2018-2019学年上海市金山中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)

1、2018-2019学年上海市金山中学高二上学期12月月考数学试一、单选题1 .抛物线y2 4 ax的准线方程（）x 2aA. x aB. x aC. x 2aD【答案】B【解析】 根据抛物线的几何特征，对 a的正负值分类讨论，即可求解 .【详解】抛物线y2 4ax ,当a 0时，准线方程为x a,当a 0时，此时p 2a,准线方程为x p a,2所以抛物线y2 4ax的准线方程为x a.故选:B.【点睛】本题考查抛物线简单几何性质，属于基础题.第5页共16页2.已知 ABC中,uuv上的动点，则BQA AB2Cuv的最小值为（ACA.4B.2【解析】 如图，建立平面直角坐标系,1,点P是AB边

2、上的动点,C.A 0,0 ，B 1,0 , C 0,1，设点Q是AC边CP m n 2,故选：B【详解】请在此输入详解！I 2 土3. P是双曲线1的右支上一点，M、N分别是圆腹+ 5> + >二.4和&-5»4二1上的点，则|曲词二函|的最大值为d |)A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】可得双曲线3= i的焦点分别为F(-5, 0),F式5, 0),由已知可得当且仅当 P 与M、F三点共线以及P与N、此三点共线时所求的值最大，可得答案.【详解】解：易得双曲线 工.£=的焦点分别为F1(-5, 0), F(5, 0),且这两点刚好为两圆的

3、圆心，由题意可得，当且仅当p与M、pi三点共线以及p与N、p工三点共线时所求的值最大，此时=：小：T厂% D =6+3=9【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P与M、"三点共线以及P与N、p/三点共线时所求的值最大是解题的关键.224.已知椭圆C: 1的左右顶点分别为 A、B, F为椭圆C的右焦点，圆4322kPBx y4上有一个动点 P, P不同于A、B两点，直线PA与椭圆C交于点Q,则丁-kQF的取值范围是()A.C., 1 U 0,1【答案】D3B.， 00 -4D.,001【解析】椭圆焦点在x轴上，由P在圆x2 y2 4 ,则PAPB,有,设 Q(2cos,J3

4、sin ),求出LG ,SU，令 t 3'"4t 2 2t 2,分离3(1 t )常数，求解得出结论.【详解】2椭圆C：421的左右顶点分别为A( 2,0), B(2,0), 3右焦点F (1,0)，点p圆x2y24上且不同于A, B ,PA PB, kpB kpA 1, kpB1kPAkPBkQFkQF设 Q(2cos ,A/3sin ),"3 sin 3sin3(1 cos2 )kQF kPA22cos 2 2cos 1 4cos 2cos 2令t cos ( 1,1),2_2_kPB 4t2 2t 22 2(t2 1) t 14 21kQF3(1 t2)3t2

5、 13 3 t 1 kPB1 t 1, 2 t 10,I(,1)且不等于0.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题5 .双曲线I '的焦点坐标为.【答案】【解析】试题分析：双曲线 厂/一：中的曲:上 1,所以c =子所以焦点为.【考点】双曲线的焦点坐标.v6 .若直线x y 6 0的一个方向向量为d a, a 2，则实数a 【答案】1.【解析】求出直线的斜率，即可求解 .【详解】x y 6 0斜率为1,v直线一个方向向量为 d a, a 2 ,a 21,解得a 1

6、.故答案为：1.【点睛】本题考查直线方向向量与直线方程的关系，属于基础题11 27,已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则0 1 2x y 【答案】6【解析】根据关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵，写出方程组，求出方程组的解, 即可得到结论.【详解】解：由题意关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是11 2 ,0 1 2x y 2 x 4可得关于x、y的二元线性方程组，可得 ，y 2y 2故 x y 6,故答案为：6.【点睛】 本题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于基础题型8 .在平面直角坐标系中，若点2, t在直线x 2y 4 0的上方，则t的取值范围是.【答

7、案】t 1.【解析】 根据点与直线的位置关系，可得出关于t的不等式，即可求解.【详解】点 2, t在直线x 2y 4 0的上方,所以 2 2t 4 0,t 1 .故答案为：t 1 .【点睛】本题考查平面上点与直线的位置关系，属于基础题9 .行列式114中元素2的代数余子式的值是1 46【答案】2.【解析】 根据元素代数余子式定义，求出对应的行列式，即可求解【详解】行列式114中元素2的代数余子式为行列式:1 46112 1 46 42.故答案为：2.【点睛】本题考查行列式元素的代数余子式，属于基础题210 .抛物线y 4x上的两点A、B到焦点F的距离之和为5,则线段AB的中点的横坐标是2【解析

8、】根据焦半径公式，将两点 A、B到焦点F的距离之和，转化为横坐标关系，即 可求解.【详解】 2 抛物线y 4x焦点坐标F(1,0),准线方程为x 1,设 A(X1,y1),B(X2,y2),|AF| |BF | 2 2 5,x1 x2 3,线段AB的中点的横坐标是 x22 3.22【点睛】 本题考查抛物线焦半径长公式，注意定义在解题中的应用，属于基础题211 .在平面直角坐标系 xOy中，以直线y 2x为渐近线，且经过椭圆 x2 y- 1右4顶点的双曲线的方程是 .2第9页共16页【解析】 根据渐近线方程y 2x ,设双曲线方程为4x2 y2(0),将椭圆2x2 1右顶点(1,0)代入双曲线方

9、程，求解，即可.4【详解】由题意可知，设双曲线方程为 4x2 y2(0).2Q双曲线经过椭圆x2 1右顶点(1,0)424 1 0 4,则双曲线方程为4x2 y2 4,即x2 142故答案为：x2 L 14【点睛】本题考查求双曲线方程，属于中档题.uuu uuu12 .设A a,1、B 2, b、C 4,5为坐标平面上三点，O为坐标原点，若 OA与OB在OC方向上的投影相同，则实数 a与b满足的关系式为【答案】4a 5b 3 0.AB与OC垂直，即可求解uuu uuu uuur【解析】OA与OB在OC方向上的投影相同，可得出直线 【详解】uuu , uuu uur ,uuu uuuOA与OB在

10、OC万向上的投影相同，则 AB OC，uuur uuurAB OC (2 a,b 1) (4,5) 4a 5b 3 0,故答案为：4a 5b 3 0.【点睛】本题考查向量的坐标表示，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题 13 .设直线ax y 3 0与圆（x 1）2 （y 2）2 4相交于A,B两点，且弦 AB的长为2邪,贝U a =.【答案】0【解析】由已知可得圆心（1,2）到弦的距离为1,利用点到直线的距离公式可得a的值.【详解】解：由直线ax y 3 0与圆（x 1）2 （y 2）2 4相交于A,B两点，且弦AB的长为2 J3 ,可得圆心（1,2）到弦的距离为1,可得| a_2_31Ja2

11、11, a 0,故答案：0【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质及点到直线的距离公式，相对简单 14 .在直角坐标平面中，已知两定点F1（ 1,0）与F2（1,0）位于动直线 l : ax by c 0的同侧，设集合P 1 |点F1与点F2到直线l的距离之和等于2, 。二（工刈（关门）至八尸,则由Q中的所有点所组成的图形的面积是 .【答案】【解析】试题分析：因为F1F2的中点为坐标原点 O,由点F1与点F2到直线l的距离之 和等于2 ,可知坐标原点 O到直线l的距离为1 ,则直线l即为单位圆的切线， 这样所有 单位圆的切线就构成了集合 P,根据Q表示可知它是由单位圆内部的所有的点所组成 的集合

12、，面积即为单位圆的面积【考点】集合语言及直线与圆的知识 .一 x2 y2. . x2y215 .已知椭圆 1和双曲线 1,其中0< mv 12,右两者图像在第一16 m412 m象限的交点为 A,椭圆的左右焦点分别为 B、C, T为4ABC的外心，则 Av?Buv的值 为.【解析】由已知可得两曲线焦点相同，设B(c,0), c JT6F ,利用椭圆和双曲线的定义求出|AB|,用利用两点间的距离公式求出A点的横坐标，因为 O为BC中点,uuir ABC的外心T在y轴上，将 ATOT OA,代入所求式,即可求解22已知椭圆工y_16 m2 x1和双曲线42J 1,12 m焦距相等所以焦点相同

13、，设 B(c,0), C(c,0), c 16A为两曲线在第二象限的交点,|AB| | AC|,ABACABAC设 A(x0, y(o),4Xo2,2y。m 2m x0,16|AB| ,(x0 c)2 y216 m162Xo2cxox2 2cx。16 16(fxo4)2c 4x04 2,Xo8,因为O为BC中点, c ABC的外心T在y轴上,uurOTuurBCuiuv uuuvuuin uuu uuurAT ?BC (OT OA) BCuuu uuurOA BC8,y。) c(2c,0) 16本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算,考查计算求解能力，属于中档题.16 .设直线l

14、与抛物线y2 4x相交于A,B两点，与圆22.y r r 0相切于点M ,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是【答案】(2, 4)【解析】 设直线l的方程为x ty m, A x1, y1 , B x2, y2把直线l的方程代入抛物线方程 y2 4x,整理可得：y2 4ty 4m 0则 n16t216m 0,yi、24t ,y.y24m2xiX2tyi mty2m 4t2m2线段AB的中点M 2t2 m,2t由题意可得直线 AB与直线MC垂直，且C 5,0当 t 0时，有 KmcKab12t 01.即 f 011 ,整理得m 3 2t22t2 m 5 t把 m 3 2

15、t2代入到 n 16t2 16m 0可得3 t2 0,即0 t2 3由于圆心C到直线AB的距离等于半径5 m 2 2t22即 d 2.1 t2 r1 t2.1 t22 r 4,此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条当t 0时，这样的直线l恰有2条，即x 5 r ,0 r 5综上所述，若这样的直线 l恰有4条，则r的取值范围是 2,4点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题.设直线l的方程为x ty m, A x1，y1 ，B x2, V2 ,把直线l的方程代入抛物线方程 y2 4x,根据判别式求得线段 AB的中点M的坐标，分别讨论t 0时

16、，t 0时r的取值范围，即可得到答案三、解答题 2217.如果实数满足 x 2 y 3,求：,.、22 一 .(1) x y的最大值；(2) 2x y的最小值.【答案】(1) 7 4# ; (2) 4屈.【解析】(1)实数满足x 2 2 y2 3,即点(x,y)在圆上，x2 y2表示圆上的点与原点距离的平方，利用几何法求出原点到圆上点距离最大值，即可求解；(2)设2x y m,即y 2x m,直线过圆上的点且斜率为 2,利用直线圆的位置关系，即可求解.【详解】2(1)实数满足 x 2 y2 3的解为坐标的点为 M(x, y),则M在圆上，圆心 C( 2,0), r J3,22,.一.一、一一、

17、一.2x y表不圆上的点与原点距离的平方即为|OM |2,|OM |最大值为 |OC | J3 2 J3,所以x2 y2的最大值为7 4 J3 ；(2)设 2x y m,即 y 2x m,即直线2x y m 0与圆有公共点，圆心到直线的距离 d解得 415 m2x y的最小值为 4【点睛】本题考查方程与曲线的关系，以及直线与圆的位置关系， 考查点到直线距离公式的应用,解题的关键理解所求表达式的几何意义，考查计算求解能力，属于中档题 18.已知圆 C:+3:二2 .(1)求过点Q(3,0)的圆C的切线l的方程;(2)如图，定点A(1,0),M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满uuu

18、v uuv uuv uuuv足AM 2AP, NP AM 0,求点N的轨迹.【答案】(1) x j 3 = 0 , x + v 3 = 0 (2) _' + 2【解析】【详解】(1)由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为卜=Mx- 3),即匕一 y -3k=-Q ；I -k-3k I (-由 小三次得区必+8 =16必，解得k = ±l,出* +1从而所求的切线方程为 x-3 = 0 , x+>-3=。.(2) , - - - -NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM| .又- - .11 - .一，动点N的轨迹是以点C ( 1, 0), A (1, 0)为焦点的椭圆

19、.且椭圆长轴长为 工口 =工焦距2c=2 .二口 = 1点N的轨迹是方程为 +u： =1. 219 .设抛物线C： y 2 Px p>0的焦点为F,经过点F的动直线l交抛物线C于A x1，y1、B X2, y2 两点，且 yy24.(1)求抛物线C的方程；(2)若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF、MA、MB的斜率分别为 、kk2, 求证：当ko 1时，k1 k2为定值.【答案】(1) y2 4x； (2)匕k2 2.【解析】(1)设直线l方程为x my p,与抛物线方程联立，利用根与系数关系，即可求解；(2)根据条件求出 M点坐标，k1 k2用y1，y2表示，再利用根与系数关系，即

20、可证明结论.【详解】(1)抛物线 C： y2 2px p 0 的焦点 F(R,0), 2设直线l方程为x my ,2px my联立2 ,消去x得，y2 2pmy p2 0,y2 2px2,/2、 八八24p (1 m ) 0, yi y2 2 pm, yiy2p 4,p 2 ,所以抛物线方程为 y2 4x ；(2)抛物线准线方程为 x 2,设M( 1,y0),k0 -y- 1, y 2,1 1直线 l 方程为 x my 1, y1 y2 4m, y1 y2p24,%2y22y 2y? 2k1 k2y1x11x21my1 2my2 2y2my1 2my2 22(2 2)2) 4m m (my1

21、2)(my2 2)2(2 2)2 m(y1 y2) 4m m m y1y2 2m(y y2) 4_22 小 2、 4m 4一(2 一)22 m m 4m 8m 4所以k1k2为定值.【点睛】本题考查求抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的位置关系，要注意根与系数关系设而不求的应用，属于中档题.2220 .给定椭圆C:xy 4 1(a b 0).称圆心在原点 O,半径为Ja2 b2的圆是 a b椭圆C的 准圆若椭圆C的一个焦点为F (由,0),其短轴上的一个端点到F的距离 为小.求椭圆C的方程和其 准圆”方程；(2)点P是椭圆C的 推圆”上的一个动点，过动点P作直线11,12 ,使得11,

22、12与椭圆C都 只有一个交点，试判断112是否垂直？并说明理由.2【答案】（I）土 y2 1, x2 y2 4； （n）垂直. 3【解析】 试题分析：（1）由 辅圆C的一个焦点为F（J2，0）,其短轴上的一个端点到 F的距离为 后知：c厄a杂b 4OC 1VOF 2从而可得椭圆的标准方程和准圆”的方程；（2）分两种情况讨论：li2当中有一条直线斜率不存在；直线ll2斜率都存在.对于可直接求出直线11,12的方程并判断其是不互相垂直；对于设经过准圆上点P X0,y0 ,与椭圆只有一个公共点的直线为y t x X0y0y tx y° txo与椭圆方程联立组成方程组x29消去y得到关于x的

23、方程：T y 122213tx6t y0tx0x3y0 tx030由0化简整理得：3x2t22x0y0t1y20x2 y2 4 3x2t22%丫4x330而直线11,12的斜率正是方程的两个根 t1,t2,从而t1 t211112（1） Qc 、,2,a 、3, b 12椭圆方程为y2 1 3准圆方程为x2 y2 4（2）11,12当中有一条无斜率时，不妨设11无斜率，因为11与椭圆只有一个共公点，则其方程为x 邪当11方程为x J3时，此时11与准圆交于点 3,1-3, 1此时经过点 石1 （或 J3, 1）且与椭圆只有一个公共眯的直线是y 1（或y 1）即12为y 1 （或y 1）,显然直

24、线11,12垂直；同理可证11方程为xJ3时，直线:J也垂直.当li,l2都有斜率时，设点 P xo,y0 ,其中x2 y(2 4设经过点P xo,y0 ,与椭圆只有一个公共点的直线为y t x xoy0y txyo txo则由x22消去y,得万y 12221 3t x 6t y0 tx0 x 3 y0 tx03 0222由 0化简整理得：3x；t22%yot 1y2 0因为 x； y24,所以有3xot2 2x0y0tx3 30设ll2的斜率分别为tl2,因为ll2与椭圆只有一个公共点22_3一一所以ti,t2满足上述方程3 x0 t2x0y0tx030所以11t21 ,即l1,l2垂直，综

25、合知，l1，垂直.【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的综合问题.221.如图，直线l：y kx b与抛物线x 2py （常数p 0）相交于不同的两点A（x1， yj、B%, y2）,且x? x h （h为定值），线段AB的中点为D,与直线l: y kx b平行的切线的切点为 C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明 CD垂直于x轴；（2）求 ABC的面积，证明 ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC,再作与AC、BC平行的

26、切线，切点分别为 E、F ,小张马上写出了 ACE、 BCF的面积，由此小张 求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由.第19页共16页k2ch3【答案】(1) C(pk, ) , D( pk, pk b) , (2) ,(3)能.216p【解析】 试题分析：（1）因为D点为直线与抛物线的交点 A, B中点，所以求D点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由y kx b 2 2x 2 pkx 2 Pb 0,得 x1 x2 2pk , x1 x22 pb ,点x 2pyD（pk, pk2 b）.因为C点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别y kx m 22 2式为零进行求解，即由 2x 2pkx 2Pm 0彳导 4p k 8Pm 0 ,x 2py得C（pk,上k）.由于C、D的横坐标相同，CD垂直于x轴.（2