02线性子空间

1、第二讲线性子空间一、线性子空间的定义及其性质1 1 . .定义：设V Vi i是数域 K K 上的线性空间 V V 的一个非空子集合，且对 V V 已有的线性运算满足以下条件(1)(1)如果x,ywVx,ywVi,i,贝UxUx+ +ywViywVi；(2)(2)如果xwVxwVi i, ,k k亡K K, ,则kxkxw wV Vi,i,则称 V Vi i是 V V 的一个线性子空间或子空间。2 2 .性质：(i)(i)线性子空间V Vi i与线性空间 V V 享有共同的零元素；(2)(2)%中元素的负元素仍在V Vi i中。证明(i)0 x=0(i)0 x=0QxVQxVi iV V二 V

2、 V 中的零元素也在V Vi i中，V Vi i与 V V 享有共同的零元素。(2)(2)xVxVi i(-i)x=(x)-V(-i)x=(x)-Vi i封闭性二%中元素的负元素仍在 M M 中.3 3 . .分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间：0 0和 V V 本身非平凡子空间：除以上两类子空间4 4 . .生成子空间：设MKMK,L,L,x,xm m为 V V 中的元素，它们的所有线性组合的集合m m%。|%K,i=i,2,L,miKK,i=i,2,L,miK也是 V V 的线性子空间，称为由x x1 1,x,x2 2,L,x,L,xm m生(张)成的子空间，记为 L(X

3、L(XI I,X,X2 2,L,L,X,Xm m) )或者Span(XSpan(Xi i,X,X2 2,L,X,L,Xm m) )。若 X XI I,X,X2 2,L,L,X,Xm m线性无关，则dimL(xdimL(xI I,X,X2 2,L,L,X,Xm m)二m m5.5.基扩定理： 设 V Vi i是数域 K K 上的线性空间 V Vn n的一个 m m 维子空间，x x1 1,x,x2 2,L,x,L,xm m是 V Vi i的一个基，则这 m m 个基向量必可扩充为 V Vn n的一个基；换言之，在 V Vn n中必可找到 n-mn-m 个元,一 vvv.vvv.素x xm m书,

4、x xm m丑,L,xL,xn n,使华 X X1 1,X,X2 2,L,X,L,Xn n成为V V的一个基。这 n-n-m m个元素必不在V VI I中。二、子空间的交与和1 1.定义：设 V VI I、V V2 2是线性空间 V V 的两个子空间，则V V1 1IVIV2 2= =x|xx|xV V1 1KVKV2 2：V V1 1V V2 2) )xy|xVxy|xV1 1,yV,yV2 2) )分别称为V V1 1和V V2 2的交与和。2 2.定理：若V V1 1和V V2 2是线性空间 V V 的两个子空间，则V V1 1IVIV2,2,V V1+1+V V2 2均为 V V 的子

5、空间证明(1)(1)Vx,y-VVx,y-V1 1IVIV2 2xyVxyV1 1, ,xyVxyV2 2xyVxyV1 11V1V2 2-xV-xV1 1IVIV2 2kKkKkxVkxV1 1, ,kxVkxV2 2kxVkxV1 1IVIV2 2V V1 1IVIV2 2是 V V 的一个线性子空间(2)(2)X Xi i,X,X2 2V V1 1, ,y yi i,y,y2 2V V2 2(x(xi iy yi i)V)Vi iV V2 2, ,(X(X2 2y y2 2)V)Vi iV V2 2, ,(x(xi iX X2 2)V)Vi i, ,(y(yi iy y2 2)V)V2

6、2(X(Xi iy yi i)(X)(X2 2y y2 2) )= =(x(xi iX X2 2)(y)(yi iy y? ?)V)Vi iV V2 2kKkKkXkXi iV Vi ikykyi iV V2 2k(Xk(Xi iy yi i)=kX)=kXi ikykyi iV Vi iV V2 2V Vi i+V+V2 2是 V V 的子空间。4.4.维数公式：若明、V V2 2是线性空间 V V 的子空间，则有dim(Vdim(VI IV V2 2)dim(V)dim(Vi iIVIV2 2)=dimV)=dimVi idimVdimV2 2证明设dimVdimV=o,dimV=o,di

7、mV2 2=n=n2 2,dim(V,dim(V1 1IVIV2 2)=m)=m需要证明dim(Vdim(V1 1V V2 2) )= =n n1 1n n2 2- -m m设x x1 1,x,x2 2,L,X,L,Xm m是V Vi iIVIV2 2的一个基，根据基扩定理存在 1 1 从以！乂V Vi i，使X XI I，X X2 2，L L，“刈%人乂成为V Vi i的一个基；2)2)Z ZI I,Z,Z2 2,L,L,Z,Zn n2 2_ _m mV V2 2使 XiXi,L,L 后后/人儿对成为V V2 2的一个基；考祭 x x1 1，X X2 2，L L，X Xm m，y yi i，

8、y y2 2，L L，y yn n1 1-m-m，Z Z1 1，Z Z2 2，L L，Z Zn n2 2-m-m若能证明它为V V+V+V2 2的一个基，则有dim(Vdim(V1 1+ +V V2 2) )= =n n1 1+ +n n2 2-m-mo o成为基的两个条件：1)1)它可以线性表示V V1+1+V V2 2中的任意元素 2)2)线性无关显然条件 1)1)是满足的，现在证明条件 2),2),采用反证法假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为 0 0 的数k k1 1, ,k k2 2,L,L,k km m,P,Pl l, ,p p2 2,L,P,L,Pn n1 1_m_m,q,q

9、1 1,q,q2 2,L,L,q qn n2 2_m_m使kki iX Xi iPPi iY Yi iv vq qi iZ Zi i=0=0令 z=z= qiziqizi- -V V2 2, ,则 k ki ix xi i+Z+Zp pi iY Yi i= =- -z z V V2 2但受V V1 1IVIV2 2根据基扩定理k kk ki iX Xi i= =V Vi iIVIV2 2,Y,Yi i2 2V Vi iIVIV2 2,X,Xi i,X,X2 2,L,X,L,Xm m,Y,Yi i,Y,Y2 2,L,Y,L,Yn n1 1m m成为 V Vi i的一个基P Pi i=0=0同理：

10、q qi i=0k=0ki i=0=0这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V Vi i+ +V V2 2的一个基。dim(Vdim(V1 1- -V V2 2) )= =n n1 1n n2 2-m-m三、子空间的直和1.1.定义：设 V Vi i、V V2 2是线性空间 V V 的子空间，若其和空间V V1+1+V V2 2中的任一元素只能唯一的表示为 V Vi i的一个元素与 V V2 2的一个元素之和，即 V VX XW WV Vi i+ +V V2 2,存在唯一的Y Yw wV Vi i,zWV,zWV2 2, ,使X X= =Y Y+ +Z Z, ,则称V V十V V2 2为

11、V Vi i与 V V2 2的直和，记为V V/B/BV V2 2子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是V V1 1+ +V V2 2= = X X+ +y y| |XXV V1 1, ,Y Y V V2 2 , ,反映的是两个子空间的关系特殊。2.2.定理：如下四种表述等价(1)(1)V Vi i十V V2 2成为直和V Vi iV V2 2(2)(2)V V1 1IVIV2 2=0=0：(3)(3)dim(Vdim(V1 1V V2 2)=dimV)=dimV1 1dimVdimV2 2( (4 4) )X XI I,X,X2 2,L,L,X,Xs s为V Vi i的基,y yi i,y,

12、y2 2,L,y,L,yt t为V V2 2的基，则X XI I,X,X2 2,L,L,x,xs s,y,yi i,y,y2 2,L,y,L,yt t为V Vi i+ +V V2 2的基证明(2)(2)和(3)(3)的等价性显然采用循环证法：(i)(i)t t(2)(2)T T(4)(4)T T(i)(i)(1)(1)T T(2):(2):已知V Vi i+ +V V2 2=V/V=V/V2 2彳取定 x#0 x#0 且 x xw wV Vi iIVIV2,2,则0=00=x(x)0=00=x(x)0V0Vi iV V2 2,0V,0Vi i,0V,0V2 2,xV,xVi i,xV,xV2

13、2说明对 0 0 元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立，在V Vi iiViV2 2中只能存在 0 0 元素，即sIsIV V2 2=。(2)(2)T T(4):(4):已知V Vi iIVIV2 2= =。成为基的两个条件：i)i)可以线性表示V Vi i+ +V V2 2中的任意元素2)2)线性无关V Vx xe eV Vi i,y,y V V2 2,存在如下坐标表示式ststx x= =xixi, ,i iy yi ii i= =iiii= =i ix x+ +y y 可表示V Vi i+ +V V2 2中的任一元素，二xXxXz zL L上心心上，y yt t可表示V

14、Vi*i*V V2 2中的任意兀素。假设二x xX X2 2,L,X,L,Xs s,y,y2 2,L,y,L,yt t线性相关，即存在不全为 0 0 的s sS7.S7.LLLLL L七1L1LL L”,使1 1, ,2 2,s s, ,1 1, ,2 2,t tstst i iX Xi i% %i i、=0 0i i1 1i=1i=1stst而 x=x= i ix xi iV V1 1y y 八i iy yi iV V2 2iViViViVsisiX Xi=i=yVyV2 2i i= =1s1siix xi iV V1 11V1V2 2i i1 1s s凶=0 0i i1 1=L=L=0=012s12s同理1=21=2=L=L=t t=0=0这与其线性相关性矛盾，x x1 1,x,x2 2,L,x,L,xs s,y,y1 1,y,y2 2,L,y,L,yt t线性无关二x x1 1,x,x2 2,L,x,L,xs s,y,y1 1,y,y2 2,L,y,L,yt t可作为V V1