《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布8节

1、2022-2-51(, )X Y 二维随机变量二维随机变量 ,是两个随机变量视为是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的一个整体，来讨论其取值规律的. 问题问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？边缘分布问题边缘分布问题 第第6节节 边缘分布边缘分布2022-2-52一、二维离散型一、二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布()iP XxijjpipX的边缘分布的边缘分布Y的边缘分布的边缘分布()jP Yyijjipp), 2 , 1(j), 2 , 1(i2022-2-53设二

2、维随机变量（设二维随机变量（X, Y）的联合概率分布如下）的联合概率分布如下例例1X Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：解：求随机变量求随机变量X与与Y的边缘概率函数。的边缘概率函数。X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/5012022-2-54二、二维连续随机变量的边缘分布二、二维连续随机变量的边缘分布 ),(yxfYX的联合密度函数为的联合密度函数为，二维连续型随机变量二维连续型随机变

3、量 dyyxfxfX，得得的边缘密度函数：的边缘密度函数：求随机变量求随机变量 X xfX xXPxFX 由由 xdxdyyxf，=P(Xx, -Y+ )2022-2-55 dxyxfyfY，得得同理，由同理，由 yYPyFY ydvdxvxf，=P(-X0, 则则)()()|(BPABPBAP 自然地引出如下定理：自然地引出如下定理：,jijpp , 2 , 1 i(2)若若PX= xi0, 则则, 2 , 1,| jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij在在 X= xi 条件下条件下Y 的条件的条件分布律分布律2022-2-511条件分布律条件分布律具有分布律的以下具有分布律的以下

4、特性特性： 10 P X= xi |Y= yj 0； 10|2ijiyYxXP. 1 jjpp 1ijijpp即条件分布律是分布律。即条件分布律是分布律。2022-2-512设二维随机变量（设二维随机变量（X, Y）的联合概率分布如下）的联合概率分布如下例例1X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/501的条件分布为的条件下在X0Y,)0(5024YP已知解：解：求求(1)随机变量随机变量X在在Y=0条件下的条件分布。条件下的条件分布。)0|0(YXP241

5、050245010)0()0, 0(YPYXP)0| 1(YXP)0()0, 1(YPYXP2495024509)0|2(YXP)0()0, 2(YPYXP24550245052022-2-513设二维随机变量（设二维随机变量（X, Y）的联合概率分布如下）的联合概率分布如下例例1X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/501,) 1(5022XP已知求求 (2)随机变量随机变量Y在在X=1条件下的条件分布。条件下的条件分布。解：解：Y0123pY|X(y|

6、1)9/2210/223/220则则Y在在X=1条件下的条件分布为条件下的条件分布为2022-2-514|( , )( |)( )X YYf x yfx yfy|( , )( | )( )Y XXf x yfy xfx二、连续随机变量的条件分布二、连续随机变量的条件分布2022-2-515连续随机变量的条件分布推导连续随机变量的条件分布推导设设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于是二维连续型随机变量，由于 .|, 0无无意意义义所所以以yYxXPyYP 所以应在所以应在 P y Yy+y0时时,考虑考虑X x的条件概率的条件概率|yyYyxXP|yyYyxXP,yyYyPyyYyxX

7、P yyyYxyyydyyfdydxyxf)(),(2022-2-516|yyYyxXP yyyYxyyydyyfdydxyxf)(),(yyyYyxyyyydyyfdxdyyxf)(),(11yyyYyyxyyyyydyyfdxdyyxf)(lim),(lim11)(),(yfdxyxfYx)|(|yxFYX|lim0yyYyxXPy2022-2-517,)(),()|(| xYYXduyfyufyxF)(),()|(|yfyxfyxfYYX 称为在条件称为在条件Y= y下下X的条件分布函数的条件分布函数.随机变量随机变量X在在Y=y的条件下的条件密度函数的条件下的条件密度函数注：条件密度函

8、数的性质与普通密度函数类似：条件密度函数的性质与普通密度函数类似)(),()|(|yfyxfyxfXXY随机变量随机变量Y在在X=x的条件下的条件密度函数的条件下的条件密度函数2022-2-518由由 所围成的区域上服从所围成的区域上服从 设设G是平面上的有界区域是平面上的有界区域, 其其面积为面积为A, 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有如下概率密度具有如下概率密度,则称则称(X,Y)在在G上服从均匀分布上服从均匀分布. 现设现设(X,Y)在在例例2其他, 0G),(,1),(yxAyxf1, 0,2xyxy).|(|yxfYX解：解：均匀分布均匀分布.求条件概率密度求条件概率密度

9、dxyxfyfY),()(13ydx, 10),1 ( 3yy., 0其他)|(|yxfYX)1 ( 33y, 1,)1 ( 11xyy., 0其他时，有当10 y 1002xdydxA31103102100|32xxdxxdydxyoy=x21G 3 )(),(yfyxfY2022-2-519n 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 第第8节节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 (,)() ()ijijP Xx YyP Xx P Yy( , )( )( )XYf x yfxfy y)= y)ijijppp即2022-2-

10、520 在实际问题或应用中，当在实际问题或应用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取值的取值互不影响时，互不影响时，我们就认为我们就认为X X与与Y Y是是相互独立的，进相互独立的，进而把上述定义式当公式运用而把上述定义式当公式运用. . 在在X X与与Y Y是是相互独立的前提下相互独立的前提下，( , )( )( )XYF x yFxFy2022-2-521例例1 1的联合概率分布为，设二维随机变量YXX Y123p.j11/61/91/181/321/31/3+ +pi.1/21/9+1/18+ 2/3+ +ijijppp相互独立与使得随机变量，试确定常数YX解：由联合概率分布的性质知0,

11、 0, 且2/3+ +=1,即即 +=1/3,由X,Y相互独立,有2112ppp)91(319192912022-2-522 例例2 已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y)服从区域服从区域D上的均匀上的均匀分布，分布，D为为x轴轴, y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形所围成的三角形区域。判断区域。判断X，Y是否独立。是否独立。 解解: （X,Y）的密度函数为）的密度函数为 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他102x2104xdy4(21),x( )( , )Xfxf x y dy., 0其他01y2(1),y( )( , )Yfyf x y dx0124

12、ydx., 0其他( , )( )( ),XYf x yfxfyX Y显然，不独立。2022-2-523 例例3 某种保险丝的寿命某种保险丝的寿命(以以100小时计小时计)X服从参数为服从参数为3的指的指数分布。数分布。（1）有两根此种保险丝，其寿命分别为）有两根此种保险丝，其寿命分别为X1, X2设设X1, X2相相互独立，求互独立，求X1, X2的联合概率密度；的联合概率密度；（2）在）在(1)中一根保险丝是原装的，另一根是备用的，备用中一根保险丝是原装的，另一根是备用的，备用保险丝只在原装保险丝熔断时自动投入工作，于是两根保保险丝只在原装保险丝熔断时自动投入工作，于是两根保险丝总的寿命为险丝总的寿命为X1+X2，求概率，求概率P(X1+X21).12()/31129,0,0 xxexx., 0其他12(1)P XX1212( ,)Df x x dx dx121212( ,)()()XXf x xfxfx解解: X1,