平面问题的直角坐标解答

1、弹性力学辅导二第三章 平面问题的直角坐标解答一、本章学习指导本章是按应力求解平面问题的实际应用。 其中采用应力函数©作为基本未知函数进行求解，并以直角坐标来表示问题的解答。在学习本章时；应重点掌握：1按应力函数 © 求解时， ©必须满足的条件。2、逆解法和半逆解法。3由应力求位移的方法。 4从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹性力学和材料力学解法的导同。二、逆解法与半逆解法当体力为常量时， 按应力来解已经归纳为求解一个应力函数由 © ，它必须满 足下列条件：1在平面区域 A 内的相容方程； 2在边界上的应力边界条件（假设全部边界上都为应力边界条件） ；3、

2、对于多连体，还须满足多连体中的位移单值条件。在求出应力函数 ©后，便可以求出应力分量，然后再求出其他未知函数。相容方程是四阶偏微分方程。 它的解不同于常微分方程， 可以表示为有限个 解答的形式。 或者说，相容方程可以有无限个解答。 为了寻找能满足给定问题的 边界条件的解答，可以采用逆解法和半逆解法。逆解法的主要步骤如下：1）先找出满足相容方程的解答；2）求出应力分量；3）在给定的边界形状（给定的边界方程）下，根据应力边界条件由应力反 推出相应的面力， 即得出边界面上的面力分布后， 我们可以反过来证实： 在面力 作用下，该问题的解答就是上述的应力函数 © 和相应的应力。采用多

3、项式表示应力函数 ©的一些解答。 当多项式小于四次幂时， 它们必然 满足相容方程。其中一次式© = ax + dy + c,对应于无体力、无面力和无应力的状态。二次式© = a 2x + dxy + cy2,可以表示常量的正应力和切应力的状态。三次式 © = ax3+ bx2y+ cxy2+ dy3，可以表示各种线性分布的应力状 态。半逆解法求解的具体步骤如下：1）根据弹性体受力情况和边界条件等，假设应力分量的函数形式；2）由应力推出应力函数 ©的形式；在半逆解法中寻找应力函数负时， 通常采用下列方法来假设应力分量的函数 形式：（ 1）由材料力

4、学解答提出假设， （2）由边界受力情况提出假设， （3）用量 纲分析方法提出假设。3）求出 ©的具体表达式；4）求出对应的应力分量；5）将应力代人边界条件，考察它们是否满足全部边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件） 。如果所有的条件均能满足， 上述解答就是正确的解答。 否则，就要修改假设，重新进行求解。在考核应力边界条件时，必须注意以下几点：1）首先考虑主要边界（大边界）上的条件，然后考虑次要边界（小边界） 上的条件。2）在主要边界上，必须精确地满足边界条件，每边应有两个条件；3）在次要边界上， 如不能满足式精确边界条件时， 则可以应用圣维南原理， 用三个积分的近似边界条件（

5、主矢量和主矩的条件）来代替，4）必须把边界方程代入边界条件；5）分清在边界条件中应力和面力的不同的符号规定。6）除一个次要边界外，其他所有边界条件都必须进行校核并使之满足。当 平衡微分方程和其他应力边界条件都满足以后， 从整体平衡条件可以得出， 本校 核的一个次要边界上的三个积分边界条件是必然满足的。三、位移分量的求出 在按应力求解时，若已经求出应力分量，如何求出对应的位移分量。 由己知应力求位移的步骤是：1将应力分量代人物理方程2将形变分量代入几何方程，3从几何方程积分求出u和v后，还包含三个待定的刚体平移 u。v。和 刚体转动量3。它们须由相应的刚体约束条件来确定。例题1:设单位厚度的悬臂

6、梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不 计，I >> h,如下图所示，试用应力函数 二Axy + B y2 + C y3 + Dxy3求解应力 分量。1、将代入相容方程，显然是满足的。2、将代入应力公式，求出应力分量。er x = 2B+ 6Cy+ 6Dxycr y = 0= - ( 4 +3+考察边界条件：主姿边界y = ± A/2(巧)，土"二0，满足；=得(a)在次要边界-O±T只给出了面力的主矢诡和主矩，应用圣维南原理* 用三个积分的边界条件代替° f ( b.T ) r二-求得' -h/2)i =o7y = - M * 求得J -h/2(J)Hn好-Fif 得八“由式5), (b)解出代人应力公式*得斥 12.W】2叭w、= 0.例题 2：已知2 2 2 2 2(a) 二 Ay (a-x)+ Bxy + C (x + y )(b) = A x4+ Bx3y+ Cxy2 + E y4试问它们能否