第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题_第1页
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第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题_第3页
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文档简介

1、第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题(二)【例5】长度为a ( a 0 )的线段AB的两个端点 A、B分别在x轴和y轴上滑动，点 P在线段AB上, 且AP = PB ( 为常数且，.0 ).(1)求点P的轨迹方程C，并说明轨迹类型;(2 )当=2时，已知直线h与原点O的距离为ah的斜率k的一，且直线h与轨迹C有公共点，求直线2取值范围.答案：(1)设 P(x,y)、A(x,0)、B(0,y。)，则= PB =由此及 | AB | = a= xo y2 = a2，得x - x0 - - x y = (y -y)X。=(1，)X1 ， y。 yI k当0时，方程(* )的轨迹是焦点为a为半径的圆.

2、2(2)设直线11的方程:y = kx h，据题意有亍，即h=：/疋(H,0)，长轴长为Fa的椭圆.、！一 1中扎2扎当丿，1时，方程(* )的轨迹是焦点为(0,二.a)，长轴长为a的椭圆.中1 +扎1 + K当，=1时，方程(* )的轨迹是焦点为以 O点为圆心,y = kx h2 9 2 9x y I 4过点C (- 1,0 )的直线I与椭圆Ek229922冷得 9(1 ?x-khx ；h a9因为直线11与椭圆9x - y二a有公共点，所以：-9(4 k )a -81h - 0,4又把h =a1 +k2代入上式得：k2乞7,二一、兰k兰空5 .555【例6】椭圆E的中心在原点 O,焦点在x

3、轴上，其离心率相交于A、B两点，且满足点C分向量 AB的比为2.(1)用直线I的斜率k ( k丰0 )表示 OAB的面积；(2)当厶OAB的面积最大时，求椭圆 E的方程。32 2解：(i)设椭圆E的方程为笃爲=i( ab0 )，由e = a ba- a2=3b2故椭圆方程 x2 + 3 y2 = 3 b2设 A(xi,yi)、0X2, y2),由于点C (- 1, 0)分向量AB的比为2,xi 2x2十.yi 2y20-=0 Xr i = -2( x2 i)yi =-2 y2L 2 +32 3b2X y = b 消去 y 整理并化简得(3k2+i)x2+6k2x+3k2 3b2=0y =k(x +i)由直线I与椭圆E相交于A (xi,yi) , B(X2, y2)两点得:0恒成立(点C是AB的内分点)6k23k2 i3k2 -3b2x-X2厂i 23k2 i而 Sx OAB= 1 | yr - y2 | =丄2 22由得:X2+仁一2 3k2 +i333|-2丫2-丫2丨| y2 | k(X2 -1)|k|X2 222零(0)3k2 i,代入得：Sx OAB(2 )因2卅命滋|k|V3当且仅当k, S oab取得最大值3此时 Xi + X2 = i, 又T 勺2

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