专题讲座五知能训练轻松闯关

1、1(2015郑州市质检)为了迎接 2015 年 3 月 29 日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”， 举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动 抽奖盒中装有六个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到的两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则继续抽取第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖活动开始后，一位参加者问：“盒中有几个印有郑开马拉松的小球？”主持人说： “我只知道第一次从盒中同时抽两球， 不都是美丽绿城行标志的概率是45.”(1)

2、求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数；(2)若用表示这位参加者抽取的次数，求的分布列及期望解：(1)设印有“美丽绿城行”的球有 n 个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件 A，则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是 P(A)C2nC26， 由对立事件的概率： P(A)1P(A)45，即 P(A)C2nC2615，解得 n3.故盒中印有“郑开马拉松”的小球有 3 个(2)由已知，两种球各三个，故的可能取值分别为 1，2，3，P(1)C23C2615，P(2)C23C26C23C24C13C13C26C22C2415，P(3)1P(1)P(2)35.则的分布列为：123P151535所以

3、 E()115215335125.2(2015东北四市联考) 在海岛 A 上有一座海拔 1 km 的山峰，山顶设有一个观察站 P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午 1100 时，测得此船在岛北偏东 15、俯角为 30的 B 处，到 1110 时，又测得该船在岛北偏西 45，俯角为 60的 C 处(1)求船的航行速度；(2)求船从 B 到 C 的行驶过程中与观察站 P 的最短距离解：(1)设船速为 x km/h，则 BCx6km.在 RtPAB 中，PBA 与俯角相等为 30，AB1tan 30 3.同理，在 RtPCA 中，AC1tan 6033.在ACB 中，CAB154560，由

4、余弦定理得BC（ 3）23322 333cos 60213，x62132 21(km/h)，船的航行速度为 2 21 km/h.(2)法一：作 ADBC 于点 D(图略)，当船行驶到点 D 时，AD 最小，从而 PD 最小此时，ADABACsin 60BC333322133147.P船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为25914km.法二：由(1)知在ACB 中，由正弦定理ACsin BBCsin 60，sin B33322132114.作 ADBC 于点 D(图略)，当船行驶到点 D 时，AD 最小，从而 PD 最小此时，ADABsin B 321143147.

5、P船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为25914km.3(2015福建福州模拟)某种商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万件(1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 x 元公司拟投入16(x2600)万元作为技改费用，投入 50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量 a至少应达到多少万件时， 才可能使明年的销售收入不低于

6、原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解：(1)设每件定价为 t 元，依题意，有(8t2510.2)t258，整理得 t265t1 0000，解得 25t40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元(2)依题意，x25 时，不等式 ax2585016(x2600)15x 有解，等价于 x25 时，a150 x16x15有解，150 x16x2150 x16x10(当且仅当 x30 时，等号成立)，a10.2.当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元4某台商到大陆一创业园投资 7

7、2 万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年投入各种经费12 万美元，以后每年增加 4 万美元，每年销售蔬菜收入 50 万美元，设 f(n)表示前 n 年的纯收入(f(n)前 n 年的总收入前 n 年的总支出投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：年平均利润最大时，以 48 万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以 16 万美元出售该厂问哪种方案较合算？解：由题意知，每年投入的经费是以 12 为首项，4 为公差的等差数列则 f(n)50n12nn（n1）24722n240n72.(1)获取纯利润就是要求 f(n)0，故由2n240n720，解得 2n18.又 nN*，故从第三年开始获利(2)平均利润为f（n）n402(n36n)16，当且仅当 n6 时取等号故此方案获利 61648144 万美元，此时 n