9二项分布及其应用-拔高难度-讲义

1、二项分布及其应用姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0. 8,假设他每次命中率相同，请问他4投3中的概率是多少？1次的概率是多少？2次的概率是多少？3次的概率是多少？4次的概率是多少？ k次的概率是多少？问题1:在4次投篮中姚明恰好命中 问题2:在4次投篮中姚明恰好命中 问题3:在4次投篮中姚明恰好命中 问题4:在4次投篮中姚明恰好命中 问题5:在n次投篮中姚明恰好命中解读1、条件概率(1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B,在已知事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率叫做条件概率，用符号'P(B|A)”来表示.(2)条件概率公式：P B A0 , A I B称为事件A与B的积

2、或交(或积).把由事件A与B的交(或积)，记做D AI B (3)条件概率的求法：(或 D AB ).利用定义，分别求出 PA和PBA,得PBAP AI BP A第3页(共12页)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数，即 n A再求事件n AI B ,得PBAn AI B2、相互独立事件同时发生的概率(1)事件的独立性 ：如果事件A(或B)是否发生对事件B (或A)发生的概率没有影响, P(B|A) P(B),这时，我们称两个事件 A, B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事 件.如果事件A与B相互独立，那么事件AgB发生的概率等于每个事件发生的概率的积,P AgB P A gp

3、 B .如果事件A, %,，An相互独立，那么这 n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(Ai IA，IL IAn)P(Ai)P(A2)LP(An),并且上式中任意多个事件A换成其对立事件后等式仍成立.(2)相互独立”与事件互斥”两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型).两事件相互独立不一定互斥.3、二项分布(1)独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A,并且事件 A发生的概率相同.在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.n次独立

4、重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k) C： pk(1 p)n k(k 0, 1, 2, L , n).(2)二项分布若将事件A发生的次数设为 X ,事件A不发生的概率为q 1 p ,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X k) Cn pkqn k,其中k 0, 1, 2, L , n .于是得到X由 于 表 中 的第 二 行n 0 0 n T 1 n 1k k n k(q p) Cn p q Cn p q l c： p q各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X B(n, p).典例精讲一.选择题(共10小题)恰 好 是 二 项 展 开 式n n 0L Cn p

5、 qX服从参数为n , p的二项分布，记作的分布列X01knP00 nCn p q11 n 1Cn p qk k n kCn p q_ n n 0Cn p q1. (2018春?抚顺期末)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P,各成员的支付方式相互独立，设 X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， D (X) =2.1, P (X=4) <P (X=6),则 P=()第2页(共12页)A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可.【解答】解：概率都为p,可看做是独立重复事件，满足 XB (10, p),P (x=4)

6、<P (X=6),可得？?0?P4? (1 P) 6<?%?P6? (1 P) 4,八一1化简得1-2P<0,解得P>2；因为 D (X) =2.1,可得 10P (1 -P) =2.1,解得 p=0.7 或 p=0.3 (舍去)；P的值为0.7.故选：A._ _ r12. (2015春？庐江县期末)已知随机变量 qN (2, 4),则D (2汁1)=()A. 1B. 2C. 0.5D. 4【分析】根据正态分布的概念，随机变量 力N (2, 4),得出D (。=4,利用D11(二注1)=-d(。求解即可。 24【解答】解：二.随机变量 1N (2, 4),. d( a

7、=4,、L 113A. 一152B.一8113C.24380D. 一243:设“弓+1,4一一32-3?1 3?n求出n,表示6次独立重复【分析】XB (n,-),若D (x) =4, 331试验，每次实验成功概率为P (X=2)表小6次试验中成功两次的概率. 3【解答】解：由题意，XB (n,1),若D(x)=4,则n?1 ?2=4,n=6.333 3 3P (X=2) =?(3)11 . D (城=D(£ 汁1) =4D (9 =4X4=1,故选：A.3. (2016秋？武汉期末)已知随机变量 XB (n, 1),若D (x) =4,则P (X=2) 3(|)4=枭.22243故

8、选：D.4. (2017春?城北区校级期末)已知随机变量匕“满足汁”=8且士服从二项分布卜B (10, 0.6),则E (城和D (娘的值分别是()A. 6 和 2.4 B. 2 和 2.4C. 2 和 5.6 D. 6 和 5.6【分析】根据变量 看B (10, 0.6)可以根据方差的公式做出这组变量的方差，随机变量+4=8知道变量”也符合二项分布，即可得出结论.【解答】解：二 hB (10, 0.6), .EE =100.6=6, DE =10< 0.6X0.4=2.4,: +“ =8''' T =8 ±. Et =E(8- a =8-6=2,Dt

9、=D(8- 8 =2.4.故选：B.，、，1 i5. (2016春？福建月考)已知随机变量 X服从二项分布B (4, 2),则D (3X+1) =()A. 3B. 4C. 9D. 10一一、，1，-【分析】随机变量X服从二项分布B (4, 2),可得D (X) =1 ,则D (3X+1) =9D (X).一 一、一 ，111【解答】解：.随机变量X服从二项分布B (4,2), .D (X) =4X 2 X (1 - 2)=1.WJ D (3X+1) =9D (X) =9.故选：C.6. (2016春？曲靖校级期末)随机变量士服从二项分布 & B (n, p),且EE =30DE =20

10、则p等于()A. 2B. 133【分析】根据随机变量符合二项分布,1 C.-23D. 一4根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于 n和p的方程组，解方程组得到要求的 两个未知量.【解答】解：朗艮从二项分布B(n, p)且EE =30 DE =20由 EE =30=np D± =20=np( 1 - p),第11页(共12页)可得 p=n=90.3故选：B.7. (2016春?邯郸期中)设随机变量XB (2, p), YB (4, p),若 P (X>1)5 一.一,则 P (Y> 1)为(9A.16B.一8165C.81D. 1【分析】根据随

11、机变量服从XB (2,P)和P (X> 1)对应的概率的值，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据Y符合二项分布, 利用概率公式得到结果.【解答】解：二随机变量服从XB (2, p),.P (X> 1) =1-P (X=0) =1-? (1p) 2b,解得 p=.93P (Y> 1) =1-P (Y=0) =1 - ? (1- p) 4=1 - -=65,81 81故选：C.8. (2015春?重庆期末)若随机变量XB(n,p),其均值是80,标准差是4,则n和p的值分别是()A. 100, 0.2 B. 200, 0.4C. 100, 0.8 D. 200,

12、 0.6【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件 中所给的期望和方差的值，得到关于 n和p的方程组，解方程组得到要求的 两个未知量.【解答】解：二.随机变量XB (n, p),其均值是80,标准差是4,.,由 np=80, np (1 - p) =16,. p=0.8, n=100.故选：C. ，一 一，1-9. (2014春?东莞期末)若随机变量 X服从两点分布，其中P (X=0)=：,则E3(3X+2)和D (3X+2)的值分别是()A. 4 和 4B. 4 和 2C, 2 和 4D. 2 和 2【分析】先由随机变量X服从两点分布，求E (X)和D (X),再

13、求E (3X+2)和 D (3X+2)的值.【解答】解：:X服从两点分布， .E (X) =0X 1+1 x 2=2, 33 3D (X) = (- 2X1+ (1) 2x2=2 3333 9E (3X+2) =4, D (3X+2) =21 P (X=0)=-, 3故选：B.,1 一一，10. (2014碓州一模)设随机变量 X服从二项分布XB (5,-),则函数f (x)A.4B.-531 C32D.=x2+4x+X存在零点的概率是()【分析】函数f(x) =x2+4x+X存在零点，可得X& 4,随机变量X服从二项分布XB (5, 1),可求 P (X< 4) =1-P (X

14、=5).【解答】解：:函数f (x) =x2+4x+X存在零点, =16 4X> 0, . X< 4,.随机变量X服从二项分布XB (5, 2),P (X<4) =1 -P (X=5) =1-2=31.25 32故选：C.二.填空题(共5小题)11. (2017 春？福州期末)若 & B (n, p)且 E ( 9 =4, D ( 9 =8,则 P (己二1 3932的值为_3-_.81【分析】由随机变量 0B (n, p),列出方程组np=-,且np (1-p)上求出n、39p的值，再利用n次独立重复实验恰有k次发生的概率公式计算即可.【解答】解：随机变量 &

15、;B (n, p)且E ( 9 =4, D( a =8,39np=4-,且 np (1 - p) =8,39解得n=4, p； 3.P (七=1=C41 (d (I-1) 3=32 338132故答案为：一81 、1 八12. (2013春?鼓楼区校级期末)某篮球运动员在三分线外投球的命中率是2,他投球5次，恰好投进2个的概率是 .16 【分析】由题意知投球5次且每次的条件不变，得到本题是一个独立重复试验,判断出题目属于什么问题，后面只要代入公式得到结果即可.【解答】解：二.由题意知运动员在三分线投球的命中率是投球 5次且每次的条件/、变,本题是一个独立重复试验,5由独立重复试验恰好发生k次的

16、概率公式可得P=?(1)2(1 - 1)3=-5'22)165故答案为：一1613. (2015春？珠海期末)已知随机变量 0B (6,-),则E (2© = 43【分析】根据立重复试验的数学期望公式得出E ( 0 =np, E (20 =2E (匕求解即可.【解答】解：二.随机变量 1B (6, 1),3,，1根据独立重复试验的数学期望公式得出 E ( $ =6X-=2,3v E (20 =2E ( 9 =2X 2=4,故答案为：414. (2015春？曲靖校级期中)设1B (n, p), E (。=12, V ( 9 =4,则n的 值是 18 .【分析】根据E ( 0 =

17、np, V (。=np (1 - p),求解即可.【解答】解：E ( 9 =np=12, 4.12 1-p=3, p=3-，n=18故答案为：18.15. (2017春?兴化市校级月考)已知随机变量 X服从二项分布XB (6, 1),3则P (X=2)的值为 20-.243 【分析】根据二项分布xB (6, 2)表示6次独立重复试验，每次实验成功概32率为一，计算P (x=2)表小6次试验中恰有两次成功的概率. 3【解答】解：随机变量X服从二项分布XB (6, 2),3贝 U P (X=2) =?(|)2?(1- 3)4 20243故答案为:20243三.解答题(共4小题)16. (2013秋

18、?宜昌期末)甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是 2,乙3，一 一一1一胜的概率是-，不会出现平局.3(1)如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；(2)如果采用五局三胜制(若甲、乙任何一方先胜 3局，则比赛结束，结果为 先胜3局者获胜)，求甲获胜的概率.【分析】(1)先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，根据独 立重复试验公式公式，列出算式，得到结果.(2)由于采用五局三胜制，则甲获胜包括甲以 3: 0获胜，以3: 1获胜，以3: 2获胜，根据独立重复试验公式列出算式，得到结果.【解答】解：(1)甲恰好胜2局的概率？= ?(|)2?； = 4; 339乙

19、至少胜1局的概率？ = 1 - (2)3 = 19; 32 7(2)打 3 局：(3)3 = 27S打 4 局：? X(3)2 X3 x1 = 27;32 733327打五局：？ x(|)2 x(1)2 x| = i48- = 811一，64因此甲获胜的概率为一8117. (2016秋?清城区期末)某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进 行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量11.52天数102515频率0.2ab若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立.(I )求5天中该种商品恰好有两天的销售量为 1.5吨的概率；(n)已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销

20、售利润的 和(单位：千元)，求X的分布列和数学期望.【分析】(I)先求得销售量为1.5吨的概率p=0.5,然后利用二项分布求得其概 率.(H) X的可能取值为4, 5, 6, 7, 8,分别求得其概率，写出分布列和数学期 望.【解答】解：(I)?= 55= 0.5, ?= 15= 0.3,依题意，随机选取一天，销售量为 1.5吨的概率p=0.5,设5天中该种商品有Y大的销售量为1.5吨，则YB (5, 0.5),. .?(?= 2) = ? X0.52 X(1 - 0.5)3 = 0.3125.(n) X的可能取值为4, 5, 6, 7, 8,则：P (X=4) =0.22=0.04, P (

21、X=5 =2X 0.2X0.5=0.2, P (X=6) =0.52+2X 0.2X0.3=0.37,P (X=7) =2X0.3X0.5=0.3, P (X=8) =0.32=0.09,，- X的分布列为：X 的数学期望 E (X) =4X 0.04+5X 0.2+6X0.37+7X0.3+8X0.09=6.2.18. (2015秋？渭城区校级期末)五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项 优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券.(假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的 边界时，重新转一次)指针所在的区域及对应的返券金额见右上表.例如：

22、 消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.(1)已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落 在区域边界的概率为p,每次转动转盘的结果相互独立，设士为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，己的数学期望EE25,标准差 瞥1,求n、p 的值；(2)顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为 “(元).求 随机变量”的分布列和数学期望.指针位置A区域 B区域 C区域返券金额(单位：元)6030【分析】(1)依题意知，己服从二项分布 B (n, p),再由二项分布的期望公式与二项分布的方差公式可得方程组，进而求出p与n的值. 一八，一、一1(2)设指针落在A, B, C区域分别记为事件A, B, C,再计算出P (A) =", P611(B) =, P (C)=-,以及随机变量 ”的可能值为0, 30, 60, 90, 120,然32后根据相互独立事件的概率乘法公式分布得到其发生的概率，假若求出离散型随机变量的分布列与期望.【解答】解：(1)依题意知，朗艮从二项分布 &B (n, p)1E =np25又 DE 二(o无 1 2=np (1 - p)=由联立解