《概率论与数理统计》(1)

1、一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质三、例题讲解三、例题讲解二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差四、小结四、小结第二节方差第二节方差1. 概念的引入概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值分散程方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量度的量.实例实例 有两批灯泡有两批灯泡,其平均寿命都是其平均寿命都是 E(X)=1000小时小时. Ox Ox 1000 1000一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质 ).(,)(.)()Var()(, )Var()(,)(,)(,222XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为记为为标准差或均方差为

2、标准差或均方差称称即即或或记为记为的方差的方差为为则称则称存在存在若若是一个随机变量是一个随机变量设设 2. 方差的定义方差的定义方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分取值分散程度的量散程度的量. 如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示 X 取值分散取值分散程度大程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果 D(X) 值小值小, 则则表示表示X 的取值比较集中的取值比较集中, 以以 E(X) 作为随机变量作为随机变量的代表性好的代表性好.3. 方差的意义方差的意义离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 连续型随机变

3、量的方差连续型随机变量的方差,d)()()(2xxfXExXD 4. 随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算利用定义计算 .)(的概率密度的概率密度为为其中其中Xxf., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk .)()()(22XEXEXD 证明证明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用公式计算利用公式计算).()(22XEXE 证明证明22)()()(CECECD 5. 方差的性质方差的性质(1) 设设 C 是常数是常数, 则有则有. 0)( CD22CC . 0

4、 (2) 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有).()(2XDCCXD 证明证明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE ).()()(YDXDYXD (3) 设设 X, Y 相互独立相互独立, D(X), D(Y) 存在存在, 则则证明证明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD 推广推广).()()()(2121nnXDXDXDXXXD 则则有有相相互互独独立立若若,21nXXX即即取取常常数数以以概概率率的的充充要要条条件件是是,10)()

5、4(CXXD . 1 CXP1. 两点分布两点分布 qpXE 01)(Xp01pp 1已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有, p 22)()()(XEXEXD 222)1(01ppp .pq ppq二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差2. 二项分布二项分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p则有则有)(0kXPkXEnk knknkppknk )1(0 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为knknkppknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1

6、()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp.np )1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnpnp)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE npppnkkkknknk )1()1(0npppknknkkknknk )1()!( !)1(0nppppnnn 22)1()1(.)(22nppnn 22)()()(XEXEXD 222)()(npnppnn ).1(pnp npppkknnpnnknknk )2()2(222)1()!2()!()!2()1()1(pnp 3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,e! kk

7、kXPk则有则有 0e!)(kkkkXE 11)!1(ekkk ee . 且且分分布布律律为为设设),( X )1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0e!)1(kkkkk 222)!2(ekkk ee2.2 所以所以22)()()(XEXEXD 22 . . 都等于参数都等于参数泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 4. 均匀分布均匀分布则有则有xxxfXEd)()( baxxabd1).(21ba ., 0,1)(其其他他bxaabxf其其概概率率密密度度为为设设, ),(baUX).(21ba 结论结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望位于区间的中点.22)

8、()()(XEXEXD 222d1 baxabxba.12)(2ab 12)(2ab 5. 指数分布指数分布 . 0. 0, 0, 0,e1)(, xxxfXx其其中中其其概概率率密密度度为为服服从从指指数数分分布布设设随随机机变变量量则有则有xxxfXEd)()( xxxde10 . xxxxdee00 22)()()(XEXEXD 202de1xxx 222 .2 .2 和和分别为分别为指数分布的期望和方差指数分布的期望和方差26. 正态分布正态分布其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有则有xxxfXEd)()( .de21222)(xxx tx 令令, tx ., 0,e21)(2

9、22)( xxfx. tttttde2de212222 xxXExde21)(222)( 所所以以tttde )(2122 .de21)(222)(2xxx xxfxXDd)()()(2 得得令令, tx ttXDtde2)(2222 ttttdee2222222202 .2 .2 和和分别为两个参数分别为两个参数正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差210 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 2分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布0,

10、2).(., 0, 10,1, 01,1)(XDxxxxxfX求求其其他他具具有有概概率率密密度度设设随随机机变变量量 解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE, 0 三、例题讲解三、例题讲解例例1 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61 于是于是22)()()(XEXEXD 2061 .61 .,.,),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22()cm(22的的概概率率求求活活塞塞能能装装入入气气缸缸任任取取一一只只气气缸缸任任取取一一只只活活塞塞相相互互独独立立气气缸缸的的直直径径计计以以设设活活塞塞的的直直径径YXNYNX解解),04. 0,50.

11、22(),03. 0 ,40.22(22NYNX因因为为),0025. 0 ,10. 0( NYX所所以以0 YXPYXP故故有有 0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()(YXP)2( .9772. 0 例例2).(,., 020,cos)(2YDXYxxxfX的方差的方差求随机变量求随机变量其他其他的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量 解解xxfxXEd)()(22 , 24dcos2022 xxxxxfxXEd)()(44 204dcosxxx例例3,)()()(22XEXEXD 因因为为22242424316 .2202 ,2431624 224

12、2)()()(XEXEXD 所所以以解解)5()2()52(33DXDXD )(43XD )()( 4236XEXE 1213121121031)2()(66666 XE,6493 ).52(,121121213131023 XDX求求设设例例423333231213121121031)2()( XE)52(3 XD故故,91 )()( 4236XEXE .92954 契比雪夫不等式契比雪夫不等式证明证明.,)(,)(222成立成立不等式不等式则对于任意正数则对于任意正数方差方差具有数学期望具有数学期望设随机变量设随机变量定理定理XPXDXEX 取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情

13、况来证明.则则有有的的概概率率密密度度为为设设),(xfX 切比雪夫不等式切比雪夫不等式契比雪夫契比雪夫.22XP xxfxd)()(122.122 xxfxxd)(22 22XP .122XP 得得XP xxxfd)(例5. 已知离散型随机变量服从参数为2的泊松分布，即 ，求随机变量 的数学期望. X -1 0 1 2 P 0.3 a 0.2 0.1 (1) 求常数a；(2)求X的分布函数F(X)；(3)计算 ； (4) 求 的分布律；(5)计算E（X），D（X）。, 2 , 1 , 0,!22kkekXPk23 XZ)23(XP26XY四、小结四、小结1. 方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散取值分散程度的量程度的量. 如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示 X 取值分散程取值分散程度大度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果 D(X) 值小值小, 则则表示表示 X 的取值比较集中的取值比较集中, 以以 E(X) 作为随机变作为随机变量的代表性好量的代表性好.,)()()(22XEXEXD 2. 方差的计算公式方差的计算公式,)()(12kkkp