体 中取出的容量为 的样本 为样本中

5、位数.),(21nxxxn21,21221211)(1,1xxnxxnSxnxniiniinnii2nS1122( ,),(,),(,)nn ( , ) 1211()()niiiSn12SS S2211()niiSn2211niiSn12,n 12( ,)nx xx 12nxxxixjx i12,n i ix ii(1)1minii n ( )1maxnii n 12,n n1()2*()(1)22,1, 2nnnnMn为奇数为偶数二、统计量的分布二、统计量的分布 统计量是随机变量，统计量的分布称作抽样分布.下面讨论统计量的分布. 1.期望与方差的分布期望与方差的分布 定理定理4.3.1设总体

6、 的分布函数 具有二阶矩，即 .若 是取自总体的一个样本，则样本均值 的数学期望和方差分别为 . 利用期望和方差的性质很容易证明. 若假设总体的原点矩 和中心矩 都存在，则样本方差的数学期望和方差依次为 ， .2. 分布分布 设 为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态 分布，则称随机变量 服从自由度为 的 分布，记作 我们知道 分布具有可加性,即若 是 个相互独立的随机变量， , ，则. F x2,ED 12,n nDE2,kkE4 , 3 , 2 , 1,)(1kEkk221)(nnSEn3224222422423)2(2)(nnnSDn3221),cov(nnSn12,n ) 1 , 0

7、(N21niin2)(2n212,k k2()jjnkj2 , 1211()kkjjjjn 分布有下列基本性质: 设 ,则（） ， ;（） 的密度函数为 其中 称为伽马函数，定义为 图5-3描绘了 分布密度函数在 时的图形.可以看出，随着 的增大， 的图形趋于“平缓”，其图形下面积的重心亦逐步往右下移动. 另外，费歇（R.A.Fisher）曾证明，当 较大时， 近似服从 . 图5-322( )n( )En( )2Dn0, 00,)(21)(21222xxexxpxnnn)(. 0,)(01dxexx)(2n20,10, 4 , 1nn)(xpn)(22n) 1 , 12(nN3. 分布和分布和

8、 分布分布 设 ， ， 与 独立，则称随机变量服从自由度为 的 分布，又称学生氏分布,记成 利用独立随机变量商的密度公式，不难由已知的 ， 的密度公式得到 的密度： 显然它是 的偶函数，图5-4描绘了 时 的概率密度曲线，作为比较,还描绘了 的密度曲线. 图5-4tF(0,1)N2( )nTnnt)(ntT) 1 , 0(N)(2n)(ntxnxnnnxpn,)1 ()2()21()(212x5 , 2n)(nt) 1 , 0(N 利用伽马函数的斯特林公式可以证明从图形我们也可看出,随着 的增大, 的密度曲线与 的密度曲线越来越接近，一般若 ,就可认为它基本与 相差无几了. 设 ， ， 与 独

9、立，则称随机变量服从自由度为（ , ）的 分布，记成 类似可得， 的密度函数为图5-5描绘了几种 分布的密度曲线. 由 分布的定义容易看出，若 ，则 图5-5nexpx,21)(22n)(nt(0,1)N30n (0,1)N21()n22()n12nFn1n2nF),(21nnFF),(21nnF0, 00,)()2()2()2()(221122221212121121xxnxnxnnnnnnxpnnnnnFF),(21nnFF),(112nnFF 四、四、 分位数分位数 设 为一随机变量， 为其分布函数，我们知道对于给定的实数 ， 给出了事件 的概率.在统计中，我们常常需要考虑上述问题的逆问

10、题：就是若已给定分布函数 的值，亦即已给定事件 的概率，要确定 取什么值.易知,对通常连续型随机变量，实际上就是求 的反函数，准确地说,有如下定义： 定义定义4.3.3 设 的分布函数为 ， 满足则称 为 的 分位数（点）. 若 有密度 ，则分位数 表示 以左的一块阴影面积（如图4-6）为 图4-6 几种常用分布 的分位点都在书后附表中可以查到.其中 是分布函数表 反过来查，而其它几个分布,则是分别对给出的几个 的常用值，如 =0,0.25,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975等等，列出相应分布对应 值的分位点. F xx( )F xPxx)(xFxx F x F xx(),01F

11、xPxx F x)(xpxx),(),(),(),1 , 0(212nnFntnN) 1 , 0(N)(x 图4-7给出了四种常用分布的分位点表示方法，其中 的 分位点通常记成 . 图4-7 这里要注意到如下几个有用的事实.1） 若 ，要求 的分位数 可化成求的分位数 ：此时 ，故 ，即 2） 对于 ，由密度函数的对称性可知即 .) 1 , 0(Nu2( ,)N x) 1 , 0(NxPxP(0,1)Nuxux)(ntT1)(1)()(ntTPntTPntTP)()(1ntnt3)对于 ， 即 .4） 对于较大的 ，由 , 的渐近性质，可得或 . 利用这些事实可以扩展分位数表.例5.3.2 求

12、下列分位数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解: (1) 从 表中，查不到 ，取表中接近的数应在0.8997与0.9015之间，从表头查出相应的 为1.28与1.29，故取 （2） 分布表没有 但利用对称性，可查出 ,故 （3）从 分布表中，查不到 ，可查出 ,故（4）表上查不到 ，需利用 分布与正态分布的关系查 出 ,),(21nnFF),(112nnFF21212111(,)(,)11(,)1.P FPF n nF n nFPF n nF ),(1),(12211nnFnnFn)(nt)(2n2( ),2( )21,tnunun22)12(21)(nun分位数的为其中。) 1 , 0

13、(,90Nuu)4(25. 0t)10,14(1 . 0F)50(2025. 0)(x9000. 0u285. 19 . 0ut25. 07407. 0)4(75. 0t7407. 0)4(25. 0tF)10,14(1 . 0F10. 2)10,14(9 . 0F.476. 010. 21)10,14(1 . 0F)50(2025. 0296. 1025. 0u29.31)150296. 1(21)50(22025. 0 五、五、 正态总体的抽样分布正态总体的抽样分布 在概率统计问题中，正态分布占据着十分重要的位置，这是基于一则在应用中，许多量的概率分布或者是正态分布，或者接近于正态分布；再

14、则，正态分布有许多优良性质，便于进行较深入的理论研究.因此，我们着重来讨论一下正态总体下的抽样分布，其中最重要的统计量自然是样本均值 和样本方差 定理定理5.3.2 (费歇定理) 设总体 服从 ，（ ）是取自这个总体的一组样本，则 服从正态分布 . 由正态分布的性质容易证得. 定理定理5.3.3 设 是正态总体 的一组样本，其样本均值与样本方差分别为 ，则1） 相互独立； 2） 服从自由度为 的 分布.证明略. 利用这一基本的抽样分布定理，可以得出一些常用统计量的分布，下面的结果以后经常要用到. 2S),(2Nn21,),(2nNn21,),(2Nniin112122121)(1niiniin

15、nnS_2,nS22nSn1n2推论1 设 为取自正态总体 的一个样本， 分别为样本均值与样本方差，则 是自由度为 的 变量，即它服从 分布.这是因为由定理5.3.2， ，则 ，又 及 与 独立知推论2 设 与 分别是从正态总体 抽取的两个样本且相互独立，并设 分别为这两个样本方差， 分别为这两个样本均值，则. 特别地当 时，则 .事实上，又已知出自两个总体的样本是独立的，因而n21,),(2N2_,nS1nnS1nt1t n)/,(2nN/n0,1N) 1(222nnS2S (1)11nTt nnSSnn12,n 212,n ),(),(222211NN121212,nn 与1212_222

16、212111211() ,()nnniniiiSSnn2112_1_1,1niiniinn) 1, 1() 1() 1(2121122222221121nnFnSnnSnFnn2221) 1, 1() 1(1(211222221121nnFnSnnSnFnn1222122222(1),(1)nnmSnSmn11222212122222(1)1(1,1)(1)1nnnnmSnmSmF mnnSmnSn推论3 设 与 分别是从正态总体 抽取的两个样本，且 与 相互独立，则随机变量 服从自由度 的t分布. 其中 分别为这两个样本的样本均值， 分别为这两个样本的样本方差，且 . , ,又 独立，故又 ， ，由 的可加性知,再类似地利用定理5.3.3及两总体样本的独立性知, 与 独立，因而.