常微分方程复习资料

1、常微分方程复习资料一、填空题1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.2 方程y 2y y 0的基本解组是3一个不可延展解的存在在区间一定是区间.4 方程dy.1严的常数解是dx、5方程dy X2 y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是dx6 若y (x)在(，)上连续，则方 dy非零解綽(x)y的任.与X轴相交 dx 7j在力y p(x)y q(x)y 0中，如果P(x), q(x)在(,)上连续，那么它的任一非零解在xoy辜面上与X轴相切.&向量函数组Yi (x) ,丫2 (x) , ,Yn (x)在其定义区间I上线性相尖的 条件是它们的朗斯基行列式 W (x) 0 , X

2、 I 9方程x (y21) dxy (x21) dy 0所有常数解是 10 .方程y4y 0的基本解组是11 方程叢、y 1满足解的存在唯一性定理条件的区域是dx共同零点.12 若y 1 (x) ,y2 (x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 二、单项选择题1)(D)除y轴外的全平面1 方程dyx3y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( dx(A)上半平面(B) xoy平面(C)下半平面2f (y)连续可微是保证方程直 f (y)解存在且唯一的()条件dx(A )必要(B)充分(C)充分必要(D )必要非充分3二阶线性非齐次微分方程的所有解()(A)构成一个2维线性空间(B)构成

3、一个3维线性空间(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性4 -方程一y 3y3过点(0, 0)有()dx(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解5n阶线性齐次方程的所有解构成一个()线性空间(A)n 维(B) n 1 维(C)n 1 维(D)n 2 维6方程dyX y2 !()奇解dx(A)有三(B)无(C)有一个(D)有两个7 若y(X), y2 (X)一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为()(A)1 (x)( 2 ； x) (B)1 (x)2(x)(C) C( i(x) 2(x)1 (x)(D) C 1 (x)2(x)&am

4、p;fy(X, y)连续是方程dyf (x, y)初值解唯 dx一的(C)充分必要)条件.(D)充分(A)必要(B)必要非充分9 方程y的奇解是()dx(A)y x(B)y 1(C) y 1(D)yo10方程吐: ii v?过占D共有()个解.dx2(A) 一(B)无数(C)两(D)三11. n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个.(D) n+2)(A) n( B) n-1( C) n+112. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差(A)不是其对应齐次微分方程组的解(C)是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解 (D)是非齐次微分方程组的通解13.xoy平面上连

5、续，那么方程矽 y(A)必为(，)(B)必为dx(0,(C)必为如果f (X, y),仁为于都在f(x,y)的任一解的存在区间(,0)(D)将因解而定).dxdxXX3.也Hvyxy54,2xydx (x2dyxy2dx 1 xy2)dy 05yxy2(y)36.7.也Hvsye2x8.(x3 xy2)dx(x2y y3)dy9. evyxO10yy (y)20dy11. 7dx/Xt昇X12.dx 11 dx x13. (x2ay)dx xdy 014.y (x Iny)115 yyy22x016求方程y5y5x2的通解.1(y)2Y叢y iny1.2.1三、计算题求下列方程的通解或通积分:

6、17.求下列方程组的通解.dxdt dy dt19 求下列方程组的通解dxsin t18涉古矩/ /dt理dt2y3x4y五、证明题1设f(x)在0,)上连续，且lim f (x) 0，求证：方程dy y f(x)的一切解y(x)，均有xdxlim y(x) 0 X2.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.3 设f (x, y)在整个xoy平面上连续可微，且f(x, y。) 0 .求证：方程旳f (x, y)dx的非常数解y y(x)，当x xo时，有y(x)y

7、o，那么x0必为 或4. 设y Nx)和y 2 (x)是方程y q(x)y 0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W(x) C ,其中C为常 数.5. 在方程W f(y) (y)中，已知f(y),(x)在(，)上连续，且(1)0 .求证：对任意X。和dxy 1，满足初值条件y(x。) y的解y(x)的存在区间必为().6 在方程y p(x)y q(x)y解在xoy 0中，已知p(x) , 4(刈在()上连续.求证：该方程的任一非零平面上不能与X轴相切.参考答案一、填空题1.22. ex, xex 3 .开 4.y1 5 . xoy平面6 不能7 .不能8 .必要9 . yI1, X110.

8、sin 2x, cos2x11 . D(x,y)R2|y 0,(或不含x轴的上半平面)12 .没有二单项选择题1.D 2.B3.C 4.A5.A6.A 7.C8.D9.D10.B 11. A 12.C13.D三、计算题1 .解当y 0, y 1时，分离变量取不定积分，得dydxCyiny通积分为in yCex2 .解令y xu，则dy1pl.1 .dxdxdu2X1 udx分离变量，取不定积分，得V 竺 InC( C 0)1 U2 X通积分为：arcsin 乂 In CxX3解方程两端同乘以y5，得5dy 4y y Xdx令屮z，则4y5业生，代入上式，得dx dx通解为1 dz4 dxz C

9、e4x原方程通解为Ce4x4 .解因. 2xy 取（xo, y。）N，所以原方程是全微分方 程.x(0, 0)，原隔附耕耀分为X02xydx5 解6解13xy通解为原方程是克莱洛方程，2C3当y 0时,0儲变量得di fdxy 1 X等式两端积分得'n y即通解为y C 1 x27解齐次方程的通解为3xy Ce令非齐次方程的特解为 y C(x)e 3x代入原方程，确定出C(x)原方程的通解为&解由于Ce2xy3x1 2x+ e5N ，所以原方程是全微分方程.Xy取(X。，y。)(u, U)，原方程的通枳分为 p (x3 xy2)dx Jy3dy G x4 2x2y2 y4 C

10、9 解令y t,则原方程的参数形式为x t elyt由基本尖系式dy ydx t (i ejdt积分有得原方程参数形式通解x t el1 2t y -t2 el(t 1) C210 解 原方程为恰当导数方程，可改写为(yy)0即yyC1分离变量得ydyGdx积分得通积分0Ci x C211解令yu，则dyu x巴，代入原方程'得XdxdxduUduu tanu ,xtan ux - dxdx当tanu 0时，分离变量，再积分，得du dxInCtanu xIn sinu In x In C即通积分为：sinexX12 .解 齐次方程的通解为y Cx令非齐次方程的特解为y C(x)x代入

11、原方程，确定出C(x) lnxC原方程的通解为y Cx + xlnx13 解积分因子为(x)2x原方程的通积分为i/e J2)dx $ dy G1 X0即 Gx - C, C 6 Ci)X14 解令y p，则原方程的参数形式为x In pPy P由基本尖系式dydx有dyy dxp(12-)dpP(11rlcP积分得y PInpc得原方程参数形式通解为1x In ppy p In p C15 解原方程可化为(yy X2)0于曰dy 2于疋y xCidx积分得通积分为1 213y CX xC223(6分)16 .解对应齐次方程的特征方程为25o ,X c costCiysi nt令非齐次方程特解

12、为sintC2 cost特征根为10， 25,齐次方程的通解为y CiC2e5x因为 0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为yi(x) x(Ax2 Bx C)代入原方程，比较系数确定出原方程的通解为1 31 2y Ci C2e5x x x3517 .解先解出齐次方程的通解152x25225sintC2 cost1sint0tCl (t),C2 (t)满足cost si nt Ci (t) sin t cost c2 (t)解得 G(t)遊 1, C2 (t)1sin t积分，得 Ci(t) In si nt，C2 (t)通解为costsin t cost In sin tC1 -s int C

13、2 costt sin t-sint In si ntt cost18.解对应的齐次方程的特征方程为:特征根为：1 1,2故齐次方程的通解为：y Gex C?e x因为 1是单特征根.所以，设非齐次方程的特解为%(x) Axex代入原方程，有2AexAxex /故原方程的通解为yCiex C2(解方程组的特征方程为12严34即2320特征根为J2211对应的解为31toyithX019其中ai, bi是11 Xex，可解出21 X-xe 411对应的特征向量的分量，满足2 ai 04 1 bi可解得ai 1 ,bi冋样可算出2 2对应的特征向量分量为所 a2 2, bi 以，原方程组的通解为1

14、.eCite2e2tC2 3e2t五、证明题1证明设y(x)是方程任一解，满足y(x。)y0，该解的表达式为取极限limXy(x) limXXoypX xoelimXXx f(s)e(sx。dsX上0,若 f(s)e(SX0)dsXf(x)e(xx。)limX2证明设ydx), y2 (x)是方程的基本解组，则对任意x (X xo eo,若 f(s)e(sxo)dsXo)，它们朗斯基行列式在(上有定义，且W(x) 0 又由刘维尔公式p(s)dsW(x) W(Xo) e 初,Xo(，)Xp(s)ds由于W(xo) 故W(x)是(3证明由已知条件，方程在整个解都可延展到平面的无穷远。W (x) W

15、(Xo)e ”p(x)o, p(x) o,于是对一切x(,)，有W(x) 0 或 W (x)0,)上的严格单调函数.xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一(2分)又由已知条件，知y yo是方程的一个解。假如方程的非常数解yy(x)对有限值Xo有lim y(x) yo 那么由已知条件，该解在点(xo, yo)处可向XxX。的右侧(或左侧)延展这样，过点(X。, y。)就有两个不同解y y和y y(x) 这与解的唯一性矛盾，因此X。不能是有限值.4证明如果y 丨(X)和y2 (x)是二阶线性齐次方程y P( x)y q(x)y 0的解，那么由刘维尔公式有XP (t)dtW(x) W(x)e x0现在，p(x) 0故有bdtW(x) W(x)e x0 W(x。) C5.证明由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.显然y1是方程的两个常数解.任取初值(x。，* )，其中X。(，)，y。1记过该点的解为y y(x)，由上面分析可知 一方面y y(x)可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y 1，下方不能穿过y