第五章第五节正弦定理、余弦定理

1、第五章第五节正弦定理、余弦定理裙b课吓作业题组一正、余弦定理的简单应用1已知 ABC 中，/ A，/ B,/ C 的对边分别为 a, b, c若 a= c= :'6+ . 2，且/ A =D. '6 ；2B . 4 + 2.3C. 4-2 ;'3«-V6+J2解析：如图所示.在厶ABC中，由正弦定理得b6+ .'2 .6+ 2"3 sin30 sin75 ° sin(45 + 30 °b 2.答案：A2. （2009湖南高考）在锐角 ABC中，BC 1 ,B 2A,贝 UACcosA的值等于, AC的取值范围为.AC BC

2、解析：由正弦定理得sACA- sBA.AC2si nAcosAsinA cosA2. ABC是锐角三角形, 0v Av n，0 v 2A v n，0< n 3A v才,nn解得6< Av 4.由AC 2cosA得AC的取值范围为（；：2, 一；3）.答案：2; （ :'2,：3）3. （2009全国卷I ）在厶ABC中，内角 A、B、C的对边长分别为 a、b、c.已知a2 c22b，且 sinAcosC 3cosAsinC,求 b.解：由余弦定理得 a2 c2 b2 2bccosA.又 sinAcosC = 3cosAsinC,sin AcosC + cosAs inC =

3、 4cosAs inC,sin(A + C) = 4cosAsinC, sinB = 4sinCcosA.b由正弦定理得 sinB= bsinC，故 b = 4ccosA. c由、解得b= 4.题组二利用正、余弦定理判断三角形的形状A c b4.在 ABC中，sin2! =b、c分别为角A、B、C的对应边），则ABC的形状为( )A 正三角形B 直角三角形C.等腰直角三角形D 等腰三角形A 1 cosA c bbb2+ c2 a2解析：sin 2 =2= 2c ,-cosA = =?a + b = c,符合勾股疋理.c2bc答案：B5.在 ABC 中，已知 2sinAcosB= sinC,那么

4、 ABC 一定是()A 直角三角形B 等腰三角形C.等腰直角三角形D 正三角形解析：法一：因为在 ABC中，A+ B + C= n即 C = n (A+ B),所以 sinC = sin(A + B).由 2sinAcosB = sinC,得 2sinAcosB = sinAcosB + cosAsinB,即 sinAcosB cosAsinB = 0，即 sin(A B) = 0.又因为一 nV A B V n 所以 A B= 0,即卩 A = B.所以 ABC是等腰三角形.法二：利用正弦定理和余弦定理2sinAcosB = sinC 可化为a2+ c2 b22a 20= c,即 a2 +

5、c2 b2= c2, 即卩 a2 b2= 0,即a2= b2,故a= b所以 ABC是等腰三角形.A.答案：B题组三三角形面积公式的应用6在 ABC中，AB=丽,AC= 1 , B =才 则厶ABC的面积等于B. 4D.二或仝24解析:由正弦定理知ABsi nCAC .厂 ABsinB 35减，SinC = AC = 2，n-2 nC=3 或 T， s=或乎答案：D7.在 ABC 中，面积 S= a2 (b c)2,贝V cosA =15B.石13C.亦1解析：S= a2 (b c)2= a2 b2 c2+ 2bc= 2bc 2bccosA= ?bcsinA, sinA= 4(1 cosA),

6、2 216(1 cosA)2 + cos2A= 1, cosA =需.答案：BA& （文）（2009浙江高考）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且满足cos2,5uur uuur AB -AC = 3.（1）求厶ABC的面积；若c= 1，求a的值.&, A 沁解：（1）因为 cos? =一5,所以2AcosA = 2cos 2 1 =354sinA= 4uuur uuur又由 AB "AC = 3，得 bccosA = 3,所以 bc= 5.因此 Sabc= qbcsinA = 2.(2)由(1)知，bc= 5, 又 c= 1,所以 b =

7、 5,由余弦定理，得 a2= b2+ c2 2bccosA = 20,所以 a = 2 5.（理）（2010南通模拟） ABC中，A, B, C所对的边分别为a, b, c, tanC=si nA+ sinBcosA + cosBsin(B A)= cosC.(1)求 A, C;若 0abc= 3+ .3,求 a, c.解:si nA+ sinB(1)因为 tanC =cosA+ cosB即 sosCsinA + si nBcosA+ cosB所以 sin CcosA + sinCcosB = cosCsinA+ cosCsinB,即 sinCcosA cosCsinA= cosCsinB s

8、inCcosB, 得 sin(C A)= sin(B C).所以 C A= B C,或 C A = n (B C)(不成立).即 2C = A+ B,得 C = 3,所以，B + A=厂,1又因为 sin(B A)= cosC=刁rn r、. l. -5 n 人 rn 5 n则B A =舌，或B A =石(舍去)得A = 4, B =匸1 砺+ V2(2)Sabc = acs inB =ac=2 83+ .3,又孟=孟即:=:得a= 2 2, c= 2 3.2 2题组四正、余弦定理的综合应用9若 ABC的周长等于20,面积是10 3, A = 60 °贝U BC边的长是A . 5B

9、. 6C. 7D. 81解析：依题意及面积公式 S= bcsinA,得 10 3 = 2bcsin60，。得 bc= 40.又周长为 20,故 a + b+ c= 20, b+ c= 20 a,由余弦定理得：a2= b2 + c2 2bccosA= b2+ c2 2bccos60=b2 + c2 bc= (b+ c)2 3bc,故 a2= (20 a)2120,解得 a= 7.答案：C10. （文）在三角形 ABC中，已知/ B = 60°最大边与最小边的比为的最大角为A. 60 °75 °C. 90 °D.115 °解析：不妨设a为最大边由题

10、意,ac sinC 2即泄=弓二,si n(120 A) 2si nAV3 + 131=，cosA+ 2sinA(3 . 3)si nA= (3 + . 3)cosA,tanA = 2 + V3,二 A= 75°答案：B（理）锐角 ABC中，若A = 2B,则吕的取值范围是bA. (1,2)(1, . 3)C. ( 2, 2)(.2,3)解析： ABC为锐角三角形，且A = 2B,n0v 2B v2,nnn640< n 3B<2，/ sinA = sin 2B= 2si nBcosB,a sinA一 一b=赢=2cosB (2 3).答案：D11. 已知a, b, c A

11、BC的三个内角 A, B, C的对边，向量m = ( 3, 1), n= (cosA, si nA),若 m± n,且 acosB + bcosA = ccosC,则角 B =.解析：/ m± n,3cosA sinA = 0,n-tanA = 3,A = 3./ acosB + bcosA = ccosC,/ sinAcosB+ sin BcosA = si nCs inC, sin(A+ B) = sin2C, / sinC = sin2C,nnT sinC 丰 0, - sinC = 1. C=-/. B = 2，6'n答案：612. (文)已知函数 f(x)

12、 = 2sinxcos+ cosxsin ( sinx (Ov X 力在 x= n处取最小值.(1) 求(的值；(2) 在厶ABC中，a, b , c分别是角A , B , C的对边，已知 a = 1 , b= 2 , f(A)=飞, 求角C.1 + cos (解：(1)f(x) = 2sinx 2+ cosxsin ( sinx=sinx+ sinxcos (+ cosxsin ( sinx=sinxcos (+ cosxsin (=si n(x+ ().因为f(x)在 x = n时取最小值,所以 sin( n+ () = 1 ,n故 sin (= 1.又 0v (v n,所以(=由(1)知

13、 f(x) = sin(x+p= cosx.因为 f(A)= cosA=.32 ,且A ABC的内角，所以A= n由正弦定理得sinB =bsinAan 7 n4= 12 ；r nn当 B =匚时，C = n A B= n-46,3n r n 3 n n12-当 B =才时，C = A B = 6 -47 nn综上所述，C=或C = n(理)在厶ABC中,A,B, C分别是三边C Ca, b, c 的对角.设 m= (cos, sinq, n =C . C (cosq, si nq),m,nn的夹角为3.(1)求C的大小;已知c= 2三角形的面积S=普,求a + b的值.2C2C解：(1)m n= cos2 sin = c