平行四边形三个性质的应用

1、18.1平行四边形学习目标、重点、难点【学习目标】1理解平行四边形的定义，能根据定义探究平行四边形的性质.2 了解平行四边形在生活中的应用实例，能根据平行四边形的性质解决有关的问题.【重点难点】平行四边形性质的探究及应用；平行四边形性质的探究知识概览图f定义；有対组对边分别乎行的四边形'两组对边分别平行两组对边分别相等两纽对角分别相等、两条対角线互相平分组对边分别平行的四边形军行四边形两组对边分别郴等的四边形 判定方法）一绢对边平行FI相等的四边形两条対角线互相平分的四边形 俩组对角分别相等前四边形 I定义：连接三角形两边中点的线段三角形中位线j定理；三角形的中f辽线平行F三角形的第上

2、边 !且等于第三边的-严小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的新课导引平行四边形是我们常见的图形, 防护栏等，都是平行四边形的形象。平行四边形在生活中比比皆是，那么它有什么样的性质？又如何判断一个四边形是平行四边形 呢？教材精华知识点1平行四边形的概念有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形表示方法：平行四边形用”表示，如图19-1所示，平匀匕-】口ABCD记作“ ABCD”，其中表示顶点的字母要按顺时针或逆时针的顺序排列行四边形相关概念：对边有 AD和BC, AB和CD;对角有/ DAB和/DCB，/ ABC和/ADC;对角线是AC和BD.知识点2平行四边形的性质(1) 平行四边形的对边相等

3、(2) 平行四边形的对角相等.(3) 平行四边形的对角线互相平分.知识点3平行四边形的面积平行四边形的面积等于平行四边形的底与底边上的高的积。用式子可表示为S = ah，其中a图 19-3为底边长，h为底边上的高(即相应的两条平行线之间的距离)如图 19-3 所示，Sabcd =BC AE 二 CD AF知识点4平行四边形的判定(1) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形(2) 对角线互相平分的四边形是平行四边形.(3) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形(4) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.知识点5三角形的中位线概念连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线如图19-6所示，若点

4、D, E, F分别为 ABC的边AB , BC, CA的中点，则线段DE, EF, DF均是 ABC的中位线.知识点6三角形的中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半11如图19-6所示，若D,E,F分别为 ABC的边AB,BC,CA的中点，则DE丄丄AC , El1 AB，221DF丄丄BC .2【方法拓展】（1）三角形的中位线定理在同一条件下具有两个结论；一个定性的是平行于第三边，另一个定量的就是等于第三边的一半，此结论用途比较广泛，又因为中位线具有平移角度、倍分转化的功能，因此当遇到中点或三角形中线时， 应考虑是否作中位线，这种思想方法就是我们常说的“遇到中点想中

5、位线”.知识点7两条平行线间的距离两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离课堂检测基本概念题1、如图19-10所示，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，一条边 AB 的长为8m,则其他三边的长度各是多少？I)基础知识应用题2、平行四边形不一定具有的性质是A.对边平行C.对角线互相垂直B.对边相等D.对角线互相平分3、如图19-11所示，已知LABCD的周长是28cm,AC与BD交于点0, 0AB的周长比厶0BC的周长大 4cm,则 AB =cm, BC =cm.(综合应用题4、 已知平行四边形的一边长为14,则下列各组数据中，能分别作为它的两条对角线长的是()A. 1

6、0 和 16B. 12 和 16C. 20 和 22D. 10 和 405、如图19-16所示，已知 D, E, F分别在 ABC的边BC, AB , AC上，且DE / AF , DF =AF,将FD延长到G,使FG = 2DF,连接AG,求证：ED, AG互相平分.探索创新题6、如图19-20所示，在四边形 ABCD中AD / BC,且AD >BC, BC = 6cm, P, Q分别从A ,C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速B运动，几妙后四边形ABQP是平行四边形？度由C向体验中考1、如图19-22所示，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连 并延长，

7、交AB的延长线于点F，AB = BF，添加一个条件，使四边形 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是()图 19 - 22接 DEABCDA. AD = BCC. / A = /CB. CD = BFD. / F=Z CDE2、如图19-23所示，在L ABCD中，E，F分别为边 AB，CD的 连接 DE，BF，BD.(1) 求证 ADECBF;(2) 若AD丄BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明 你的结论.图 19-23中占I 八、，学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 AB = CD, AD = BC. 又因为AB = 8m

8、,所以CD= 8m.因为 AB+BC+CD+DA = 36m,11所以 ADD=BCC=(36 -8 2)20 =10( m).22所以 CD =8m, AD = BC =10m.2、C3、954、C5、解：连接AD , EG.因为 DE = AF , DF / AF ,所以四边形AEDF为平行四边形，所以AE亠FD.因为 FG = 2DF，所以 GD= DF,所以 AE = DG,即 AE DG.所以四边形AEGD为平行四边形.所以ED , AG互相平分6、解：设经过x秒后，AP = BQ,贝U AP = x,BQ=BC-CQ=6-2x,所以x=6-2x，所以x=2。所以2秒后四边形ABQP

9、是平行四边形体验中考1、D2、证明：（1）在平行四边形 ABCD 中，/ A = /C, AD = CB , AB = CD, E，F 分别为 AB，CD 的中点，二 AE = CF.AD =CB要厶AED和厶CFB中， A - C,AE =CF, AEDCFB （SAS .解：（2） AD_BD，则四边形BFDE是菱形.证明如下： AD _ BD，二 ADE是直角三角形，且 AB是斜边.1 E 是 AB 的中点， DE AB 二 BE.2由题意可知EB/ DF且EB = DF，二四边形BFDE是平行四边形.又DE=BE四边形BFDE是菱形.18.2特殊的平行四边形导学案学习目标、重点、难点【

10、学习目标】掌握矩形、菱形和正方形的定义、性质、判定及其之间的关系【重点难点】矩形、菱形和正方形性质的灵活运用及其的判定知识概览图（定义：有一个甬是直角的平行四边形（貝冇平行四边理的所育性质 矩形的四个角都是亶角矩形的对角线相等矩形是轴对称图形有两条对称轴判定对角线相等的平行四边形有三午角足直奔的四边形特殊的平行P4边形建史：有一组邻边相等的平行四边形貝有平行四边形的所有性质菱形的四条边都相等菱形的两条对角线兀相垂点并且每一条对角线平分一缔对角 養形是轴对称图形淀义判崔对角线巫相垂直的平行四边形t四边相等的四边形定丈：一组邻边相等的矩形 性质：宾冇平行四边形、距形、菱形的所有性质育一牛内角是氏角

11、的菱形对角线相等的菱形对角线互相垂直的拒狂是否分边形；其中的新课导引工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度 别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等， 以确保图形是矩形测量两组对边的长度分别相等，可以说明这个四边形是平行四 如果再测得它们的两条对角线相等，则这个平行四边形是矩形，这道理是什么呢？在平行四边形的前提下，再加一个什么条件才能判定这个图形是矩形呢?教材精华知识点1矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形知识点2矩形的性质(1) 矩形具有平行四边形的所有性质(2) 矩形的四个角是直角.(3) 矩形的对角线相等.(4) 矩形是轴对称图形，有两条对称轴知识点3直角三角形

12、的性质的中点，则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 女口图所示，在 RtAACB中，.ACB =90：1D A =B A D B D2知识点4矩形的判定(1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形(2) 对角线相等的平行四边形是矩形(3) 有三个角是直角的四边形是矩形.拓展：(1)若已证一个四边形，则再证一角为直角或对角线相等，即可证得为矩形对角线(2) 对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形)，相等且互相平分的四边形为矩形.知识点5菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形如图所示，在L ABCD中，AB = BC，则四边形ABCD是菱菱形的性质(1) 菱形具有平行四边形的所有性质(2)

13、 菱形的四条边都相等.(3) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(4) 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴知识点7菱形的面积公式菱形的面积等于两条对角线乘积的一半知识点8菱形的判定（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）四边相等的四边形是菱形.菱形判定的几种常见情况：（1）用边来判定：先说明四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等；说明四边形的 四条边都相等（2）用对角线进行判定：先说明四边形是平行四边形，再说明四边形的对角线互相垂直； 说明四边形的对角线互相垂直平分知识点9正方形的定义一组邻边相等的矩形是正方形

14、知识点10正方形的性质正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质知识点11正方形的判定（1）一组邻边相等的矩形是正方形。（2）有一个内角是直角的菱形是正方形.（3）对角线相等的菱形是正方形.判断四边形是正方形的正确的命题有：（1）对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形（2） 对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形.（3）对角线相等的菱形是正方形.（4）对角线互相垂直的矩形是正方形.（5）既是菱形又是矩形的四边形是正方形.规律方法小结平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系课堂检测基础知识应用题1如图所示，矩形 ABCD的两条对角线相交于点 O,/ AOB=60° , AB=4cm

15、，求矩形的对角线的长2、如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB , CD于点E, F,那么阴影部 分的面积是矩形ABCD面积的（）A. 15综合应用题B.丄43D.103、如图所示的是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方法开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形和/ 依此类推， 若正方形的边长为64cm,则正方形的边长为 cm.4、如图所示，在 ABC中，.ABC =90 , BD平分.ABC,DE _ BC, DF _ AB,求证四边形 DFBE是正方形.探索创新题5、如图所示，在矩形 ABCD中，AB = 12 cm, BO6

16、cm.现有两动点P, Q,点P沿AB边从点 A开始向点B以2cm/s的速度移动。点Q没DA边点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P，Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间(0乞t乞6).(1) t为何值时， QAP为等腰直角三角形？(2) 求四边形QAPC的面积，并探索一个与计算结果有关的结论.体验中考1、如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点 0, AOB=60【AB=2，则矩形的对角线AC的长是B.4A.2C.2.3D.4、32、如图所示，在菱形ABCD中，AB = 5, . BCD -120 ,则对角线AC等于()A.20B.15C.10D.5D学后反思附：课堂检测及体验中考答

17、案课堂检测1、 分析 由矩形的性质可知 AC=BD=2OA=2OB，所以OA=OB，因为/ AOB=60。，所以厶AOB是等边三角形，所以OA=OB=AB，即可求出OA，OB的长，进而求得矩形对角线的长 解：因为四边形ABCD是矩形，所以AC与BD相等且互相平分，所以OA=OB.又因为/ AOB=60°，所以 OAB是等边三角形，所以OA=OB=AB=4cm. 所以矩形的对角线长 AC=BD=2OA=2 X 4=8 (cm).2、 B.分析 由已知，易证 ODFOBE,即卩 SAAOE+SADOF = SAAOE+SAOBE = SA11AOB，又因为SAAOB=S矩形abcd，所以

18、S阴影部分=S矩形abcd.44分析 由勾股定理可得正方形、正方形、正方形的边长依次是64 =32 ./2cm, |64 =32cm, |64 =16,2cm,由此可归纳正方形的边长为664 = 8cm .4、分析 先证明它是矩形，再证明有一组邻边相等证明：因为.ABC =90 DE _ BC ,所以 DE/ AB。同理，DF/ BC。所以四边形DFBE是平行四边形。又因为.ABC =90：，所以L DFBE是矩形因为 BD 平分 ABC, DE _ BC, DF _ AB，所以DE= DF，所以四边形DFBE是正方形。【解题策略】 本题也可以在证明四边形 DFBE是平行四边形的前提下，先证明它是菱形，再 证明它是正方形，解题时要灵活发选择方法5、分析 （1）观察