第三节连续型随机变量及其概率密度

1、一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第三节连续型随机变量及其概率密度第三节连续型随机变量及其概率密度密度函数和分布函数的关系密度函数和分布函数的关系n 积分关系积分关系n 导数关系导数关系( )( )xF xf x dx( )xf x dx( )( )( )f xxF xf x若在 处连续，则)xX(P)x(F 已知随机变量已知随机变量X与与-X具有相同概率密度函数，记具有相同概率密度函数，记X的分布函数为的分布函数为F(x),则则F(x)+F(-x)=也是概率密度的是也是概率密度的是断断的概率密度，则可以判的

2、概率密度，则可以判是某随机变量是某随机变量如果如果X)x(f)x(fx)x(xf)x(f)x(f32223(D)2(C)(B)2(A)二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX记为上服从均匀分布在区间则称其它具有概率密度设连续型随机变量定义1. 均匀分布均匀分布boaxf)(概率密度概率密度函数图形函数图形 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF a b 1)(E X.X,00.x0,0,x,ef(x)Xx记作分布的指数服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量定义 2. 指数

3、分布指数分布指数分布密度指数分布密度函数图形函数图形演示演示 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命电力设备的寿命, 动物的寿动物的寿命等都服从指数分布命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数 . 0, 0, 0,1)(xxexFx ).,(NX,X,)(,x,e)x(fX)x(2202122记记为为的的正正态态分分布布服服从从参参数数为为则则称称为为常常数数其其中中的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量定定义义 3. 正态分布正态分布 （Normal Distributi

4、on）正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;)(,)(xpx212取得最大值取得最大值时时当当 ;)x(f,x0(3)时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x );21,(21 e ;x,)x(f,)(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定6;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x 12122110.7521.25 不同， 相同越小，图形越陡；越大，图形越平缓.,)(,)7(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不

5、变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xp正态分布的分布函数正态分布的分布函数dte)x(F)t(x22221 F(x)121 x 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算texFxtd21)(222)( xXP ? 原函数不是原函数不是初等函

6、数初等函数方法方法:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算221( )2xxxedx 标准正态分布标准正态分布n 定义定义X N（0，1）分布称为标准正态分布）分布称为标准正态分布 n 密度函数密度函数221( )2xxen 分布函数分布函数Standard Normal distributionStandard Normal distribution01偶函数偶函数 ( )yx标准正态分布的图形标准正态分布的图形.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例 . 0828. 0 )(1)(xx

7、 5 . 0)0( 标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算( )yxX -x xttde)x(2221x)P(X 例例 证明证明).(1)(xx xexxxd21)(22 xexxd2122 xexd2122 xexxd2122 ).(1x 证明证明).1 , 0(),(2NXZNX 则则若若引理引理证明证明的分布函数为的分布函数为XZ xZP xXPxXP ,d21222)( xtte得得令令,ut xZP xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故 dXcPdXcP. cd . cddXcP 即即.),(2dXcPNX 求求已已知知例例，由由)1 , 0( NX 正态

8、分布的实际应用正态分布的实际应用2( ,)XN 已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若从高分人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录分，问此人能否被录取？取？ 某单位招聘某单位招聘155155人，按考试成绩录用，共有人，按考试成绩录用，共有526526人报名，假设报名者的考试成绩人报名，假设报名者的考试成绩n 分析分析 首先求出首先求出和和然后根据录取率或者分数线确定能否录取然后根据录取率或者分数线确定能否录取解解 成绩成绩X服从服从 2,N 12900.0228526P X 83600.1588526P X 录取率

9、为录取率为 1550.2947526可得可得 60600.1588P X 601 0.15880.8412 得得 查表得查表得 601.0902.0977200228019090.XP 解解 查表得查表得 601.0902.0. 解得解得 70 , 10故故 270,10XN设录取的最低分为设录取的最低分为 x则应有则应有 0.2947P Xx1 0.29470.7053P Xx 700.705310 x75.4x 700.5410 x某人某人78分，可分，可被录取。被录取。 X X的取值几乎都落入以的取值几乎都落入以 为中心，以为中心，以3 3 为半径为半径的区间内。这是因为：的区间内。这是

10、因为：),(2 NX33(3)( 3)PX (3)1(3)2 (3) 10.9974 330.9974F(x)3 3 准则准则3X是小概率事件是小概率事件 分布函数分布函数概率密度概率密度三、小结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttpxFd)()(.连续型随机变量连续型随机变量1均匀分布均匀分布正态分布正态分布指数分布指数分布 正态分布有极其广泛的实际背景正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量例如测量误差误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常正常情况下生产的产品尺寸情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度直径、长度、重量高度;炮弹的弹落点的分布等炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态都服从或近似服从正态分布分布.可以说可以说,正态分布是自然界和社会现象中最正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般那么这个变量一般是一个正态随机变量是一个正态随机变量.3. 正态分布是概率论中最重要