八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法:找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)=ab2c2，即 2/a2 b2 c2，求出 R例1A.16 ：（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为B 20二 C 24二体积为16，则这个球的表面积是（C ） 32 二(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 . 3，则其外接球的表面积是9:解:2 2 2 2 2(1) V =a h =16 , a =2 , 4R =a a h=4 416 =24，S = 24 ,选 C；(2)4R2 =3 3 3 =9， S =4：R2

2、=9二(3)在正三棱锥 S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AM _ MN ,若侧棱SA = 2、3 ,则题-1C题-2正三棱锥S-ABC外接球的表面积是。 36二解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下： 如图（3） -1，取AB, BC的中点D, E，连接AE,CD , AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH _平面ABC, SH_AB ,AC=BC , AD=BD , CD _ AB, AB _ 平面 SCD ,-AB_SC，同理：BC _ SA, AC _ SB，即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3) -2 , AM _MN , SB/MN

3、,AM _SB, AC_SB , SB_平面 SAC ,SB_SA, SB_SC, SB_SA, BC _ SA,-SA_平面 SBC,SA_ SC,故三棱锥S - ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，.(2R)2 =(2 一 3)2 (2 一3)2 (2、,3)2 =36，即 4R2 =36 ,-正三棱锥S-ABC外接球的表面积是 36 (4)在四面体S-ABC中，SA_平面ABC , ZBAC =120 ,SA= AC =2, AB =1,则该四面体的外接球的表面积为(D ) A.11二B.7 :(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为1040C.D.336、4、3，那么它的外接球

4、的表面积是 (6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几解析：(4 )在 ABC 中，BC = AC2 AB-2AB BC cos120 =7，BC =$7， ABC的外接球直径为，选D(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a, b,c( a,b,c R )，则ab =122 2 2 2 2bc =8， abc = 24，a=3， b=4， c=2， (2r) = a b c =29， s = 4二 R = 29 二，ac = 6(2R)2 宀3，r2+，R，V 二4 二R3 二4二333.38类型二、垂面模型(一条直

5、线垂直于一个平面)1.题设：如图5, PA_平面ABC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝U PD必过球心O ;第二步：O1为 ABC的外心，所以OO1 _平面ABC，算出小圆Q的半径O1D二r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得POADBCa bsin A sin Bcsin C=2r)第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：2 2 2(2R)二 PA (2r)=2R = PA2(2r)2 ； R2 二 r200i2 = R 2 OO122.题设：如图6, 7, 8, P的射影是ABC的外心 三棱锥P - ABC的底面

6、ABC在圆锥的底上，顶点二 三棱锥P - ABC的三条侧棱相等 二P点也是圆锥的顶点第一步：确定球心 0的位置，取ABC的外心Oi，则PQO三点共线;第二步：先算出小圆 01的半径AOr，再算出棱锥的高 POh (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2 =OiA2，OiO2= R2 =(h-R)2 r2，解出 R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()C16兀A. 3二B. 2-C.D .以上都不对3解：选 C, ( 3 -R)2 1 二 R2, 3-2、3R R2 1 二 R2, 4-2 3R = 0,；®4R类型三、切瓜模

7、型(两个平面互相垂直)PACB图9-1POCBA图9-2POAOiCB图9-3POCB图9-41题设：如图9-1，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC (即AC为小圆的直径)第一步：易知球心 0必是 PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 AC = 2r ；第二步：在 PAC中，可根据正弦定理 b c 2R，求出Rsin A sin B sin C2.如图9-2，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC (即AC为小圆的直径)OC2 gc2 OQ2 二 R2=r2 OQ2 二 AC=2. R2OQ23如图9-3，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC (即AC为小

8、圆的直径)，且 P的射影是 ABC的 外心二 三棱锥P-ABC的三条侧棱相等 =三棱P-ABC的底面：ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是 圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心O1，则PQ,。!三点共线；第二步：先算出小圆 O1的半径AOr，再算出棱锥的高 POh (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2 =OiA2 OiO2= R2 =(h-R)2 r2，解出 R4如图9-3，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC (即AC为小圆的直径)，且 PA _ AC，贝U利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)PA2 (2r)2二2 ；.：PA2 (2r)2 ； R

9、2 =r2 OOu R = ,r2 OO12例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2.3，则该球的表面积为 。(2)正四棱锥S -ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_解：(1)由正弦定理或找球心都可得 2R =7, S =4二R2 =49二，_4兀(2)方法一：找球心的位置，易知r =1 ,h=1,h=r，故球心在正方形的中心 ABCD处，R=1, V =3 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，4兀2R =2 , R =1 , V 二3（3）在三棱锥P ABC中，PA

10、二PB二PC = 3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（）JI_4 二A.二B.C. 4二D.33解：选D,圆锥A, B,C在以r3的圆上 R=12（4）已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 径,且SC =2，则此棱锥的体积为（O的求面上，UABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直D.422解:。1 小-321 “13 2 一 6二Sh 二3343A类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图 10-2 ,10-3,直三棱柱内接于球题设：如图10-1 ,是任意三角形）（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以第一步：确定球心O的位置，01是ABC的外

11、心，则00平面 ABC ；第二步：算出小圆Oj 的半径 AOr , 001-AA121h （ AA =h也是圆柱的高）；2第三步：勾股定理:2 2 2OA 9A OQ =：2 h 2r (?)，解出 R例4（1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9，底面周长为3，则这个球的体积为81解：设正六边形边长为 a，正六棱柱的咼为 h，底面外接圆的关径为 r，则a二一,2底面积为 S =6 仝（丄）2，V柱=Sh=出 h， h = . 3，R2 = （ 3）2 （丄）2 =1，42888224下R=1，球的体积为7 =3(2)直三

12、棱柱 ABC -ABG的各顶点都在同一球面上，若AB二AC二AA, =2, . BAC =120，则此球的表面积等于。解：BC =2、3，2r4 , r=2，R= 5，S = 20 二sin120 '(3)已知.EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA =EB =3, AD =2,. AEB =60，则多面体 E - ABCD 的外接球的表面积为。16"：解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为. 3，00,-1，D313R= ._1 3=2 ；法二：O1M，r2 =O2D =-2 2，R23 1313 =4，R=2，S = 16 二4 4（4）在直三棱柱 A

13、BC -A,BiCi 中，AB =4,AC =6, A,AA1 = 4则直三棱柱 ABC - A B1C1的外接球3的表面积为160。 -32 1-解析：BC =16 36 -2 4 628，BC = 2.7，2A7c2.74 7八.33，3，22AA1 2R-r2 （ b2228404 =33160S =-3类型五、折叠模型第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出 BCD和 A BD的外心H1和H2 ；第二步：过H1和H?分别作平面BCD和平面A BD的垂线，两垂线的交点即为球心 O ,连接OE,OC ；第三步：解 OEH1，算出OH1，在Rt OCH 1中，勾股定理： OH；

14、 CH； =OC2例5三棱锥P - ABC中，平面PAC _平面ABC， PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P - ABC外接球的半径为解析：2» =2r224 ，sin 60. 32 1"21.3，% 二32 2R =O2H法二：o2h1 1=.3，°1H 1.3，AH =1R2 = AO2 = AH 2 ON OQ2.153类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；(AB =CD , AD = BC , AC = BD )第二步：设出长

15、方体的长宽高分别为 a,b,c，AD二BC二x，AB = CD二y，AC二BD二z，列方程组,-2ae22cb2c2a22=x2/cr22丄2丄 2=y = (2R) a b c =2二 zx2y2z2补充：Va_bcd1 1=abc abc 4 abc3第三步：根据墙角模型,2R _ a2 b2 c2x2y2 z叫宀广2，求出R ,例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6（ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若个截面如图，则图中三角形 （正四面体的截面）的面积是 （2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是A.型 B 空43解：（1）截面为

16、PCO1，面积是 2 ；（2）高h = R =1，底面外接圆的半径为a设底面边长为a，则2R2，sin 60I1yJ3三棱锥的体积为V Sh =341的球面上，其中底面的三个顶点12R = 1，直径为2R=2，a3，s 启 a2 小，44O题解答图（3）在三棱锥 A-BCD中，AB二CD =2,AD二BC =3,AC二BD =4,则三棱锥 A-BCD外接球的表面积为。一二2解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2 b9 ,2 2 2 2 2 2 2 222b c =4，c a =16. 2( ab c ) =9 4 16 =29，2(a b

17、c )=9 4 16=29，b2c22924R2 二里，S 二29二2 2（4）如图所示三棱锥 A - BCD，其中AB =CD =5, AC = BD二6, AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，2(a2 b2 c2) =25 36 49 =110, a2 b2 c2 =55，4R2 二 55，S = 55【55二；对称几何体；放到长方体中】（5）正四面体的各条棱长都为-.2，则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R = .3，类型七、两直角三角形拼接

18、在一起（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型C题设： APB =/ACB =90，求三棱锥P - ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接1OP,OC，则OA =OB =OC =OPAB， O为三棱锥P - ABC外接球球心，然后在 OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定 值。例7（ 1）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B - AC - D， 则四面体ABCD的外接球的体积为（）a 125DA.B125 -.JTC125.nD125.兀1296354 34125

19、125-解：(1) 2R=AC =5，R -，VR3=Tt *=，选C23386（2）在矩形ABCD中，AB =2，BC =3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为 .解析：（2） BD 的中点是球心 O，2 B - ： 13， S=4 二 R2=13 二;类型八、锥体的内切球问题1题设：如图14，三棱锥P _ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。 第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；1第二步：求DHBD，P0二PH-r，PD是侧面 ABP的高；3第三步：由 P0E相似于 PDH，建立等式： 匹二巴，解出rDH PD2题设：如图1

20、5，四棱锥P-ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,0, H三点共线；1第二步：求FH BC , P0 = PH r , PF是侧面-PCD的高；2第三步：由P0G相似于 PFH，建立等式：99二史，解出HF PF3题设：三棱锥 P - ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径PAC图14BD图15方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为 r，建立等式：Vpbc二Vojbc - Vo _pab - VPAC Vo_PBC'VP -ABC111SABC r_SPABr_SPAC33311r Spbc r(S abc ' S pab ' Spac ' S PBC ) 'r第三步：解出rSo SBC3VSo -PABSo _PAC'So _PBC33习题:1.若三棱锥s - ABC的三条侧棱两两垂直，且SA = 2 , SB = SC = 4 ,则该三棱锥的外接球半径为 （）A. 3B. 6C. 36D. 9解：【A】（2R）216 16 =6 , R = 3【三棱锥有一侧棱垂直于底面