平面几何讲座26题(含答案)

1、i.在_中，淨厂/:跻盘o平分一.i；7< 交.于，如图,m,垂足为煜:丄莎；.为垂足。是.中点，.【是.用旷中点。若 wq送的外接 圆 与.的另一个交点为 丁。求证：四点共圆。证明：作AQ延长线交BC于N,则Q为AN中点，又M为AC中点，所以QM BC所以1PQM = PBCABC .2同理，1MPQABC .所以 QM= PM2又因为 Q,H,P,M 共圆.所以.PHC =/PHM 二/PQM . 所以 PHC - PBC.所以 P、H、B、C 四点共圆.BHC =/BPC =901 故 HE BC 二 EP .2结合 OH -OM，知 OE 为 HP中垂线，易知.EHO =/EPO

2、 =/OPM，所以OH、E、M四点共圆.2.如图，在 ABC中，DE / BC , AE 的内切圆与DE切于点M , ABC的BC边上的旁切圆切BC于点N，点P是BE与CD的交点求证：M、N、P三点共线.证设BE与MN交于点P'.BP BC BP' BN因为DE / BC，所以，PE DE P'E EM故只需证明BC BNDE - EMBNBCEMDE10分MDEBCN二 AB BN，如图,设、02分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心,F、G、H、I为切点，贝U1EM AE DE - AD ， AH 二 AB BH1AH = AI AB BC AC1BN =AH -ABA

3、C BC - AB .220分又 ADE s ABC，故可设AB BC AC ,Lx，AD DE AE则1BN 2(AC BC-AB)BC 一BC(k AE k DE -k AD)2k DE(AE DE - AD) _ EMDE2DE40分故结论成立.3.在 MBC中，点Ai,B1C 分别是三边上的点，点G, G , G , G分另U是M B QA A B,C iB AC 的重心卫点 Gi,G2分别是 AABiCij!GaGbGc的重心。(1 )求证：点GGG共线;(2)直线AGa,BGb,CGc共点的充要条件是直线 AAi,BBi,CCi共点。证明：由且0C 二 O A(i -) 0,触中：

4、，(0,i)，i 故 0G (OA OB OC)，3-)0B (i"1)0C，4 i i0Gi(0Ai0Bi0Ci)(i 一：)0A (i ：3,3*4 T 4*i0Ga(OA0Bi0Ci)(2 - ：)0A (i- )0BOC，33ii0Gb(OB0Ai0Ci) OA(2 川爲一JOB (i - ：)0C，33OG7（OC OB1 OA1）（1 一 jOA ： OB（2 二心）OC，3311OG2（OGa OGb OGc）（3 -2 ： 2 ）OA （3 2: -2 ）OB （3-2: 2 - ）OC39所以，1GG1（'©OA （： -）OB （Y：）0C,31

5、G1G2（-： ）OA（ -）OB （二 F）0C，所以 GG/G1G2 ,G,G,G2 共线;9（2）设 BGbg,AGa分别交边 CA,AB,BC 于点, 且 CA2 = pCA, AB qAB,BC2 =tBC，其中 p,q,t （0,1）,由（ 1）得,CGb =OGb -OC =】OA （2L）OB （一2一 ： ）OC31OA （2 仁一 ）OB -（2 仁-F）OC - OC 31（2 “）CB CA31（2： - ）CB，故 CA2LA2A 1 - p 1 -a3由B,Gb,A2共线得，（2 * -1，得p二33 p1/AB2:BC2 _轮换得，丽-口谚-厂，AC -c又由 O

6、A =OB （1 -）OC得,:BA1 = （V : ）A1C，故一，由轮换得，BA 1 口旦A_L CBJL，且_JL._L._LxJL，1 _Y '1 _o（1_p 1_Y 1 _a 1_B 1_Y'故由塞瓦定理，直线 AGa,BGb,CGc共点的充要条件是直线 AA1,BB1,CC1共点。4. AD是锐角. ABC的一条高，P是线段AD上一点，延长BP交AC于点M ,延长CP交AB于点N ,又MN与AP交于点Q,过点Q的任意一条直线交线段 PN于点E,交线段AM 于点 F ,求证：EDA 二 FDA.如图连接DN,DM并延长，交过A点与BC平行的直线于 R,K .先证明.

7、NDA=/MDA.由塞瓦定理知=1，又塑二空,CM=（利用平行线BC/RK的性NB BD MA AK质），得 AK = AR，从而又 AD _ RK 得 NDA 二 MDA .sin MDF sin MNDE 、九 再证明/MDF ZNDE，即要证：,设sin ZADF sin NADEADM = ADN一 v , ADF 二：，ADE 二,即上式迴 -si na= sin（ V 由于 S.Mdf = FMSadfAFDM sin（G -） 则 sin（日-。）AD sin jsin 二adLfm afLdm ,同理sin（八-）sin :芈，则式即证明芈peLndafLdmPD_NE 亠 A

8、DLND AFNEPeInd 或dmLpdFM_PE，而牛FM PES.af 1-雜.：S 'MF _sPe-:AQsn AQF NQnNQEMQ sin MQF PQiPQEAQ NQMQ_PQ_ AQNQ pQmq ,又N2MQNDMD（角平分线定理）AfLnE NDAQALpM= 1 （梅涅劳QP MB NA,即 FM LPE MDPQ斯定理），从而鲤二屮qp pmLbnAD，即生昙空，式得证.S.apc S bpc PD FM Pe MD PD_S ABC5.设0和I分别为 ABC的外心和内心， ABC的内切圆与边BC, CA, AB分别相切于点D,E,F ,直线FD与CA相交

9、于点P，直线DE与AB相交于点Q，点M ,N分别为线段PE,QF的中点，求证：OI _MN证明：考虑 MBC与截线PFD由梅涅劳斯定理，有 空.圧.BD=1,PA FB DCPA AF BD AF s - a所以（s为ABC的半周长）CP FB DC DC scPA _ s _ aCA a c因此PA二b s-aa c这样PE=PA AEbs-a2s-cs-as _ a 二 a ca 一c21 (scsa)(scsa)(sa)ME PE,MA =ME -AEs-a =2 a -ca -ca - c2(s-cjs-a) L (s-c) 十口2MC =ME ECs-c，于是 MA MC 二 ME

10、.acac因为ME是点M到ABC的内切圆的切线长，所以 ME2是点M到内切圆的幕,而MA MC是点M至U ABC外接圆的幕，等式MA MC =ME2表明点M到到 ABC外接圆与内切圆的幕相等，因此点 M在ABC外接圆与内切圆的根轴上，同理,点N也在在 ABC外接圆与内切圆的根轴上，故 OI MN .MCD6. O O与O O外切于P,过O O上一点C作O O切线交O O于A B两点，AR BP分别 与O O交于A'、B', CP与O 0交于C'，连C'B'交O O于Q连AQ交CC'于K,求证：A、 B'、K三点共线。证明：O O与O O关

11、于 P位似， C2C/ OC', AB/ A'B'，又t O2C 丄 AB ,二 OQ'丄 AB ,O2C _A'B',BP BC C'A=C'B, CA'=CB', 乙 CB'A' .ZCA'B' , £ CPA' ,/BPC , PA CA在AP上取M使AM =BB',AM =BB', AMQA BB'C' ,- MB' / AQABC' s MB'C', £MB'C' Z

12、ABC' ZAQC',AM BB' BP BC而AA' AA' AP CA K1B' AM BC B'K2 w _ AA' _CA _ K2A'， K、K 为同一点, K K、延长A'B'交 AQ于 Ki,交CC'于KaK2A' KiA' A'Ka K1B K2B'，K2为同一点， A'、A'B' A'B'&B' _ K2B'，B'、K三点共线 K1BK2B'连 C'M 交 AB

13、于 N, C'A=C'B, /C'AP ZC'BP ,7.圆0是厶ABC的内切圆.D、E、F是BC、CA、AB上的切点，DD , EE , FF都是圆0的直径求证：AD , BE , CF 共点.证：设直线 AD；BE；CF 交BC,CA, AB于A, B ,C 过D 作圆0的切线交 AB, AC于M , N 显然 MN /BC= AMD ABA, AD N AA C 贝y MD 二 AD _ D N _ BA _ MD 则 BA 一 AA 一 A C _ A C _ D N连结OM , ON，记圆0半径为r易证B、D、O、F与C、D、O、E分别共圆,则.FOD

14、" BEOD J/C 所以 MOD詁 FOD =2 BNOD 詔 EOD 马 C Btn. mod 七巧,NOD 七吧,所以DDtan旦2 tan C2将代入得：誥tan 2tan 2同理可知:CBtanC2此时鬆黒fB" 根据塞瓦逆定理，可知aa,bb,cc三线共点即 AD : BE ；CF 共点.8.设A B、C、D、E为直线I上顺次排列的五点，虫二雯，F是丨外的一点，连结FC CE CD并延长至 G,恰使.FAC 二/AGD， FEC 二/EGB.求证：.FAC 二/FEC .证法过B作BH/ AF,交CF于H，则CF唱，又由CACDCECH CD。CF CE连结HD

15、 ,知HD / FE ,延长HB,HD分别交AG,EG于I.J ,连结IJ 因为.IBA=/FAC =/AGD，故 I、B、D、G 共圆;因为.JDE =/FEC 二/EGB，故 J、D、B、G 共圆，二 I、B、D、J、G 五点共圆，故 HBC=/DJI。T IH |_1 AF , JH LI EF , /.=GH GJ,故 IJ LAE，一 DJI = EDJ ,GA GF GEFAC "HBC "DJI "EDJ "FEC。证法二：作也EBG外接圆Ci，交射线CF于P，则BC CE = GC CP。又由 BC CE =AC CD，知 AC CD =

16、GC CP，所以 P、A、G、D共圆，记该圆为C2。下证P必在CF内.用反证法，假设P不在CF内。连结PA、PE,则AFE _ APE 二 APG EPG 二 ADG EBG =180： 一. BGD 又.FAE =. AGD，二 180： AFE FAE _180/BGD . AGD . 180 , 矛盾！于是，F 在 GP 延长线上.T FAC - AGD, . FEC - EGB，二 FE 为G 切线，FA 为 C2 切线，二 FA2 二 FP FG = FE2 = AF 二 EF , 故F A C= / F E C9.如图，三角形ABC中，M为BC的中点，以 点，圆O在D E两点的切线

17、交于点AM为直径的圆 O分别与AG AB交于D E两HCcos：二sin证明：设 AM =2r，则 DH 二 EH 二 r tanA ,设 BEH 二：,DAM = 一 CDH - = EAM 二,a sin B. . a sin C,cos J - sin4r4r二 CHBH2 -CH2=(BE HW/BEHEcosZCD HDCDHDcos)2 2二 BE -CD -2HD (BE cos : - CD cost)a 22a a sin B a a sin C(cos BcosC)2rtanA(-cosBcosC)424r 24r2 2aa(cos2B -cos2C)tan A(sin 2

18、B -sin 2C)8 82 2aasin A sin(C - B) tan A cos A sin(C - B) = 0 44BH -CH .10.在直角三角形ABC中，NB = 90°，它的内切圆分别与边 BC, CA AB相 切与点D,E,F,连接AD,与内切圆相交于另一点P,连接PC, PE, PF.已知PC 一 PF , 求证：PE / BC .证：连接DE DF,则厶BDF是等腰直角三角形于是 NFPD =NFDB =45"，故NDPC=45 .又NPDC=NPFD，所以 PFDs PDC 所以PF PDFD - DC又由 NAFP=NADF，乂AEP=NADE

19、，所以， AFP s ADF AEPsEP AP AP FP ADE于是=，故由得DE AE AF DFEP PD DE " DC .因为.EPD/EDC，结合得， EPD s EDC所以， EPD也是等腰三角形，于是 PED - EPD 二.EDC，所以，PE / BC .11.如图，圆Gi与G2外切于点P , PQ为两圆的公切线.直线I交Gi于点A、B，交G2D ,且I不经过点P和Q .记AQ与CP的交点为 与AD平行.于点C、证：EFE , DQ与BP的交点为F 求的位置关系.RP为设PQ交直线I于点R，则显然A、B在R的一侧，C、D在R的另一侧.因为 两圆的公切线，所以由切割

20、线定理得RA?RB RP2= RC?RD ,所以CA RAd RDBD:1 + 一1 +RCRCRBRB考虑线段有向性，上式可记为Ca =BDRCRB .由直线EPC截DAQR得AE 辰QPRC=-1 ；EQ PRCA由直线FPB截DDQR得dFmqpRB鬃1 .FQ PRBD根据、可得|=|，从而EF与AD平行.AB12.设D是厶ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段PB交于点M E,与线段 AC PC的延长线交于点 F、N。如果DE=DF求证：DM=DN .证：对厶AMD和直线BEP用梅涅劳斯定理得:Ai 匹 MB J(1),PD EM BA对AFD和直线NCP

21、用梅涅劳斯定理得:AC对AMF和直线BDC用梅涅劳斯定理得:CFABBMDP(2),PA匹=1(3)DF CAFNNDMD(1) (2)(3)式相乘得:DE fn 匹“,DF所以有EM ND DN一，所以DM -DE DN - DE又 DE=DFDMDM=DN13.、如图，非等腰- ABC的内切圆O I切BC于点G,直线AI交 ABC外接圆于点 D , 过D作DP _ AD交CB延长线于点P 点B对AC边的旁切圆切 AC于点E ,点C对AB 边的旁切圆切AB于点F ,过点B作BK/EF交AD于点J ,交AC于点K .求证：(1) B, J,G,D四点共圆；(2) PI/EFAEF.KJCPGB

22、D(1) 证 明设 ABC 边 长 为 BC = a,CA = b, AB = cAFa c -b2=BG,AEa b -c2又因为BK /EF ,且JA平分.BAK ,所以BJBA FAJK AK AEbg,从而JG/AC.由此 CG可知.DJG - DAC - DBG ,从而 B, J,G,D四点共圆， 因为.JGP=/IDP =90 ,所以 I ,G, D,P 四点共圆，所以.IPG =/IDGJBG,则 PI / /BK ,从而 PI /EF .14. 锐角三角形ABC中，O H分别为外心和垂心,BH交AC于点D,DE±OD交AB 点E,F （异于点A）在外接圆上且FH/OD

23、,证明：A,D,E,F四点共圆。A证：延长BD交圆于点M连MC并延长交圆于点 N,连NH FA FE、FMJ由垂心的性质有DM=D,O为MN的中点，故 NH/OD,又由题设FH/OD,因此N、H、F三点共线。而 MN为直径，故有 MFLFN,又由题设DEI0D得MF/DE.而D为Rt MFH斜边的中点，故/ FDE=/ EDH.因此/ EAF=/ BAF玄BMF=BD吕EDF.因此 A,D,E,F四点共圆。15. 如图所示,设AD,BE,CF是 ABC的三条高,且交与点H,M是边BC上的中点,丄BME的外接圆圆与CMF的外接圆圆T2交于M,N两点,直线AN与圆兀分别交于另一点P,Q.证明：AD

24、平分.PDQ .证：辅助线如图所示因为B,C,E,F四点共圆,所以,Ti与T2的根轴上因此，M,H,N 三FNH "FNM "FCM "FAH . 则 AN _ NH ,即 MN_PQ.因此，HB HE二HC HF .这表明，点H在圆点共线.于是，从而,A, F, H , N四点共圆.又AF _ FHPB_BC.同理,QC _ BC .于是,PB/ AD/ QC注意至U BNM 二 BEM CBE 二 DAC ,MNC "MFC "FCB "BAD.贝UBNC=/BNM MNC =/DAC BAD=/BAC.从而，A,B,C, N 四

25、点共圆.故 PMB =/PNB=/ANB=/ACB.这表明,PM/AC 所以,>PBM L厶ADC = 列 =-PB .同理，匹 =QC .两式相除并注意到DC ADBD ADBD pbBM -MC ,得.贝U PBD U QCD 二 PDB =/CDQ .而 AD _ BC ,DC QC故AD平分 PDQ .16. 已知。Oi与。2内切于点P , O Oi上任一点A，弦AB、AC切。2于E、F，弦 AT过。2且交EF于H，交BC于D.求证：AH:AT=HD:HT证明：连接0E、CT、BH，过P作O Oi的直径交O Oi于QR,rO O2 的半径为 r , . BAT = ，贝U O2H

26、 二 r sin，AO2 :si n。又 AO2 02T =Q02 O2P =(2R-r) r O2T =(2R -r) sin ： , HT =2R sin ：二CT 二 BT H 为 ABC 的内心 二 AH : HD 二 AB: BD ABD "ATC , BAD "CAT设O Oi的半径为T ，ABD s ：ATC二 AB: BD 二 AT :CT 二 AT : HT17. 设P是LI ABCD对角线BD上一点，满足.PCB ACD , L ABD的外接圆与对角线AC交于点E.证明：.PEB=/AED.提示：.先假设.BAD乞90，当.BAD 90时类似可证延长DE

27、与BC交于点L,连接PL.先证C、D P、L四点共圆再证B、P、E、L四点共圆 故 PEB PLB "PDC "DBA "AED18.如图，圆Oi、圆02与圆。3相交于点P，圆Oi和圆02的另一个交点为 A,经过点A的一条直线分别交圆 01、圆02于点B、C , AP的延长线交圆 03于点D，作DE/BC交圆O3于点E，再作EM、EN分别切圆Oi、圆02于M、N .22求证：EM -EN =DE证明:连EP交圆0<!、圆02与BC分别为由相交弦定理及切割线定理得:QA QB 二 QS QPQA QC -QT QP0两式相加得： QA BC =ST QP =B

28、C QPST QA所以：BC QP EPST 一 QA 一 ED，19.在厶ABC中,设AD为角平分线，AH为高。分别以AB, AC为直径向外作半圆， AD的垂直平分线与这两个半圆分别交于 P和Q证明D H P、Q四点共圆。【解析】记PQ与 AB AC分别交于M和N,记厶DHP的外接圆与PQ的另一个交点 为R,只需证R与Q重合即可。因为 A, B, H, P 四点共圆，所以/( ARPR= /(PRDR= /(PHDH= /(ARAB<(注：这样标注是为了兼顾点的不同位置关系，角是有向的，但周期为180。)从而，/(ACAR= /(AC PR- /(ARPR= Z(PFJAE)- / (

29、AR A护 /(PRAF) =Z( DP PR= /( DH HR= /(CH HR。又 DE/BC ,二AQPL DEP二QP EPQAED二 DE BC =EP ST =EP (ES -ET) =EP ES - EP ET二 EM 2EN2因此，A, C, H, R四点共圆，/ AR(=90。，从而R与Q重合，结论得证20.如图，已知 ABC的外角/ EAC的平分线与 ABC的外接圆交于点 D，以CD为直径的圆分别交 BC ,CA于点p、Q,求证：线段PQ平分 ABC的周长.证明：连结 DB、DP、DQ，因/ ABD = / ACD ,/ EAC 二/ ABC / ACB，则/ EAC =

30、 / DBC / DCB , 即 2 / DAC 二/ DBC / DCB ;又/ DAC 二/ DBC , 则/ DBC = / DCB ,故厶DBC为等腰三角形1因DP丄BC，则CPBC .在圆内接四边形 ABCD中，2由托勒密定理得 AC BD = BC AD AB CD，因BD二CD ,则 AC AB =BC AD =2BP AD，又 dq 丄 AC，则 adQ s BDP , BDBDAQ AD 亦BP ADAC - AB所以，即 AQ.故 AC - AB = 2AQ，即 AQ.BP BDBD21 AC - AB 1 i从而 CQ CP =AC -AQ AB = ACAB (AB B

31、C CA).2 2 2 221.如图，锐角ABC外心为O，直线BO和CO分别与边 AC,AB交于点B',C'.直线B'C'交.ABC外接圆于点P,Q.若AP二AQ,求证：ABC是等腰三角形.证明： AP=AQ,. APQ =/AQP. 连接 BP,QC,则 PBA 二 AQP 二 APC'.又.PAB为公共角，所以 UPC'L厶ABP.则 AC'AB 二 AP2.同理：AB' AC 二 AQ2.又 AP =AQ,所以 AC' AB = AB'AC.贝U C',B',C,B 共圆.ABOACO.连接A

32、O ,知：等腰 ABO和等腰 ACO全等.则AB二AC.所以 ABC是等腰三角形.22. 如图，圆0与圆O2的半径相等，交于 X、Y两点.DABC内接于圆Oi，且其垂 心H在圆。2上点Z使得CXZY是平行四边形证明：AB、XY、HZ三线共点.设圆Oi、O2的半径为R, XY中点为M，则Z、C关于M对称,称，因此点Z在圆O2上记DABH的外接圆为圆O3，则圆O3的半径为AB =AB= AB2si n?AHB=2si n(p fiACB) = 2s in ACB我们证明Z也在圆O3上.由圆O1、O2、O3的半径均为R可知XO1YO2、AO3BO1都是菱形.记AB中点为N，则N也是OiQ的中点，注意

33、到 H与Oi分别是DABC的垂心与外心,故 CH = 2O1N=:o1o3，即 Co1= hO3 .又 xZ=cY，所以O2Z = O2X + XZ= YO1 + CY= CO1 = HO3,又H是圆O2、O3的一个交点，贝y Z是两圆的另一交点这样 AB、XY、HZ恰是圆Oi、。2、O3两两的公共弦，由根轴定理知它们三线共点.O.出屮2,出小4分别是23. 如图，四边形 ABCD是圆外切四边形，内切圆圆心为AOB, BOC, COD, DOA 的垂心，求证：四点共线.设对角线 AC与BD交于点P，我们证明HjHz'Hs'Hd'P五点共线这只需证明Hi,H4,P共线，因

34、为同理会有HH?, P；H3,H4,P分别共线DH DP因为DH4 _ AOBH! _ AO，所以Hi,H4,P共线等价于4.记BH1 BP.OAB =. OBC = 一：，. OCD二，.ODA二、：，并不妨设O半径为1.则由垂心的性AO1质，DH4=2R4cos，其中R4 是 DOA外接圆的半径.同理tan 6 sin ata n6BH11sin _：itan :'这样DH 4BH1tan :tan熟知AB 1 Jtan 工 tan :再注意到- - - - :，我们有sin（二川尹）sin（：；'"）2sin、. cos、.DP _ S adc _ AD DC sin2、. _ sin ： sin、 sin sin、_ tan：BP Sabc _AB BC sinY： " sin（_： ：-） sin）tan、.sin j sin sin - sinDH 4BH1DPbp成立24. 如图，以直角ABC直角边AB为直径作L O，交斜边AC于点E ,连接CO并延长， 交L O于F,D两点，连接