不定积分解题方法及技巧总结材料

1、不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分 重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总 结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。1利用基本公式。(这就不多说了 )2第一类换元法。(凑微分)设f(山具有原函数F(p)。贝Uf (x) '(X)dx f (x)d (x) F (x) C其中(x)可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被

2、积函数，寻找导数项内容， 同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中 拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2 :例 i : ln(x 1) lnxdxx(x 1)【解】(ln(x 1) In x)'1 1 1x 1 xx(x 1)In(x 1) In x , dx(In(x 1) In x)d(ln(x 1) In x)丄(1 n(x 1) In x)2 Cx(x 1)2例2 :1 ln x ,2 dx (xln x)【解】(xln x)' 1 In x1 In x , dxln x12 dx2Cx(x 1)(xln x) x

3、ln x3第二类换元法：设x (t)是单调、可导的函数，并且 '(t)0又设f (t) '(t)具有原函数,则有换元公式f(x)dx f (t) '(t)dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种:(1) a22x : xa si nt ； xa costx22a : xata nt; xa cot t ；x asht、x22a : xa sect ； xa csct ；x acht(4)vaxb：n, axb t:axb jaxb丄n.n d cx一 t cxd有时倒代换x 1也奏效t(6)当被积函数含有x m ax2bx

4、c，(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。sin xd>tx2 t sintdt 2t coSt coStdt)2t coSt 2sint C 2 x cos x 2sin x C但当根号内出现高次幕时可能保留根号,dx x1 tx vx121t1 t 61dtt J t1211 dt66.1 t121 . 6 arcs in x c11t121t5dt1 t12（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。sin xdx：x2 t sintdt 岔 costcoStdt)2t cost2sint C 2 x cos x2sin x C但当根号内出现高次幕时可能保留根

5、号,dx1.x - t/ 12tx x1L1 t61dtt .1 t121 16 1_1 . arcs in6.J 1t 51 tdt12tt664分部积分法.公式： d分部积分法采用迂回的技巧，规避难点,挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取 、 时，通常基于以下两点考虑:（1 ）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型 举两个例子吧！3x arccosx , dx1 x2观察被积函数，选取变换t arccosx ,则3x arccosx , dx1x2c°st( sint)dtsi nt3tcos tdt213t(sin t 1)dsinttd(-sin t sin

6、t)313tsi n31.3tsi n313tsi n313x9tsinttsinttsintz 1.3(sin t3z1.2(sin t3sin t)dt1)d cost2 13cost cos t C31(xi22) 1 x arccosx Carcsin2 xdx解arcsin2 xdx.2 xsin xx2 arcs in xdx山x2xarcsin x2 arcs in xd、1 x2xarcsin x2 . 1 x2 arcsin x1 Jixarcsin x21 x2 arcsin x2x C上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型有时，分部积分会产生循环，最终也

7、可求得不定积分。在 dd中，、的选取有下面简单的规律：(1) Pm(x)，eax,sin ax,cosax(2) In x,arcta nx,arcs inx，Fm(x)(3) e， cos x,sin x(3) 会出现循环，注意，选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是：(Inx arcsinx)Pm(x(aAxsinx) V但是，当 In x,arcsinx时，是无法求解的对于（3）情况，有两个通用公式:axax1e sin bxdx2 (asin bx a bb cosbx)Caxax2e cosbxdxr 2 (a cosbxbsi nbx)Ca2 b2（分部积分法用处多多在本册杂

8、志的涉及Inx的不定积分中，常可以看到 分部积分）5不定积分中三角函数的处理 1分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数22 cos x 1 cos x2sin x cosdx上下同乘sin x变形为xdxsin x cos xcos xd cos x令u cos x，则为udu1 u2 1 u21 cos x'in41 cos x'in tan22 21 sec42只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系,2注意sin xcos2 x 1的使21 sin x cos x 12 sin x cos xIn tan2J2sin x cos x , dx sin x co

9、s x1 sin x cos x21 .sin x cos x2dx一 2 sin( x / 4)三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难, 适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。3.函数的降次 形如 sin m x cosn xdx的积分（m，n为非负整数）当m为奇数时，可令u cos x，于是mn.sin x cos xdxm 1nsinx cos xd cos xm 11 u2 2 undu，转化为多项式的积分当n为奇数时，可令u sin x，于是mnsin x cos xdxmn 1sin x cos xd sin xu 1m2 2u 1 u 2

10、 du ，同样转化为多项式的积分当m , n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：1sin x cos x sin 2x,2.21cos 2xsin x,221 cos 2xcos x,2不断降低被积函数的幕次，直至化为前两种情形之一为止 形如tan n xdx和cotn xdx的积分（n为正整数）rv '从而令 u tan xdx，则 x arctan u , dxduJtan n xdx已转化成有理函数的积分类似地,cotn xdx可通过代换ucot x转为成有理函数的积分为正整数） 形如 secn xdx和 cscm xdx的积分（n当n为偶数时，若令u tan x，则xarcta

11、 n u, dxsecn xdxn°1 tan x 2dxu2号du1 u2n 11 u2 2 du已转化成多项式的积分。类似地，cscn xdx可通过代换ucotx转化成有理函数的积分。当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。4当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法x sin 2 xdx x -x 1 x2- x cos 2xdx2421 21 ,1 211 ,xxdsin2xxx sin 2xsin 2xdx444441 21 .1xx sin2xcos 2xc4485几种特殊类型函数的积分（1 ）有理函数的积分有理函数瑶先化为多项式和真分式 諾之和,再把p*0分解为若干Q(

12、x)个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现Indx(a2时，记得用递推公式：h茴斥2、n 1a )2n2a2(nIn1)1.有理真分式化为部分分式之和求解简单的有理真分式的拆分x 14 xx 1Inx1 -In41x4c113x .dx4x注意分子和分母在形式上的联系dx7xx6dxx7 3dtKJ t 3 tIn1f7xdt3 tIn 3 x73In tT此类题目一般还有另外一种题型:x厂1|n212xx2dx52x2.注意分母（分子）dxIn 3 tc31 2x22 P2x"dx5有理化的使用2x32x 141122x332 c例5 :64,2小x x 4x 2

13、 、322 dxx3(x21)2、2x32x1解642x x 4x 2x (x 1)642x x 4x 23/223(22x (x 1) x (x 1)x 4x22x2 1 x3(x2 1)2xdx1f2ln(x1)Cx 124x224x223 , 24、2dx -4 t 22 xdxx (x1)x(x1)2x2 1 x4(x2 1)2x2121)21)2)d12 2x (x 1)故不定积分求得(2 )三角函数有理式的积分x2ta n sin x1 tan2-万能公式：21 tan2 -cosx-1 tan2 -2p(sin x,cosx)dx可用变换t tan化为有理函数 的积分，但由于计算

14、较烦,Q(sin x, cos x)2应尽量避免。对于只含有tanx (或cotx )的分式，必化成 色虫或。再用待定系数 cosx sinxAGcosx bsinx) BGcos'x bsin'x)来做。(注：没举例题并不代表不重要) a cosx bsinx(3)简单无理函数的积分般用第二类换元法中的那些变换形式像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现、x和、1 x时，可令xtantan ydy tan y y c1 ;同时出现 x和.1 x时，可令x sin2t ;同时出现.1 x2和arcsinx时，可令x=sint ；同时出现、1 x2和arccosx时，可令x=cos

15、t等等。(4) 善于利用ex，因为其求导后不变dxxee-dxexx 1ex x 1-dx-xx 1 xee x 1xex 1tt xedt Int 1 t1 txexIn r c1 xe这道题目中首先会注意到xe，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为exxex与分母差ex，另外因为ex求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以ex。(5) 某些题正的不行倒着来啤仝 dxsin x 1 sin xuu2 In u2uduu In u ,du2u 1In ud、u21、u2du】duusec ytan y sec ysec ytan ydy原式sin xd cot xcot x In sin

16、xcot xd In sin x,.cos x cos x ,cot x In sin xdxsin x sin xcot x In sin x cot xdxcot x In sin x cot x x c这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用sin x，然而这样的，当换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”1u sin x这类一般的换元法行不通时尝试下sin x。这种思路类似于证明u题中的反证法。(6) 注意复杂部分求导后的导数dt叮 乙 dxt In xx In x 12x In x注意到:yiy21 6t 2et2t 3ett 3et t2t3ett2t3et12ett12t 2ett2t 12t2 t et2rt 1yayi2 t2t e3 t2 e-鸟23y316t 2et2t3e'tt-dtt-Xdtt2t3etttt 12t 2etIn tIn Inx 2 In3 InIn xInx 31n In x本