公共基础知识

1、数量关系1算数知识奇偶(1) 整数：正整数、0和负整数。(2) 自然数：0和正整数。(3) 偶数和奇数：能够被 2整除的为偶数，2n；否则为奇数，2n+1 ( n为整数)。又称单数和双数。(4) 0: 0是特殊的偶数。(5) 加减：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。(6) 乘法：乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇。质合(1) 质数：自然数中除了 1和本身外，无法被其他自然数整除称为质数，又称素数。最小质数为2。(2) 合数：自然数中除了能被 1和本身整除外，还能被其他的自然数整除称为合数。最小合数为4。(3) 0和1： 0和1既不是质数也不是合数。(4) 质因数分解：任何合数都能分解成若干质数的乘积

2、。(5) 短除法：从最小的质数除起，一直除到结果为质数。整除(1) 整除：整数a除以非0的整数b没有余数，我们就说 a能被b整除或说b整除a。(2) 传递：如果b | a能整除，c | b能整除，则数a也能被c整除。(3) 加减：如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除。(4) 乘法：如果a能被b整除，c是任意整数，则积 ac也能被b整除。(5) 除法：如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立。(6) 2整除：个位上是 0、2、4、6、8的。(7) 3整除：各位数字之和是 3的倍数。(8) 4整除：末两位能被 4整除。(9) 5整除：个位是0或5

3、的。(10) 6整除：能同时被 2和3整除。(11) 7整除：个位数截去，余下的数减去个位数的2倍，差是7的倍数。(12) 8整除：末三位能被 8整除。(13) 9整除：各位数字之和是 9的倍数。最大公约两个整数共有约数中最大的整数为最大公约数。方法为质因数分解，共有质数的乘积即为最大公约数。最小公倍两个整中共有倍数中最小的整数为最小公倍数。方法为质因数分解，两数所有公约数与非公约数的乘积即为最小公倍数。倍数右a、b是整数，a/b-m/n,且m/n是最简分数，则 a是n的倍数，b是m的倍数。连比几个比例中，每一个比值的后项是下一个比值的前项。方法为找出中间量统一比例关系，一般为最小公倍数。平均

4、数(1) 算数平均数：X-X1+X2+X3+X n/n 。注：算术平均数与各数之差的平方和等于最小数。(2) 几何平均数：Mg-xi* x2*x3* xn。注：n个正数的几何平均数不大于算术平均数。(3) 加权平均数： X-M1X1+M2X2+M3X3+M nXn/M1+M2+M3+M n(4) 加权权重：一部分平均值为a, 部分平均值为 b,加权平均数为 c,那么a与b权重x/y-c-b/a-c。2、代数知识不定方程ax+by-c , a,b,c 均为整数。(1) 奇偶：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。(2) 尾数：两数和、差、积的尾数等于两数尾数和、差、积的尾数。尤其注意5x的尾数为0或5

5、。(3) 互质：ax-by, a与b互质，那么x/y必然为非整数。不等式(1) 性质：若 a>b>0,则 1/a<1/b。(2) 不等式求解：设未知数，根据不等式确定范围，最终确定答案。分段函数如商场满200减50,满500八折。Y- x-50 , 200 W x<500;Y-0.8x , x = 500。等差数列一个数列首项为 A1，公差为d，项数为n,和为Sn。(1) 通项：An-A1+ (n-1) d (n> 1);(2) 对称：Am+An-Ap+Aq ( m+n-p+q );(3) 公差：d- (An-Am ) / (n-m);(4) 求和:Sn-n (A

6、1+An ) /2-nA1+1/2n (n-1) d; 或者 Sn-pn+qn (p、q 为常数)，d-2p, A仁p+q;等比数列一个数列首项 A1，公比q,和为Sn。(1)通项An=A1*q n-1 ;(2)对称Am*An=Ap*Aq( m+n=p+q );(3)公比q=an/an-1 (n± 2);(4)求和Sn=A1 (1-qn) /1-q ( qz 1);Sn=nA1 (q=1);特殊数列(1) 平方数列求和：Sn=12+22+32+n2=1/6n (n+1)(2n+1 )；(2) 立方数列求和：Sn=13+23+33+n3= 1/2 n(n+1) 2(3) 斐波拉契数列：

7、F0=0, F1=1, Fn=Fn-1+Fn-2 (n±, n N)3、几何知识相似全等(1)相似对应角相等、对应边成比例。(2)全等两边及其夹角相等；两角及其夹边相等；三边对应相等。(3)面积相似平面图形面积比为相似比的平方；相似立体图形体积比是相似比的立方。三角不等式任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。勾股定理(1) 直角三角形：勾 2+股2=弦2(2) 勾股数：(3,4,5) ( 5,12,13) ( 7,24,25) (8,15,17) ( 9,40,41 ) (11,60,61)平面公式(1)三角形：SnXahn/absi nC(2)梯形S='2(a+b

8、)h(3)平行四边形：S=ah(4)圆形c=2 n r= n d, S=n2=4 n d2(5)扇形S=3；0 n丿 ir凸多边形内角和：S=(n-2) X 1800直线切割平面n(n 1)区域数：an=1+2等周(1) 平面：周长一定，越趋近于圆，面积越大；面积一定，越趋近于圆，周长越小。(2) 立体：表面积 疋，越趋近于球，体积越大；体积 疋，越趋近于球，表面积越小。立体公式(1) 球：S=4nr2, V=人 nr3(2) 圆柱：S=2n r2+2 n rh,V=SH= n r2h(3) 锥体：S=nrUh2 r2 + nr2, V=nr2h正多面体(1) 定义：每个面都是全等的正多边形，

9、且每个顶点所接面数均等。(2) 模型：正四、正五、正八、正十二和正二十。三视图主视图、俯视图和左视图，反映物体的长、宽、高尺寸。解析几何(1) 圆:(x-x0)2+(y-y0)2=r2(2) 圆内点：x2+y2<r2正方形分割一个正方形可以分割成除 2、3、5外任意数量的小正方形。蜂窝覆盖小圆对一定区域进行无缝隙覆盖，蜂窝状排列时用的小圆最少。立方体染色将一个立方体表面染色并切割成边长为原来/n的小立方体，则：(1) 三面被染色的是 8个在顶角的小立方体；(2) 两面被染色的是12( n-2)个在棱上的小立方体；(3) 一面被染色的是 6(n-2)2个在外表面中央的小立方体；(4) 未被

10、染色的是(n-2)3个不在表面的小立方体。4、行程问题行程问题(1)比例：S与vt成正比，v与t成反比。SS1 S2 Sn（2）平均速度：V= t1 t2 tn = s/v1 v2 vn相遇问题(1) 相遇：S=S1+S2=(v1+v2)t(2) 直线多次相遇：S总=(2 n-1)S(3) 环线多次相遇：5总=门5追及问题(1) 追及：S1-S2=(v1-v2)t(2) 环线多次追及：S1-S2=nS青蛙爬井a b天数=厂b c n +1流水问题船速=(顺速+逆速)/2,水速=(顺速逆速)/2火车问题(1) 过桥：S-桥长+车长(2) 错车：S-L1+L2-(v1+v2)t(3) 相对运动：相

11、对运动距离 -车长，相对速度-速度和或速度差。5、工程问题工程问题(1) 比例：工作量与效率、时间成正比，效率与时间成反比。(2) 轮流：效率和乘以时间。工作总量可以设为每个人单独完成用时的最小公倍数。(3) 合作：求效率和。水管问题进/排水量-(进速排速)X时间牛吃草问题吃早速1*时间1吃早速2*时间2(1) 草生长速-时间1 时间2(2) 初始草量-(吃草速一草生长速)X时间6、禾U润问题收支利润-收入支出利润率售价利润率=成本1折扣率售价(1) 折扣率=原价X 10_X c b(2) 部分折扣：y = a c7、容斥原理二集容斥A U B=A+B A A B三集容斥A U B U C=A

12、+B+C A A B B A C CA A+A A B A C文氏图集合抽象为大小一致的圆，集合大小作为数字标注于图。8、排列组合排列n!Pmn = (n m)! (n = m> 1)组合n!Cmn = m!(n m)! (n± m > 1)环线排列n个人围成一圈，排列方式有Hn-1 n-1- (n-1) !传球n 1 n 11n个人经过m次传球，球回到发球人手中，传球方式有Qmn-(n-1)k/n 土 n ( n 2 )错位重排n封信装入n个信封，要求信和信封编号不冋，则：(1) 排列方式:Xn- (n-1) ( Xn-2+Xn-1 ) (n2)(2) 性质：n个数的错

13、位重排数 Xn是(n-1)的倍数。(3) 数值：X仁0, X2-1 , X3-2 , X4-9 , X5-449、概率问题等可能概率m事件空间分为n个等可能情形，事件 A包含其中m个情形，A事件发生概率为：G(A)= n条件概率G(AB)在事件B已经发生的前提下，A事件发生的概率为 G(A丄B)= G(B)独立重复概率将某实验重复进行 n次，在一次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复实验中该事件正好发生m次的概率是：Gmn= Cmn pm(1 P) n-m分类分步概率先计算每一类或每一步的概率，再计算整个事件概率。10、抽屉原理抽屉原理(1) 原理一：把多于 n个的物体放到n个抽屉里

14、，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件；(2) 原理一：把多于 mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体；(3) 原理二：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。(4) 原理四：把 mn 1个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m 1)个物体。11、数据分配数据分配(1) 若数据可以相同，则各数相等离散性最差；(2) 若数据不能相同，则公差为1的等差数列离散性最差。12、运筹问题时间分配将在逻辑上不冲突的事件同时进行。黑夜过桥(1)尽量让时间相近的两个人一起过桥； (2 )让对岸过桥时间最短的人把灯送回。空瓶换酒B若A个空瓶可换一瓶酒，有

15、B个空瓶，最多可以喝到 C瓶酒：C= A 1 (取整)任务分配让相对效率高的人去做他擅长的事才能确保整体效率最高。物质集中路两侧物资总重量小的流向总重量大的。线性规划(1) 目 标函数： M=c1x+c2y(2) 约束条件：a1x+a2y < a3, b1x+b2y < b313、其他题型浓度问题(1)溶液=溶质+溶剂溶质(2) 浓度=溶质溶剂X 100%(3) 饱和度：溶质溶解于溶剂的上限为饱和浓度。时钟问题(1) 钟面问题：角度差=时间(分钟)X 5.5°60m(2) 坏钟冋题：坏钟每小时比标准钟快n分钟，当坏钟走过 m分钟时，标准钟走过 60 n分钟。日期问题(1) 闰年：每个世纪前 99年，能被4整除的为闰年；每个世纪的最后一年，能被400整除的为闰年。(2) 星期：平年每过一年，星期数的变化+1