2020届高考数学(理)一轮复习讲义8.2空间几何体的表面积与体积

1、§8.2空间几何体的表面积与体积取新考明考情考向分析了解球、棱柱、棱锥、台的表面 积和体积的计算公式.主要考查涉及空间几何体的表面枳与体积.常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特 征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想 象能力和计算能力，难度为中低档.基础知识自主学习回扣基础知识训镰基岫题目一r知识梳理1 .多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧 面积与底面面积之和.2 .圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式-圆柱圆锥圆台侧面展开图r、烝G j侧面积公式S圆柱侧=2炉1S圆锥侧=闻S圆台侧=M1+ r2）

2、l3 .柱、锥、台、球的表面积和体积"名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+ 2s底V = _sh锥体（棱锥和圆锥）s表面积=s侧+ s底1V=Sh ,3台体（棱台和圆台）s表面积=s侧+S上十 s下1V=-（s±+s 下 + 37 s上 s ）h球S= 4-2【概念方法微思考】1 .如何求旋转体的表面积？提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和.2 .如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为 规则的几何体求解.昭基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否

3、正确(请在括号中打或“X”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(V )(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(V )(3)锥体的体积等于底面积与高之积.(X )3(4)已知球。的半径为R,其内接正万体的边长为a,则R=S3a.( V )(5)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2tS.( X )题组二教材改编2.已知圆锥的表面积等于12Ttcm2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()3A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.2 cm答案 B解析 S 表=行2 + Tfl = <2+ < 2r= 3 兀r2= 12 5 -

4、r2= 4, r = 2.3 .如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下 的几何体体积的比为.答案 1 ： 47解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a, b, c,它截出棱车B的体积 V1=g><t><2a>< 2bx2c1147=48abe,剩下的几何体的体积3abe-48abe= 48abc，所以V1 V2 = v什题组三易错自纠4 .体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.12 % B.32兀 C.8tt D.4tt 3答案 A解析由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线为 2炉即为球的直径，所以

5、球的表面积为4TR2=(2R)2h 12 5故选 A.5.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为3视图左视图答案163兀解析俯视图由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为ttX 22X22 - 16TtX 2X2=%.3题型分类深度剖析真题照题深度剖析 至点难点察维探究题型一求空间几何体的表面积 ,-自主演练1 .（2018全国I ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为。1, O2,过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A.12 V2Tt B.12 % C.8V2 兀 D.10ti答案 B解析 设圆柱的轴截面的边长为

6、x,则由x2=8,得x= 2也， 1' S圆柱表=2S底+S侧=2X ttX (V2)2+2tiX 42X242= 12 兀故选 B.2 .(2019抚顺*II拟)下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为主视图 左视图A.4 2+2 3+2B.4 .3+4C.2 .2 + 4 .3+2D.8 .2+ 4答案 A解析 该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥Bi-ACD,则其表面积为四个面面积之和S= 2 X 2X2X 2中 产2 X 2 X 2+乎X (272)2= 4/2+273+2.思维升华空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(2)多面体的表

7、面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.题型二求空间几何体的体积命题点1求以三视图为背景的几何体的体积例1 (2017全国n )如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A.90 % B.63tt C.42tt D.36 兀答案 B解析 方法一（割补法）由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示正视将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分1 OO 1圆枉的体积

8、加上上部分圆枉体积的2,所以该几何体的体积 V= TtX 32X4+ TtX 32X6X2=63兀.故选B.1一2方法一 （估值法）由题思知，2V圆柱V几何体V圆柱，又V圆柱=7tX 32X 10=90 71, -45兀几何体90兀观察选项可知只有 63兀符合.故选B.命题点2求简单几何体的体积 例2如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 品 D为BC的中点，则三棱车B AB1DC1的体积为（）A.3C.1答案 C解析如题图, 因为4ABC是正三角形，且D为BC中点，则 ADXBC.又因为BBi,平面ABC, AD?平面 ABC,故 BB/AD,且 BBMBC=B, BB

9、i, BC?平面 BCCiBi,所以AD,平面BCCiBi,所以AD是三棱锥A-B1DC1的高.1所以 k棱锥A B1DC1 = SABiDCi AD31=1x <3X V3=1.思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)直接利用公式进行求解 (2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 (3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图跟踪训练1 (1)(2018兰州模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍薨，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：”今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3丈，长4丈；上棱长2丈，高

10、1丈, 问它的体积是多少？”已知 1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出， 其中网格纸上小正方形 的边长为1丈，则该楔体的体积为()A.5 000立方尺C.6 000立方尺答案 AB.5 500立方尺D.6 500立方尺解析(分割法)该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF .A G B取AB的中点G, CD的中点H,连接FG, GH, HF,则该几何体的体积为四棱锥 FGBCH与1 一 .二棱柱ADEGHF的体积之和.又可以将二棱柱ADE GHF害怀卜成图为EF,底面积为S=万*3>< 13（平方丈）的一个直棱柱，故该楔体的体积 V=X 2+；X2X3X 1 = 5（立方丈）=5

11、000（立方尺）.（2）如图，直三棱柱 ABC AiBiCi的各条棱长均为2, D为棱BiCi上任意一点，则三棱锥一AiBC的体积是 ,答案等解析Vd-a,bc= Vba,bc=VA=lx Sa-BiBC 3 S/XBC3题型三 与球有关的切、接问题师生共研 例3 已知直三棱柱 ABCAB1cl的6个顶点都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,AB，AC,AAi = i2,则球O的半径为（）A.317 B.2 10 C.123 D.3 10答案 C解析 如图所示，由球心作平面 ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.p 151又 AM = 2BC=2, OM=2AAi=6,所以球O的半径R= OA

12、=(2 2+62= £3.引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少?解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R,内切球的半径为r.又正方体的棱长为 4,故其体对角线长为4/3,从而 V 外接球=g tR3= g tiX (2寸3)3 = 32福 Tt, 33V 内切球=(<3= TtX 23 = 3332 .本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S与其内切球的表面积&的比值为多少？解 正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为S1= 4

13、X -3 a2 = 3a2,其内切球半径r为正四面体高的1,即r=1等a=a,因此内切球表面积为S2=4<2= Ja,则已当”63.44 3126s2 jo_兀63 .本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3亚的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3成X显=6,高为 1(班2gx6：2=3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华“切” “接”问题的处理规律(1) “切”的处理首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心(2) “接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的

14、顶点的距离等于球的半径 跟踪训练2 (1)(2018全国出)设A, B, C, D是同一个半径为 4的球的球面上四点， ABC为等边三角形且其面积为9d3,则三棱锥D ABC体积的最大值为（）A.12 3 B.18 3 C.24 3 D.54 .3答案 B解析 由等边4ABC的面积为93,可得 手ab2=93, 所以AB = 6,所以等边4ABC的外接圆的半径为r=W3AB=2j3.设球的半径为 R,球心到等边4ABC的外接圆圆心的距离为 d,则d = yR2 r2=16 12=2.所以三棱锥D ABC高的最大值为2+4=6,1所以三棱锥D ABC体积的最大值为3X973X6=1873.（2）

15、（2019长春东北师大附中模拟）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为（）A.34 % B.25 % C.41 兀 D.50 兀答案 A解析 根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是4,3,3的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以有R=423232"2分，从而求得其表面积为S= 4 tiR2= 34 Tt,故选A.课时作业基础保分练1 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A.16 + 8乖C.48+8, 答案 CB.16 + 43D.48 + 4小解析 根据三视

16、图知，该几何体是底面为等边三角形，高为4的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示,结合图中数据，计算它的表面积是1S=2X -X 2mx 4 + 3X 4X 4 = 48+ 8v3.2 .（2018鞍山质检）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （）在视图B.2tt+ 8D.3 兀+ 4+ 4亚A.3tt+ 8C.2什4+4亚答案 D解析 由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个半球，球的半径为1,右边是个三棱柱，三棱柱底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为 2,组合体表面积由球表面积的一半，圆面积、棱柱的侧面积组成，其值为2X4X 12+ ttX 12+（2*+2）>&

17、lt;2=3兀+ 4+4>/2,故选D.3 .（2018锦州*II拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）1jlIILl 工H43H主视图 左视图K卿觇图A.18 B.24 C.32 D.36答案 B解析由三视图可知，几何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥，如图，三棱柱的高为5,削去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为的直角三角形，所以几何体的体积为1X3X4X51X1X 3X4X3=30 6=24.23 24 .算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十

18、六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积 V的近似公式V-：1l2h,它实际36上是将圆锥体积公式中的圆周率兀近似取3,那么，近似公式V"磊l2h相当于将圆锥体积公942式中的兀近似取（22A. 725 B.?157C. 50355D.113答案解析V=33,2h2兀仁12,125 ，口12 柒 h，由 127r 942,信兀="50,故选C.5 .（2018营口*II拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A噂 B.20 C.16 D.20 3399答案 B解析 由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面，高为 2的四棱

19、锥，其体积为Vi =2X 2X 2 = 1；右侧为一个直三棱柱，其底面如俯视图所示，高33为2,其体积为V2=1X2X 2X2 = 4,所以该几何体的体积为 V=Vi+V2=8+4 = 20,故选B. 2336 .如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r,则R =.答案里 3解析 由水面高度升高r,得圆柱体积增加了近2，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因“4 3-2 »R 2_此有4=tiR r.故=2-7 .一个六棱锥白体积为 2y3,其底面是边长为 2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的 侧面积为.答案 121解析

20、设六棱锥的图为h,则V = ；Sh,3所以2X 坐X 4X6h = 2J3,解得 h=1.34设六棱锥的斜高为 h',则 h2+ fV3）2=h' 2,故 h，=2. 1所以该六棱锥的侧面积为1X 2X2X6= 12.8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为答案2解析由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为X uX 12X2 = T3，球半径为1,体积为1x4兀x 13=忝 所以，该几何体的体积为4 33-.111 ,图为2 ,体积为-X -2 39.某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为 他视图左视图答案解析

21、如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1,四棱锥的高3为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2,下底为1,高为学，所以该组合体的体出 11积 V=1x2x（2 + 1）X_32、-1、/43V3X1 + 1、兀 X 1=上.10.（2017全国II ）长方体的长、宽、高分别为3,2,1 ,其顶点都在球 O的球面上，则球 O的表面积为解析.长方体的顶点都在球 。的球面上,长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径=14 兀.S= 4 兀R2 = 4 uX设球的半径为 R,则2R = q32+ 22+ 12 =714.球O的表面积为11 .（2019呼伦贝尔模拟）已知一几何

22、体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 幡觇图答案1解析 由三视图可得该几何体由左、右两部分组成，左边为 ；圆锥，右边为三棱锥 .该几何体的体积 V=1x1x TtX 12X1+1X1X1X2X1 = -7+14 33 212 3.12 .如图，在 ABC 中，AB=8, BC=10, AC = 6, DB，平面 ABC,且 AE/FC/BD, BD =3, FC=4, AE= 5.求此几何体的体积.解 方法一 如图，取CM=AN=BD,连接DM , MN, DN ,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥贝U V几何体=V三棱柱+ V四棱锥.1 一 一一一由题知二棱柱 ABCND

23、M的体积为 V1 = 2X8X6X3= 72.四棱锥D MNEF的体积为1、，V2=S 梯形 MNEF X DN311“ c、 - c c=-x-x (1 + 2)X 6X 8=24,3 2则几何体的体积为V= Vi+V2= 72 + 24= 96.方法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使 AA' =BB' =CC' =8,所以V几何11 一 一一， 1体=2V 三棱柱=2 * Sabc X AA = 2 X 24 X 8 = 96.Ar牙技能提升练13 .某几何体的三视图如图所示，依次为主视图、左视图和俯视图，则这个几何体的体积为()觇左一视图A.6tt+

24、4 B.8tt+ 8 C.6tt+ 2 D.8tt+ 43333答案 b解析 由三视图可知，该几何体是如图所示的组合体,该组合体由一个三棱锥与四分之三球体组成,其中棱锥的底面是等腰直角三角形，一侧面与底面垂直，球半径为2,所以可得该几何体的体积为 V = 3X 42cx 23+1X1X 4X 2X2= 8 兀+ 8,故选 B. 433 2314 .(2019湛江*II拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为俯觇图答案 4 , 3兀解析 如图所示，在长、宽、高分别为2#, #, 2的长方体中,点E, F分别为对应棱的中点，则三视图对应的几何体为三棱锥E-ABF ,将三棱锥补形为三棱柱 ABF AiBiE,则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球， 取AB, AiBi的中点G, H,易知外接球的球心为 GH的中点，据此可得外接球半径 R=,52+12 =小,外接球的体积丫 = 4卡3 = 443兀.3力拓展冲刺练15 .某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1,则该几何体的外接球的体