第二节电源及其电动势

1、第三章稳恒电流§ 2 电源及其电动势（P259）1. 在地球表面上某处电子受到的电场力与它本身的重量相等，求该处的电场强度（已知电子质量m=9.11 IO”1 千克，电荷为 -e = 1.60 10 J9 库）。- F解：根据电场强度的定义 E =匚可得:qmg= 5.6 10J1 N/C2. 电子所带的电荷量（基本电荷-e ）最先是由密立根通过油滴实验测出的。密立根设计的实验装置如附图所示。一个很小的带电油滴在电场E内。调节E，使作用在油滴上的电场力与油滴的重量平衡。如果油滴的半径为 1.64 10*厘米，在平衡时，1.92 105牛顿/库仑。求油滴上的电荷（已知 油的密度为0.8

2、51克/厘米3）。解：油滴所受的电场力为：F = Eq由题意可得：F = Ee = mg43 °m r :3-q=8.03 10%3E3. 在早期（1911年）的一连串实验中，密立根在不同时刻观察单个油滴上呈现的电荷，其测量结果（绝 对值）如下：6.568 10，9 库仑-1913.13 10 库仑19.711049 库仑198.204 10 库仑1916.48 10 库仑922.89 10 一 库仑11.50 10*9 库仑18.08 10"库仑26.13 109 库仑根据这些数据，可以推得基本电荷e的数值为多少?解：测量结果中相近实验数据的差值为:e, =19.71 1

3、0J9C -18.08 10J9C =1.63 10J9Ce2 =18.08 109C-16.48 10,9C=1.60 109Ce3 =13.13 1019C -11.50 10J9C =1.63 10J9Ce4 =8.204 109C-6.568 109C =1.636 10J9Ce5 =26.13 10“C-22.89 109C =3.24 10J9Ce6 =22.89 109C-19.71 109C=3.18 10J9Ce? =16.48 109C-13.13 109C=3.35 109Ce8 =11.50 109C8.204 109C =3.296 109C利用逐差法可得基本电荷 e

4、的数值为：c-ej +6 -e2)+G -e3)+6 -e4)y 64"0%-4-.4. 根据经典理论，在正常状态下，氢原子中电子绕核作圆周运动，其轨道半径为5.29 10 J1米。已知质子电荷为e=1.60 1049库，求电子所在处原子核（即质子）的电场强度。 解：根据点电荷场强表达式，电子所在处原子核的电场强度为：1 q11E2 =5.14 10 N /C4二；o r5.两个点电荷q:i：8.0微库仑，q2 =-16.0微库仑（1微库仑-10库仑），相距20厘米。求离它 们都是20厘米处的电场强度 E。q1、q2在O点的场强分别为:E11q14 ；0 r2，E21 q224二；0

5、 r解：建立如图所示的坐标系，由点电荷的场强公式可得,方向见图。将 E1、E2沿坐标轴分解：E1x 二 E1 cos60°， E2x 二 E2 cos60°E“ = E1 sin600, E2y - -E2sin600Ex 二 Eix E2X = (Ei E2)cos60°Ey =Eiy E2y =(巳-E2)sin600Ex =2.70 106N/C Ey=-1.56 106 N/CO点处电场强度E的大小:O点处电场强度E的方向:E = Je； +E： =3.12 汇 106N /C4 二；0r - -300tg_Ey6.如附图所示，一电偶极子的电偶极距p=ql

6、 , P点到偶极子中心 O的距离为r , r与I的夹角为。在r八l时，求P点的电场强度E在r = OP方向的分量Er和垂直于r方向上的分量E。解：电偶极子_q在P点产生的电场分别为：L_q_方向见图。将E.、E_沿r -OP和垂直于r的方向分解:Er = E cos： -E_cos :r - - cos -其中：COS二2r +r -cos -2 si nar_丄 si丄 sin=2，sin ：二債。代入得:rr_1 r -23r cos-rLcos23r2r化简得:<lsinel .、si n日E日=q2+ 23r+3r_丿r »lr. = r - 丄 co s ,2.2ql

7、 cos6 Er4二；°r32 p cos4 二；°r3E.ql sin v4二；0r3psin4 二；0r37.把电偶极距p =ql的电偶极子放在点电荷 Q的电场内，p的中心O到Q的距离为r ( r a l )。分别求 p/QO (图a)和 p_QO (图b)时偶极子所受的力 F和力矩L。解：当p/QO时电偶极子上_q所受的力分别为:qQF =4o（r 二）4"o(r -)2电偶极子所受的合力为：F_ = 4二；o（r ）2I2-_1Q）2 （已）2. 2qlQF1A34m 0r力矩：L1 =02pQ3，4二；0r3方向指向Q 当p - QO时作用在一 q的力分

8、别为:厂qQF 一12 ，4二；0（r2"）-qQ2 l2 4：；0（r）沿竖直方向:Fy 二 F .yF_y = 2F S"2qQqlQpQ4- ；o(r2:2)2 . 1244二；o(r2j叮 45(1；)44沿水平方向:Fx=F x F _x=04二；o(r21 )'2F2 =pQ 3，方向竖直向上。4二；0r故电偶极子所受的合力为:FFypQ因F,、F）不共线，故电偶极子受到力矩作用，力矩为:L2= 2F，x£ _ Qp24 二；0r2L2Qp r- 34二；0r（r为Q指向p的中心）p二ql组成，这两偶极子在一直线上，但方（r l），8.附图中所

9、示是一种电四极子，它由两个相同的电偶极子向相反，它们的负电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）为处,3Q44二；0r2式中Q =2ql叫做它的电四极矩。证明： 右边的电偶极子在 P点产生的场强:r -曲“p12p二 rj3向右左边：E左P， 向左4® (r + 丨)6 pl24- ；0r43Q4- ； 0r4方向向右。9.附图中所示是另一种电四极子，设q和l都已知，图中P点到电四极子中心 O的距离为x， PO与正方形的一对边平行，求 P点的电场强度 E。当x八l时，E = ？解：分为左右两个电偶极子讨论。设右边电偶极子在P点产生的场强为 巳，设左边电偶极子在 P点产

10、生的场强为E2。Ei qi4二；° (x丄)2上24P_4二；° (x£)2 +H24方向向上。E2 =qi4：；。(x 2)2+丨214+ H24方向向下。P点的合场强为：E 二 Ei方向向上。32-IRTLO432当x丨时，E44%x10.求均匀带电细棒 在通过自身端点的垂直面上和 在自身的延长线上的场强分布，设棒长为21，带电总量为q。解： 建立如图所示坐标系。设端点垂直面上的 P点到棒的距离为r，在棒上任取微元dx，微元dx所带电量dq =?;edx在P点产生的场强为:dq-edx4- ；0 r2 (I -x)24 二；or2 (I -x)2dE在z轴、r

11、轴上的分量分别为:dEz edXdEr二 EzEr合场强为:EP4二；o4二；°二 JdEz二 dEr二 Ezi设棒延长线上的r2 (I -x)2cost8二；0I(I -x)dx2 (I - x)222 2r (I - x)rdxr2 (I -x)2.2-q8二；0I8二 0IErj 二I (I -x)dx-_L2 2(I -x)rdx（I x）22P 点到棒中心的距离为-edx(z-X)2-q8二；ol则P点的场强为:E 二 dE 二I -qdx二；0I(z -x)211.两条平行的无限长直均匀带电线，相距为任一点（设这点到其中一线的垂直距离为I-8 二；0 |r , r2412

12、4二；0r r2412 i j4I24二；0r、r2412z，棒上微元dx所带电量dq - edx在P 点产生的场强为:dx(z-x)2-q4二；o(z2 -I2)a，电荷线密度分别为-e。 求这两线构成的平面上x）的场强。 求两线单位长度间的相互吸引力。解： 建立如图所示的坐标系。无限长直均匀带电线在其周围产生的场强为:nE 2二；°r则图中任意一点 P的场强为:e2二；one 11E = e (-)x a x方向沿x轴正方向。 两线单位长度间的相互吸引力为:dfnedl2- ；0adldl12. 如附图，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为q。 求轴线上离环中心 O为x处的场强E

13、 ； 画出E - x曲线； 轴线上什么地方场强最大？其值是多少?解： 由对称性可知，圆环在 P点产生的场强沿轴线。圆环上任一线元dl在P点的场强为:dEedldl4 二；°R2x22 28二；0R R x沿轴线上的分量为:dExdl22 cos =-8 二；°R R xxdl8二；0RR2 x2 2则P点的场强为:xdlqx8二 0R3 3(R2+x2 尸4o(R2+x2)2方向沿x轴。dER2 x2 '2 -3x2 R2 x2、dxEmax613二；0R2R2 x222八 2小R x -3x 013. 半径为R的圆面上均匀带电，电荷的面密度为c e。求轴线上离圆心

14、的坐标为 x处的场强； 在保持二e不变的情况下，当 R > 0和Rr 时结果各如何? 在保持总电量 Q=:Rle不变的情况下，当 R 0和R时结果各如何?解： 在园面上作半径为r、宽为dr的与圆面同心的圆环， 该圆环在轴线上任一点 P点产生的场强为:dE=xdq4“0(*2)32整个圆面在P点产生的场强为:x R 2二r；edr4二；o(r2 x2)'2_ ;e x2% |x| Jr0时,:时，2 ；0总电荷Q不变E匚1 20R2-1 -1i R2Q22二；0R1-1-Q24二；0x正方形轴线上离中心为 x处p点的场强为:14. 一均匀带电的正方形细框，边长为 I，总电量为q。求

15、这正方形轴线上离中心为 x处的场强。解：长为I的细棒，在棒中垂面上距棒为r处产生的场强为:叫.；22二；°r、r2 (I 2)2E = 42吓°Jx2 +(l2 Jx2 +(l 2)2+(l 2)2Jx2+(l2qx24 二；0(xX222方向沿轴线。15. 证明带电粒子在均匀外电场中运动时，它的轨迹一般是抛物线。这抛物线在什么情况下退化为直线？证明：带电粒子在均匀外电场中运动一般是在平面上运动，建立如图所示坐标系。带电粒子沿x轴作匀加速直线运动，沿 y轴作匀速直线运动。加速度分别为：qE门ax， 3y = 0m沿坐标轴初速度分量分别为：vx 二 v0 cost， vy 二 v0 sin则带电粒子的运动方程为：x=v0tcos： 1qE t2， y = v0t sin ：2 m轨迹方程为：.1 qE2 mv； sin2 二y2，为一抛物线。当sin v - 0时，即v - 0或-，抛物线退化为一条直线，直线方程为:y = 0此时带电粒子作匀加速直线运动。16.如附图，一示波管偏转电极的长度l =1.5厘米，两极间电