平面向量有关概念定理

1、平面向量有关概念和定理有关概念定义表示坐标表示向量（自由向量）既有大小又有方向的量（可平移）用有向线段表示（规定了起终点）记作 ab，aa=(a1,af)， b = (b1,b2)0入=佝,玄2)， O = (b1,b2)AB = (b a，b? a 2)向量的模向量的长度| AB |，|AB|=、：（b1）2W22）2特相等向量方向相同大小相等的向量tgb同向a=b= - T(Jabl?=1, a：)，T=(d,b2)T Ta = b a =d, a? = b2殊零向量长度为0的向量（起点和终点重合）"oE = (0,0)单位向量长度为1的向量T Te, |e|=1e=（cosO,

2、sinT）， B为向量和x轴夹角向量T与a同向单位向量在a的方向上长度为i的向量T才，=| h之（亠，亠）Jx2+y2 *+y2向量方向相同或相反 所在直线（基线）平行或T重合。0与任意向量平行a/b二存在一个实数入，使得a'=(a1, a2)，b=(d ,b2) a/b 二 存在入，使, b2 =人a2TTT Ta佝，a2)， b (d,b2)a/bu 存在入、g ，使上£+卩! =0 ， 九 a+pT =0向旦平行（共a/b存在不全为零的实数 入、g ,使得点=刁（线性相关）线）向量t ta1a2a/ b = = u q b2 a2 d = 0 b1b2量与a =（aa2

3、）共线a = (7)关T与a共线的单位向量(aia2)或(7f )7 a： +a；Jaf +a；、：a1 +a；Ja： +a；系向量夹角为90°T TTTa 丄b= a b=0X1X2 +y1 y2 = 0垂直向量T与a =(x, y)垂直T TTTa 丄b= a b=01a' =(y,九x)定义f与a垂直的单位向量T T TTae= a，e=0(a2-a1 )或(a2a1)Ja：+a； ' Ja；+a；十a；十 a；f与a垂直且等长a按顺时针方向旋转乡得到（昭）a按逆时针方向旋转2F得到（-口）2 ，三点共线 向量参数 方程O,A,B不共线且AP=tAB二 OP =

4、（1 t）OA +tOB称向量AB的参数方程O,A,B不共线且 P分AB的比为入扎H1 即：AP=tPB一 OA +XOB=OP 1 +九O,A,B不共线且 A、B、C共线二存在唯一实数对（x，y） u一 xtx= _LOC =xOA +yOB平行向量基本定理£ £ £ £2肩左式声二存在一个实数入，使得a =入b平面向量基本定理> iei,e2不共线，平面内任T一个，a都有唯一的一对TTTai, a2 使 a = ai ei + a2 e2el, e:平面的一组基底TTT Tt ta = ai 3 +a2 e2 称 a 关于 e1, e2 的分解

5、式(ai,a2)称为a关于g, e2 的坐标数量积的性质和应用数量积定义ab"4"a|b| cos<a,b>>a'b刍荀眉 cos <a,b >a =(xi, yi)， b =(X2,y2)TTa b =x1xHy1 y2向量夹角平移到共起点后正方向所形成 的角T严a bcos <a, b =COSgb 片，一-一2 斗 x +% 汉* X2 +y2向量在轴上的射影向量起点和终点向轴做垂线，垂足间形成的向量b在a方向上的射影：击十A 盲 曲+y；a在b方向上的射影：_XiX2 +y2 面 Jx22 +y22三角形面积向量构成三角形

6、的面积i T TTTS =© | a | b | sin ca, b ais匕以必2 y2 |常用公式(晶)2 =(0)2 +2(a)bj +(&2 斗認卫|2斗孑2 七 | a|"?| cos <a,b+|"?|2； (a+b)2 (a_b)2 =2a b (?w/(Zb)扁2-(b2 #蔚斗讲；(a+皆 +(a_总2 =2(評 +(皆=2(|評|b)；TTTT TTTTtt ttttttaH0,bH0，|a+b 冃 ab=a 丄 b，|a 冃 b=(a+b)丄(ab)平面向量基本运算、一运算项目加法减法数乘数量积定义或法则三角形法则加法的逆运算三

7、角形法则大小：|2 |与九| a| (X>o,与同向 方向：tvo,与反向 0 = 0,汙川->-? T Ta b =| a| b |cos<a,b A平行四边形法则多边形法则坐标运算TT> >«a =(Xi,yi)，b (x2, y2)，Va,ba+b =(xi +x2, yi +y2)ab =(xi X2, yi y2)T丸 a = (lx 2，入yi)TTa b =Xi X2 + yi y运算律a+(b+c) =(a+b) +c T T a +b =a +cn b =cT TT Ta -b = -(b_a) LT ti""*T

8、Ta十b =a十cn b =cTTTT T T ab =ac二 b =cA(b + c)=九 b +扎 c (九十4)?=&a+AapT ” T T T扎b =hcn b = cTT TT a = b aT T T TT TT c (a+b) = cb + c ar. TT T T九(b c)=(九 b) 'c(泄)a =打卩a)=卩(扎a)模长共线同向|7|b|鬥7b|<|7+b|=|；|+|b|、T 、 T 丨扎a冃扎H aTT T T|a b |=| a | b |共线反向|a| -|b|鬥a + bF|a-b 戸 a| + |b|TT T T|a b |=| a | b |关系不共线Haibii<i?土bi<ai+ibi|'?品肩|'?|综合1罰ib 同:土b 国 a+ibiifb芒诵胃性质丄 T T =亍 T TT T T T0 + a = a + 0 = 0 , 0a = a , aa = 0TT TX 0 = 0 a = 0a