一函数的概念ppt课件

1、一、一、 函数的概念函数的概念二、二、 函数的特性函数的特性五、五、 小结与思索判别题小结与思索判别题三、三、 函数的运算函数的运算四、四、 初等函数初等函数第一节第一节 函函 数数因变量因变量自变量自变量定义1 设 和 是两个变量， 是一个给定的数集，假设对于每个数 ，变量 按照一定法那么总有确定的数值和它对应，那么称 是 的函数，记作DxyDx yyx)(xfy 数集数集D叫做这个函数的定义域叫做这个函数的定义域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集0 x当当 时，称时，称 为函数在为函数在 的函数值的函数值.Dx 0)(0 xf),(DxxfyyW 称为函数的值域称为函数的值域.一、函

2、数的概念()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法那对应法那么么f1. 1. 函数的两要素函数的两要素: : 定义域与对应法那么定义域与对应法那么. .xyDW商定商定 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一真实数值的一真实数值. .211xy )1 , 1( : D例如例如21xy 1 , 1 : D例如例如假设自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只需一个，这种函数叫做单值函数，否那么叫与多值函数函数的表示方法：函数的表示方法：1表格法2图形法3解析法 2. 单值函数与多值函数,222ayx 22xay 例如例如 例1 符号函数 010

3、001sgnxxxxy当当当当当当3. 几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线例2 取整函数 y=xx表示不超越 的最大整数.x在在 为整数值处为整数值处,图形发生腾跃图形发生腾跃,跃度为跃度为1.x 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo例3 狄利克雷函数假设函数在不同的定义区间上用不同的解析式假设函数在不同的定义区间上用不同的解析式子表示称为分段函数子表示称为分段函数,例例1至例至例3均是分段函数均是分段函数.二、函数

4、的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1.函数的有界性.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf2函数的单调性:,)(DIDxf区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf) 1 ( )()( 21xfxf恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ix

5、f,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数时,时,当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间2121,xxxxI)2( )()( 21xfxf恒恒有有例如例如, ,函数函数 在在 内是单调添内是单调添加的加的. .如下图如下图. .3)(xxf ),(例如例如, ,函数函数 在在 内是单调减少内是单调减少的的, ,在在 内是单调添加的内是单调添加的. .如下图如下图. .2)(xxf )0 ,(), 0(3函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为为偶偶函函数数称

6、称xf偶函数的图形关于偶函数的图形关于 轴对称轴对称.y有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数 )( xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函数的图形对称于原点奇函数的图形对称于原点. .不满足上述性质的函数为非奇非偶函数不满足上述性质的函数为非奇非偶函数.例如例如 与 是奇函数；xxfsin)( 3)(xxf 与 是偶函数；2)(xxf xxfcos)(1sin)(xxfxxxfcossin)( 与是非奇非偶函数是非奇非偶函数.4函数的周期性:通常说周期函数的周期是指其最小正周期通常说周期函数的周期是指其最小正周期.,

7、)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如如果果存存在在一一个个不不为为零零的的.)()(恒成立恒成立且且xflxf 为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl2l 2l23l 23l例如例如函数函数 都是以都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数. .,sin xxcos 2函数函数 都是以都是以为周期的周期函数为周期的周期函数. .,tan x,cot x |,sin|x|cos|x并非一切的周期函数都有最小正周期并非一切的周期函数都有最小正周期.例如函数例如函数 ( 为常数为常数)及狄利克雷及狄利克雷(Di

8、richlet)函数函数cxf )(c为有理数为有理数 01)(xD为无理数为无理数xx均为周期函数均为周期函数,但没有最小正周期但没有最小正周期.三、函数的运算对函数除了可以作加，减，乘，除四那么运算对函数除了可以作加，减，乘，除四那么运算之外，还有复合运算与求反函数的运算之外，还有复合运算与求反函数的运算. .定义2 设函数)(ufy )(xgu 的定义域与的值域的交集非空，那么)(xgfy 是),(ufy )(xgu 的复合函数.例如例如2xyarcsin 可看作由可看作由2xuuy ,arcsin复合而成复合而成.注：不是任何函数都可以复合成一个函数。注：不是任何函数都可以复合成一个函

9、数。例4 设 ,sin)(,)(2xxguufy 求求).(xgf解由于由于 的值域的值域xxgusin)( .1 , 1)( Dg的定义域的定义域 为为2)(uufy fD).,( 显然显然,)(fDDg 故可进展复合运算，即故可进展复合运算，即xxfxgf2sin)(sin)( 例5 设 ,sin)(,)(2xxxxf 求求).(),(),(),(xxfxffxf 解解显然给出的函数符合复合的条件，因此显然给出的函数符合复合的条件，因此;sin)()(22xxxf ;)()()(4222xxxfxff ;sin)(sin)(2xxfxf ).sin(sin)(sin)(xxx 例6 设 ,

10、 2)(,arcsin)(2 xxuuufy 求求).(xf 的定义域的定义域 为为uufarcsin)( fDfDD )(,1 , 1 是没有意义的是没有意义的.不满足复合函数定义的条件，从而不满足复合函数定义的条件，从而)2arcsin()(2 xxf ，2)(2 xx 由由于于解), 2)( D 例7 知 求,1)1(22xxxxf ).(xf解2)1(1)1(222 xxxxxxf由于由于故故. 2)(2 xxf例8 函数 是由哪些函数复合而成的.21lnxy 解显然，显然，21lnxy 是由是由21,lnxvvuuy 复合而成复合而成.定义3 设函数 的值域为 ，假设对于每一个 ，根

11、据关系 能确定独一的 ，那么称得到的新函数 为 的反函数.亦称 与 互为反函数.函数的反函数常记为Dxxfy ),(RRy )(xfy Dx )(xx )(xfy )(xfy )(xx ).(1xfy 相对于反函数 来说，原来的函数称为直接函数.它们图形的关系如下所示.)(1xfy xyDW)(xfy 函函数数oxyDW)(yx 反反函函数数o)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线 对称.xy 函数 在 上没有反函数，但在 及 上分别有反函数 及 .2xy ),( 0 ,(), 0 yx yx 又 在 上没有反函数， 只

12、是在 上的反函数.2xy ),( yxarcsin )2,2 例9 求函数 的反函数.)(21)(xxeexf 解解那那么么令令),(21xxeey 0122 xxyee12 yyex( (舍去舍去“- -) )1ln(2 yyx将字母将字母 与与 互换互换, ,得得yx)1ln(2 xxy)1ln()(21 xxxf即即1.根本初等函数cxyO1 1常数函数常数函数cy 如以下图所如以下图所示示. .四、初等函数2.幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 3.指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0(

13、 xey 4.对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 对数函数与指数函数互为反函数对数函数与指数函数互为反函数. .5.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数xycsc 它们均为周期函数，它们均为周期函数， 和和 有界有界. .其他三其他三角函数无界角函数无界. . 为奇函数，为奇函数， 为偶函数为偶函数. . ,sin

14、 xxcos,sin x,tan xxcsc,cos x,cot xxsec6.反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数xycot 反反余余切切函函数数arc 是单调递增的,xarcsin,arctan x是单调递减的，是单调递减的，,arccosxxarccot它们均为有界函数它们均为有界函数. .2.初等函数 由根本初等函数经有限次四那么运算和有限次复合运算所得到的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如,1)(2xxxf ),1(log)

15、1(2)(21sin2xxxgx 111arctan21sin)(2222 xxxexx 设 都是初等函数，那么幂指函数也是初等函数.)(),(xvxu)()(xvxu运用上还常遇到另一种初等函数运用上还常遇到另一种初等函数. .双曲函数与反双曲函数xycosh xysinh 1.双曲函数xey21 xey 212sinhxxeex 双双曲曲正正弦弦奇函数奇函数. .),(: D在在 内单调添加内单调添加. .),( ),(: D2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦偶函数偶函数. .在在 内单调减少内单调减少. .)0 ,( 在在 内单调添加内单调添加. .), 0( xxxxeeeexxx

16、 coshsinhtanh双双曲曲正正切切奇函数奇函数, ,),(:D有界函数有界函数, ,在在 内单调添加内单调添加. .),( 双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 2.反双曲函数奇函数奇函数,),(:D.),(内单调增加内单调增加在在;sinh xy 反双曲正弦反双曲正弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy.), 1内单调增加内单调增加在在), 1 : D y反反双双曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y.11ln21xx )1 , 1(: D奇函数奇函数, ,.)1 , 1(内单调增加内单调增加在在 y反双曲正切反双曲正切tanharxytanh arxtanharx y五 小结与思索判别题1.函数的分类 非初等函数非初等函数( (分段函数