考研数学高数部分模拟题的答案(共14页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上考研数学高数部分模拟题的答案一、选择题（18小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）设函数在区间-1,1上连续，则是函数的（ ） 跳跃间断点. 可去间断点. 无穷间断点. 震荡间断点. 【答案】 【详解】所以是函数的可去间断点故应选.（2）曲线，渐近线的条数为 （ ） 0. 1. 2. 3.【答案】【详解】 因为，所以为垂直渐近线；又 ，所以y=0为水平渐近线；进一步，=， = =，于是有斜渐近线：y = x. 故应选.（3）设函数在闭区间 上有定义，在开区间内可导，则 （ ）当时，存在

2、，使. 对任何，有.当时，存在，使.存在，使.【答案】 【详解】由于在内可导. ，则在点连续，故.（4）设则 （ ） . . . .【答案】【详解】故所以偏导数不存在所以偏导数存在应选（5），则之间的大小顺序为 （ ） 【答案】【详解】（6）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是 （ ）. . . .【答案】.【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解为，故应选().(7) f(x)为二阶可导函数设当时，而的图形如图所示，则在内 ( ) (A)有3个极值点，2个拐点 (B)有3个极值点，3个拐点 (C)有2个极值点，3个拐点(D)有2个极

3、值点，2个拐点 【答案】 (C) 【分析】 f'(x)在处为0，在和的两侧f'(x)符号改变了，但在的两侧f'(x)的符号没有改变，由取得极值的充分条件是极大值点，是极小值点，不是极值点在的两侧g(x)的单调性发生了变化，即f'(x)的单调性发生了变化，则f"(x)在这三个点的两侧的符号发生了变化，因此，是曲线yf(x)拐点的横坐标选(C)（8）设yy(x)在0，)可导，在"x(0，)处的增量yy(xx)y(x)满足，其中当x0时是与x等价的无穷小，又y(0)1则y(x)等于 (A)(1x)ln(1x)1 (B)ln(1x)1 (C) (D)

4、1x. 【答案】 (A) 【分析】 本题实质上是解微分方程的初值问题首先，将等式两边除以x，并令x0，注意 (可导必连续) 于是得 这是一阶线性非齐次微分方程的初值问题，其为 由y(0)1得c1，所以y(1x)ln(1x)1，选(A)二、填空题（914小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）（9） 极限 .【答案】2【详解】由于当，则.（10）设曲线在点(0，1)处的切线与x轴的交点为，则【答案】0【详解】曲线在点(0，1)处的切线斜率，所以，曲线的切线方程为yn(x0)1nx1，令y0得，因此，从而有（11） 方程确定隐函数，则 .【答案】0【详解】把方程两边分别对 x求导数得当

5、x=0时，从原方程得y=0，所以0.（12） 已知方程有且只有一个正根，则实数的取值范围是_.【答案】（4,）【分析】 引入函数则方程. 因故函数f（x）有两个驻点x11与x23.列表讨论f（x）的单调性如下：x（）1（1,3）3（3,+）+00+f40此外，还有f（0）0,和，从而的图像如右： 不难看出，当k<0时f（x）k有唯一根，且为负;当k0时f（x）k有两个根x10与x2=3;当0<k<4时f（x）k有三个根，且都是正根;当k4时f（x）k有两个根，一个是x11，另一根x2>3;当k>4时f（x）k有唯一根，且为正.故k的取值范围为（4,+）.（13）

6、交换积分次序【答案】 【详解】这是两个累次积分之和，需将它们对应二重积分的积分区域合并成一个区域，然后再交换积分次序 第一个累次积分对应的积分区域是 第二个累次积分对应的积分区域是 从而， . 于是，交换积分次序为先对y积分，后对x积分，得 (14) 满足,，则 【答案】 【详解】x0时，有xsinx， 所以原式 三、解答题（1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分） 设试求.【详解】 令2xt，则 （16）（本题满分11分）设有一阶连续导数，且，并存在.若求，并证明在连续。【详解】时于是当时由连续性的运算法则得到连续.当时即在也连续，因此，在

7、连续。（17）（本题满分10分）设是连续函数，（I）利用定义证明函数可导，且；（II）当是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数（I）【证明】【注】不能利用LHospital法则得到(II) 【证法1】根据题设，有，当是以2为周期的周期函数时，从而 因而取得，故 即是以2为周期的周期函数【证法2】根据题设，有，对于，作换元，并注意到，则有，因而 于是即是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有，当是以2为周期的周期函数时，必有事实上，所以取得，所以即是以2为周期的周期函数（18）（本题满分11分）求二元函数的极值。【详解】 故则而二元函数存在极小值（19）（本题满分10分）

8、计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x的一次函数，“先x后y”积分较容易，所以 （20）（本题满分10分）设求证：函数满足不等式【分析与证明】 先考察 方法1° 用泰勒公式。在处展开，有 分别取被展开点xa，b得 其中 +得因为又因当时严格单调下降方法2°引进辅助函数利用单调证明不等式，将b改为x，分别考察辅助函数与 其中1axb.由 其中1<特别有 再由其中1于是，当1a<x时 即G（x）此时单调增加，G（x）>G（a）=0特别有G(b)>0,即（

9、21） （本题满分10分）求微分方程的通解.【详解】齐次方程的特征方程为由此得对应齐次方程的通解为设非齐次方程的特解为代入原方程得从而所求解为（22）（本题满分11分）设f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导，且f(a)f(b)1，证明：必存在，(a，b)使得【分析】 将方程分离变形为 知，在a，b上分别对函数，运用拉格朗日中值定理，再组合可证得结论 【详解】 设，由已知f(x)及在a，b上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在，(a，b)，使得 及 两式相比，及由f(a)f(b)1，有 .（23）（本题满分11分）设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域 。(I) 求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);(II) 当a为何值时，V(a)最小? 并求此最小值.【分析】V(a)的可通过广义积分进行计算，再按通常方法求V(a) 的最值即可。【详解】 (I)