向量法求空间角高二数学立体几何

1、向量法求空间角ABCDPQ1（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，平面，（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小2（满分13分）如图所示，正四棱锥P中，O为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为DBACOEP（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若E是的中点，求异面直线与所成角的正切值；（3）问在棱上是否存在一点F，使侧面，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由3（本小题只理科做，满分14分）如图,已知平面,是正三角形,且是的中点.（1）求证:平面;（2）求证:平面平面;（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.4（本小题满

2、分12分）如图，在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点（1）求证:平面;（2）求平面和平面的夹角.5如图，在直三棱柱中，平面 侧面且.（）求证：； （）若直线与平面所成的角为,求锐二面角的大小.6如图，四边形是正方形，平面， 分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.参考答案1（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，两两垂直，可以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系表示出图中各点的坐标：设，则，则可表示出，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由，故，即可证明；（2）首先求出两

3、个平面的法向量，其中由于平面，所以可取平面的一个法向量为；设平面的一个法向量为，则，故即取，则，故，转化为两个法向量的夹角，设与的夹角为，则即可求出平面与平面所成的锐二面角的大小.试题解析：（1）由已知，两两垂直，可以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 设，则，故，因为，故，即， 又 所以，平面 （2）因为平面，所以可取平面的一个法向量 为， 点的坐标为，则， 设平面的一个法向量为，则，故即取，则，故设与的夹角为，则所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系2（1）; （2）; （3）F是的4等分点，靠近A点的位

4、置.【解析】试题分析：（1）取中点M，连接，由正四棱锥的性质知为所求二面角PO的平面角，为侧棱与底面所成的角，设a，则a，a，, ,60; （2）依题意连结，则 ，故为异面直线与所成的角，由正四棱锥的性质易证平面,故为直角三角形，a ；（3）延长交于N，取中点G，连，易得平面，故平面平面，而为正三角形，易证平面，取的中点F,连,则四边形为平行四边形，从而平面, F是的4等分点，靠近A点的位置.MDBACOEP试题解析：（1）取中点M，连接，依条件可知，则为所求二面角PO的平面角 （2分）面，为侧棱与底面所成的角设a，a， a，60 （4分）MDBACOEP（2）连接， ，为异面直线与所成的角

5、（6分），平面又平面， a， （8分）（3）延长交于N，取中点G，连，MDBACO EP N G F ，平面平面平面 （10分）又，60，为正三角形又平面 平面，平面 （12分）F是的4等分点，靠近A点的位置 （13分）考点：立体几何的综合问题3（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）取中点P，连接、，根据中位线定理可知，且且，而，且则为平行四边形，则，平面，平面，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据平面，则平面，又平面，根据线面垂直的性质可知，满足线面垂直的判定定理，证得平面，又，则平面，平面，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以F为坐标原点，

6、所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F设2，根据线面垂直求出平面的法向量n，而（0，0，1）为平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为，根据可求出所求试题解析：（1）解:取中点P,连结、, F为的中点,且 又,且,且, 为平行四边形, 又平面平面, 平面 （2）为正三角形,. 平面, 平面,又平面, .又, 平面 又,平面.又平面, 平面平面 （3）法一、由（2）,以F为坐标原点, 所在的直线分别为轴（如图）, 建立空间直角坐标系F.设2, 则C（0,1,0）, 设为平面的法向量， ，令1,则 显然,为平面的法向量. 设面与面所成锐二面角为 则. 即平面与平面所成锐二面角为 法二、延

7、长、,设、交于一点O,连结. 则面面. 由是的中位线,则. 在中, . ,又. 面而面, 在中， 即平面与平面所成锐二面角为. 考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定4证明见解析【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问

8、题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）如图，以为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系则. 设平面的法向量为即 令则. 又平面平面 （2）底面是正方形,又平面 又,平面向量是平面的一个法向量,又由（1）知平面的法向量. 二面角的平面角为. 考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.5（）详见解析;（）.【解析】试题分析：（）取 的中点D，连接，由已知条件推导出平面，从而，由线面垂直得由此能证明（）方法一：连接，由已知条件得即为直线与平面所成的角，即为二面角的一个平面角，由此能求出二面角

9、的大小解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则， ，求出平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则得，解得，即，求出平面的一个法向量为，设锐二面角的大小为，则，且， 即可求出锐二面角的大小.试题解析：解（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则 由平面侧面，且平面侧面， 得，又平面， 所以. 因为三棱柱是直三棱柱，则，所以. 又，从而侧面 ，又侧面，故. 6分解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影 即为直线与所成的角，则 在等腰直角中，且点是中点， ，且， 过点A作于点，连，由（1）知，则，且 即为二面角的一个平面角且直角中：，又， ，且

10、二面角为锐二面角 ，即二面角的大小为 12分 解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则， 设平面的一个法向量，由， 得： 令 ，得 ，则设直线与所成的角为，则得，解得，即 又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则，且，得 锐二面角的大小为.考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系6（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方

11、向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）证明：,分别为，的中点，.又平面，平面，平面. （2）解:平面，平面平面，. 四边形是正方形，.以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 ,，, ,.， 分别为，的中点，, （解法一）设为平面的一个法向量，则,即，令，得. 设为平面的一个法向量,则,即，令，得. 所以. 所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）（解法二），,是平面一个法向量