平面解析几何知识点汇总

1、1直线的倾斜角与斜率：1直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把 x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角 0,180 ),90斜率不存在2直线的斜率：k 上一 (x, x2), k tan . P(x1,y1)、F2(x2,y2).x2 x,2 直线方程的五种形式：1点斜式：y y, k(x xj (直线l过点Pi(Xi,yJ，且斜率为k).注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x x0 2斜截式：y kx b ( b为直线l在y轴上的截距).3两点式： 一仏 _x_xL ( y, y2 , x, x2).y2

2、 力 x x,注： 不能表示与x轴和y轴垂直的直线； 方程形式为：(x2 x,)(y y,) (y2 y,)(x x,) 0时，方程可以表示 任意直线.4截距式：x y , a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b0.a b注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示 过原点的直线.5一般式：Ax By C 0(其中A、B不同时为0).A一般式化为斜截式：y xC,即，直线的斜率：k.BBB注:1直线纵截距b，常设其方程为ykx b 或 x 0 .直线横截距x0,常设其方程为xmy x0 (直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0.直线过点(xo,y0)，常设其方

3、程为 yk（x 怡）y°或 x x°.2解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条 直线一般不重合.3.直线在坐标轴上的截矩 可正，可负，也可为 0.1直线在两坐标轴上的截距相等.直线的斜率为1或直线过原点.2直线两截距互.为相反数.直线的斜率为1或直线过原点.3直线两截距绝对值相等直线的斜率为 1或直线过原点.4.两条直线的平行和垂直1假设 l,: yk,x b,l2: yk2x b2 l,/l2k,k2,b,b2 ； l,l2k,k21.2假设 l,: A,xB,yC,0, l2 : A2x B2y C20，有 l,/l2A1 B2A2 B,且

4、A, C2A2C1 . 11l2A, A2B, B205.平面两点距离公式：X轴上两点间距离:(R(Xi,yi)、P2 (x2, y2) ) , p P2y(X1X2)( yi y2)ABXb XaX1X22y1y22Xo线段P1P2 的中点是M(x0,y0)，那么yo6 点到直线的距离公式：一|Ax0 By0 C点P(Xo，y。)到直线l: Ax By C 0的距离：d _Ja2 b27. 两平行直线间的距离：一|C1 C2两条平行直线 l1： Ax By C1 0, l2: Ax By C2 0距离：d *.J A2 B2&直线系方程：1平行直线系方程： 直线y kx b中当斜率k

5、 一定而b变动时，表示平行直线系方程. 与直线l: Ax By C 0平行的直线可表示为Ax By C1 0 . 过点P(x°, y°)与直线l : Ax By C 0平行的直线可表示为：A(x X0) B(y y。)0.2垂直直线系方程： 与直线l : Ax By C 0垂直的直线可表示为Bx Ay C10 . 过点P(x0, y0)与直线l : Ax By C 0垂直的直线可表示为：B(x X0) A(y y。)0.3定点直线系方程：经过定点P)(X0,y0)的直线系方程为y y° k(x X0”除直线x X0),其中k是待定的系数.经过定点P)(X0,y0)

6、的直线系方程为 A(x X0) B(y y°) 0,其中代B是待定的系数.4共点直线系方程：经过两直线l1：A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20交点的直线系方程为 Ax B1y C1(A2X B2y C2) 0 (除12)，其中入是待定的系数.9.曲线 G : f (x, y)0与 C2： g(x,y)0的交点坐标方程组g(x,y) 0的解.10.圆的方程:1圆的标准方程:(xa)2 (yb)2r2 r 0.2圆的一般方程:x2y2 DxEyF 0(D2 E2 4F0).3圆的直径式方程:(x注:11.假设 A(x!，y!),B(x2, y2)，以线段AB为直径的圆的方程是:

7、xi)(x X2) (y yi)(y y?) 0.(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是(22一般方程的特点:2 2x和y的系数一样且不为零；3二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2圆的弦长的求法：1几何法：当直线和圆相交时，设弦长为没有xy项;Dx Ey F D2 E2l，弦心距为那么：“半弦长2 +弦心距2 =半径2 ”f)2 2 D E 4F 00表示圆的等价条件是:4AF 0d，半径为r ,2 2 2(2) d r ；2代数法：设l的斜率为k , l与圆交点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)，那么|AB| 1 k2 |xa Xb| .1 k12 |yA yB|其中 |X1

8、 X2yy2 I的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解12.点与圆的位置关系:点 P(x°, y°)与圆(xa)2(y b)2r2的位置关系有三种P在在圆外2d r(xo a)(yob)22 r .P在在圆d2 2r (x° a)(y° b)2 r .P在在圆上2d r(x° a)(y°2b)2r .【P到圆心距离dUa x)2 (b y。)2 】13直线与圆的位置关系:2r的位置关系有三种直线 Ax By C 0与圆(x a)2 (y b)2(4|Aa Bb C| )：A2 B2圆心到直线距离为d,由直线和圆联立方

9、程组消去判别式为x或y后，所得一元二次方程的d r 相离0; dr 相切0 ； d r 相交0D 相交 2条公切线内含 内弹相交夕卜严相离4d一 |卅切一d*1十一d 一* dd r115圆系方程:x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E24F0)14两圆位置关系：设两圆圆心分别为 0-02，半径分别为r,r2, 0Q2|dd *r2外离4条公切线；d几r2内含 无公切线；d a a 外切3条公切线；d ad 内切1条公切线；riD1过点A(x1,y1), B(x2,y2)的圆系方程:(x xj(x X2)(yyj(y y?)(xK% y?) (y %)(咅X2)0(x xj(xX2)(y y

10、J(y 必(ax by c) 0 ,其中 axby c 0是直线AB的方程.2过直线丨：AxByC 0与圆C : x22yDx Ey F 0的交点的圆系方程：2 2x y Dx Ey F (Ax By C) 0,入是待定的系数.(D1 D2)x (E1 E?)y (F|3过圆 G：x2 y2 D1x E1y F1点的圆系方程：x2 y2 D1x E1 y待定的系数特别地，当1时，x2 y2 D1x E1y F1(x2 y20与圆C2：2 2x yD2xE?y F20的交F1(x22yD2xE?y F2)0,入是D2xE?yF2)0就是0表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线.16圆

11、的切线方程:1过圆x22上的点P(x0 ,y0)的切线方程为：x0x y0y r2过圆(xa)2(yb)2 i为：(x a)(X0a)(yb)(y03丨过圆x22 yDxEyD(x°XoxyoyP(x0, y0)的切线方程b)0上的点P(Xo,y。)的切线方程为：x)2假设P(x), y0)是圆x2 y2 A,B那么直线AB的方程为xx0 yy0E(yo y)2r2外一点，由P(x0, y0)向圆引两条切线，切点分别为2r 假设P(x),y0)是圆(x a)2 (y b)2 r2外一点，由P(x0, y0)向圆引两条切线，切点分别为A,B那么直线AB的方程为(x0 a)(x a) (

12、y0b)(y b) r26当点P(x°,y°)在圆外时，可设切方程为 y y。 k(x x。)，利用圆心到直线距离等 于半径，即d r，求出k ；或利用 0 ,求出k 假设求得k只有一值，那么还有一条斜 率不存在的直线x x0 .17. 把两圆x2 y2 Dm EF!0与x2 y2 D2x E2y F20方程相减即得相交弦所在直线方程：(D, D2)x (巳 E2)y (F, F2) 0 .18. 空间两点间的距离公式 ：2 2 2假设人化，,乙),B(X2,y2,Z2)，那么 AB ,(x> xj (y? yj (z2 zj19. 简单线性规划确定可行域，求最优解，

13、建立数学模型、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。用关于变量是一次不等式等式表示的条件较线性约束条件。、线性规划：求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题二、轨迹问题(一)求轨迹的步骤1、 建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p x, y2、立式：写出适条件的 p点的集合3、 代换：用坐标表示集合列出方程式f x, y=04、化简：化成简单形式，并找出限制条件5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上二求轨迹的方法1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹2、定义法：禾U用或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点

14、变化问题4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线, 然后联立，消去变量即可。5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。 三、椭圆椭圆：平面到两定点距离之和等于定长定长大于两定点间距离的点的集合2、标准方程:1、定义：PF,2 22a(2a FF2)PFc第二定义：e(0 e 1)da2a2b21(a b 0)或2y_2a右1(abb 0)；x a cos3、 参数方程为参数几何意义：离心角y bsi n4、几何性质：只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质、顶点

15、(a,0),(0, b) 、焦点(c,0) 、离心率e c(0 e 1)aa2 准线：x课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出c5、焦点三角形面积:SPF1F22b 喻?设 F1PF26、椭圆面积：S椭a b了解即可7、直线与椭圆位置关系：相离0；相交0丨；相切0判定方法：直线方程与椭圆方程联立，禾U用判别式判断根的个数8、椭圆切线的求法1切点x°y°丨时,2 x2 a2 y b2-1(ab0)切线彎智1ab2 2y x2 . 21(a b0)切线_ycy2x)x.21a bab222切线斜率k时，x2丄.21(ab0)切线ykxa2k2 bab2 2y2 x2 1(a b

16、 0)切线 y kxb2k2 a2a b9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离2 x2 ab21(a b 0) r a左加右减2 2y a221(a b 0) r a ey°下加上减a b四、双曲线1、定义：PF, PF22a第二定义:PFd2 22、标准方程：笃爲a b1(a0,b0)焦点在x轴2 y 2 a2x1(a0,b0)焦点在y轴b参数方程：x a sec为参数用法：可设曲线上任一点 P(asec ,btan )y b tan3、几何性质顶点(a,0) 焦点(c,0) c2a2 b2c 离心率e e 1a2 准线x a_c渐近线2 x22y_1(a0,b0)ybx或2x22y_0ab2aab22 y2 xb 亠2 y2 x2 21(a0,b0)yx或2 20abaab4、特殊双曲线22、等轴双曲线x 2y21 e2渐近线i yxa a2 2 2 2、双曲线笃 2_ i的共轭双曲线笃笃 ia ba b性质1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线性质2:双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上5、直线与双曲线的位置关系相离0相切0丨；相交0判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起0时可以是相交也可以是相切6、焦半径公式2 2x y1(a 0, b 0)点P在右支