倒立摆系统地建模及Matlab仿真

1、倒立摆系统的建模及 Matlab仿真1. 系统的物理模型考虑如图（i）所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。Z1 :皿V /1U 图（i）倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0.1g摆杆的长度：l=1m小车的质量：M=1kg重力加速度：g=9.8m/ s2摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量10%，调节时间ts 4s，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。2. 系统的数学模型2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化为简化问题，在数学模型中首先假设：1）摆杆为刚体；2 ）忽

2、略摆杆与支点之间的摩擦；3） 忽略小车与接触面间的摩擦。设小车瞬时位置为乙摆心瞬时位置为（z lsin ）,在u作用下，小车及摆均产生加速远动,根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与平衡，于是有.2 , 2d zd /M 亏 m 2 (zdt2dt2l sin即:2(M m)z ml cos ml sin绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有即:zcosm (z lsin ) I cos dt22 2l cos l sin cosmglsingsin以上两个方程都是非线性方程,为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直立，在试驾合适的外力条件下,假定B很小，接近于零

3、时合理的，则sin,cos 1，且可忽略2项。于是有(M m)z ml uz l g联立求解可得mg丄口Ml Ml2.2列写系统的状态空间表达式选取系统变量 X1,X2,X3,X4 , x Xi,X2,X3,T 则z0100d zX00mgM0 xdt000100(M m)g0MlM u Ax Bu1MlyXi1 0 0 0 x Cx代入数据计算得到：00 A001 0 00 1 0,B 0 1 00 0 10 1101T,C 10 00 ,D 0X1X2mg1X2X3UMMX3X4(Mm)1X4X3. . UMlMl3. 设计控制器3.1判断系统的能控性和稳定性1Qk B AB A2B A3

4、B0，rank( QQ=4,故被控对象完全可控111 0 11 0由特征方程I A 2( 2 11)0解得特征值为0 , 0, 11。出现大于零的特征值，故被控对象不稳定3.2确定希望的极点希望的极点n=4 ,选其中一对为主导极点s和S2，另一对为远极点，认为系统性能主要由主 导极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点12p e0.1可得40.59，于是取0.6 ;取误差带0.02有ts，贝U n 1.67，闭环n主导极点为S,2nj J 2 =-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离的5倍，取S3,4153.3采用状态反馈方法使系统稳定并配置极

5、点状态反馈的控制规律为u kx， k k k1k2 ka ；状态反馈系统的状态方程为x (A BK)x Bv，其特征多项式为I (A BK)4 (匕 k3)3 (k。k2 11)2 10k110ko希望特征多项式为(15)2(10.8j)(1 0.8j)432286.64499.2369比较以上两式系数，解得状态反馈矩阵36.949.92334.5481.924. 设计全维观测器4.1判断系统的能观性QgC AtC (At)2C (At )3C1000010000 ，rank( Qg)=4,故被控对象完全可观14.2确定观测器的反馈增益全维观测器的动态方程为x (A 文案大全GC )xBvGC

6、x ;其特征多项式为I (A GC) 4 go3 (g111) 2( 11gog2)(11gi g3)取观测器的希望极点为：-45，-45，-3+3j，-3-3j;则希望特征多项式为(15)2(1 0.8 j)(10.8j)496 3258321377034650比较以上两式系数，解得观测器反馈矩阵G 96 259414826649845降维状态观测器的设计5.1建立倒置摆三维子系统动态方程设小车位移z由输出传感器测量，因而无需估计，可以设计降维（三维）状态观测器，通过重 新排列被控系统变量的次序，把需由降维状态观测器估计的状态变量与输出传感器测得的状态变量 分离开。将z作为第四个状态变量，则

7、被控系统的状态方程和输出方程变换为z0100 z1d00100udt011001z1000 z0zy00 01zX1AnA12X1b111xA21A22X2 ub2间记为：X1y y0 I1 _X2式中010x1zTAn001 ，A120 0 0 T，b11 01T0110x2zy，A2110 0TA21 =0，b20，I1 1被控系统的n-q维子系统动态方程的般形式为x1A11x1v， zA21 x式中 vA21yb1ub1u ,zy瓦22b2uyzz为子系统输出量。故倒置摆三维子系统动态方程为z010 z1d0010 udt01101z1 0 0z52判断子系统的可观测性A1=0 -1 0

8、;0 0 1;0 11 0;C1= 1 0 0;Qg1=obsv(A1,C1);r=ra nk(Qg1)运行Matlab程序；结果为r=3,故该子系统可观测降维状态观测器动态方程的一般形式为X1A11hA21hybihb2 uA11 hA21 h A12 hA22 y式中h= h。h1 h2T 。考虑被控对象参数，单倒置摆降维观测器动态方程的一般形式为h。101h；h1h1010 uhogh2yh21101hgh211h1hXh1 yh25.3确定三维状态观测器的反馈矩阵h三维状态观测器的特征多项式为文案大全IA11hA?13 h。211 h111h。h2设希望的观测器闭环极点为-45，-3+

9、3j，-3-3j，则希望特征多项式为3453 3j3 3j351 2288810比较以上两式系数，解得h= 51299-1371故所求三维状态观测器的动态方程为511 0123022990 10 u13878 y137111 01666321 0 0051X10 1 00299xyy0 0 1013710 0 0016.Matlab仿真分析6.1源程序通过Matlab对用全维状态观测器实现状态反馈的倒置摆系统进行仿真分析，下面是文件名为Inv ersio n_pe ndulum_system.m 的源程序%倒立摆系统建模分析%a）判断系统能控性和能观性clear all;clcA=0 1 0

10、0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0；1；0；-1；C=1 0 0 0;D=0;Uc=ctrb(A,B);rc=ra nk(Uc);n=size(A);if rc=ndisp( The system is con trolled. )elseif rc0)=0)disp( The system is unstable and the ubstable poles are: )v(fi nd(Re0)elsedisp( The system is stable! );end% c)极点配置与控制器-全维状态观测器设计与仿真pc=-1+0.8*j,-1-0.8*j,-15

11、,-15;po=-45 -45 -3+3*j -3-3*j;K=acker(A,B,pc),G=acker(A,C,po)Gp=ss(A,B,C,D); %将受控过程创建为一个LTI对象disp(受控对象的传递函数模型：);H=tf(Gp)Af=A-B*K-G*C;disp(观测器一一控制器模型：);Gc=ss(Af,-G,-K,0)%将观测器-控制器创建为一个LTI对象disp(观测器一一控制器的极点：)；f_poles=pole(Gc)GpGc=Gp*Gc; %控制器和对象串联disp(观测器一一控制器与对象串联构成的闭环系统模型：);Gcl=feedback(GpGc,1,-1)% 闭环

12、系统disp(闭环系统的极点和零点：)；c_poles=pole(Gcl)c_zeros=tzero(Gcl)lfg=dcgai n(Gcl)% 低频增益N=1/lfg%归一化常数T=N*Gcl;%将N与闭环系统传递函数串联x0=100 10 30 10 0 0 0 0;% 初始条件向量t=0:0.01:1;%时间列向量r=0*t;%零参考输入y t x=lsim(T,r,t,xO);%初始条件仿真plot(t,x(:,1:4), -. ,t,x(:,5:8)%由初始条件引起的状态响应title( bf状态响应)legend( x1,x2,x3,x4,x1hat ,x2hat ,x3hat ,

13、x4hat) figure(2)step(T)title( bf阶跃响应)figure(3)impulse(T)title( bf脉冲响应)6.2程序运行结果The system is con trolled.The system is observable.P =1 0 -11 0 0v =3.3166-3.3166The system is un stable and the ubstable poles are: ans =3.3166K =-36.9000-49.9200 -334.5400-81.9200G =962594-14826-64984受控对象的传递函数模型Tran sfe

14、r fun cti on:sA2 - 1.776e-015 s - 10sA4 - 11 sA2观测器一一控制器模型:a =x1x2x3x4x1-96100x2-255749.92333.581.92x31.483e+004001x46.495e+004-49.92-323.5-81.92u1x1-96x2-2594x31.483e+004x46.498e+004c =x481.92x1 x2 x3y1 36.9 49.92334.5u1y1 0Con ti nu ous-time model.观测器一一控制器的极点:f_poles =1.0e+002-1.4948 + 1.8786i-1.4

15、948 - 1.8786i1.7424-0.0328观测器一一控制器与对象串联构成的闭环系统模型:x1x2x3x4x5x101000x200-1036.9x300010x400110-36.9x596000-96x62594000-2557x7-1.483e+0040001.483e+004x8-6.498e+0040006.495e+004x6x7x8x1000x249.92334.581.92x3000x4-49.92-334.5-81.92x5100x649.92333.581.92x700x8-49.92-323.5b =u1x10x20x30x40x5-96x6-2594x71.483e+004x8 6.498e+0041-81.92x1x2 x3 x4 x5 x6x7yi10 0 0x80u1yi 0Con ti nu ous-time model.闭环系统的极点和零点:c_poles =-45.0000-45.0000-15.0001-14.9999-3.0000 + 3.0000i-3.0000 - 3.0000i-1.0000 + 0.8000i-1.0000 - 0.8