高中数学函数知识点

1、第二章函数1、函数的概念：(1)定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合 A中的任意一个数X ,在集合B中都有唯一确定的数f(X)和它对应，那么就称f : A 一 B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x), XCA.其中，X叫做自 变量，X的取值范围A叫做函数的定义域；与 X的值相对应的y值叫做函数值，函 数值的集合 f (X) | X A 叫做函数的值域.(2)函数的三要素： 定义域、值域、对应法则(3)相同函数的判断方法：表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)；定义域一致(两点必须同时具备)2、定义域：(1)定义域定义：函数f (x)的自变量

2、X的取值范围。(2)确定函数定义域的原则：使这个函数 有意义的实数的全体构成的集合(3)确定函数定义域的常见方法：若f(X)是整式，则定义域为全体实数若f(x)是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数例:求函数1 的定义域。11X若f(X)是偶次根式,则定义域为使被开方数不小于零的全体实数23x 3x 4的定义域。例2.求函数y2x2 1 x1 0的定义域。对数函数的真数必须大于零指数、对数式的底必须大于零且不等于1若f(x)为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定指数为零底不可以等于零，如 X0 1(x 0)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义(4)求抽象函

3、数(复合函数)的定义域已知函数f(x)的定义域为0,1求f(X2)的定义域已知函数f(2x 1)的定义域为0,1)求f(1 3x)的定义域3、值域：(1)值域的定义： 与X相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。(2)确定值域的原则： 先求定义域(3)常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数(正余弦、正切)(4)确定函数值域的常见方法:直接法：从自变量X的范围出发，推出 y f(x)的取值范围。例：求函数y & 1的值域。解： jx 0 ,jx 1 1 ,_ 2af (x) bf (x) c 的函数y7x1的值域为1,)。配方法：配

4、方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F(x)函数的值域问题，均可使用配方法。例：求函数y2-x 4x 2(X1,1)的值域。解：y4x 2 (x2)26,1,1. x 2 3,121 (x 2)2 9(x22)2 6 5,函数y2x 4x 2 ( x1,1)的值域为3,5分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。例:求函数1 x的值域。2x解:2x51 7(2x 5)-2 22x 5722x 5722x 5，函数y2x 5的值域为 y | y换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,域，形如 y ax b JCxd(a

5、、b、c、d均为常数，且a0)从而求得原函数的值的函数常用此法求解。例：求函数y 2xJ1 2x的值域。解：令 t ,1 2x(t ；)2；24,1 一 3 .5 一 .Ft 1,即x 3时，ymax 5,无最小值。2845函数y 2x J1 2x的值域为(，5。判别式法：把函数转化成关于 x4的二次方程F(x,y) 0;通过方程有实数根，判别式_2a1x b1x c10,从而求得原函数的值域,形如2a2x b2xc2 ( a1、a2不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解。例：求函数2x-2 x解：由y33变形得(y 1)x2(y 1)x y 3 0,1时,此方程无解;解得1 时，x R,(

6、y 1)24(y 1)(y 3) 0,，函数y值域为y|11 P一，又y31 1 y11的值域为 y |11练习：求函数y2x22 x例:已知f(3x 1)4x3,求f(x)的解析式.例:若 f(l) x，求 f (x).x 2 .的值域x 14、函数的表示方法(1)解析法、列表法、图象法(2)求函数解析式的常见方法:换元法例:2x 3,求 f (x).解方程组法1，一、一一一，例：设函数f(x)满足f(x)+2 f (_) = x (XW0),求f(x)函数解析式X一变：若f(x)是定义在 R上的函数，f (0) 1,并且对于任意实数x,y,总有f(x -) yf (x) y(2x y 1)

7、,求 f(x)。(令 x=0 , y=2x)待定系数法例：已知f(x)是一次函数，并且 ff(x) 4x解：设f(x) kx b,则ff(x) k2 则kkb bkf (x) b4广,解得32 k(kx b) b k x kbk 2 . k2或b 1 b3故所求一次函数解析式f (x) 2x 1或f (x)3 求 f(x)b 4x 32x 3配变量法一一，-121_例：已知f(x ) x ,求f(x)的解析式 x x例：若 f (、x 1) x 2. x ,求 f(x).特殊值代入法(取特殊值法)例：若 f(x y) f(x) f(y),且 f(1) 2,求值盘f(3)上 f(1)f(2)f(

8、3)f (2005)f(2004)例：设f(x)是R上的函数，且满足 f(0) 1并且对任意实数x,y有f (x y) f (x) y(2x y 1)求 f (x)的表达式解：设 x y 则 f(0)f (x) x(2x x 1) 12即 f(x) x x 1或设 x 0则 f( y)f(0) y( y 1) 1 y( y 1)f (x) 1 x(x 1) x2 x 1利用给定的特性(奇偶性周期性)求解析式例：对 x e r, f(x)满足 f(x) f (x 1),且当 x e 1,0时，f(x) x2 2x求当x e 9,10时f (x)的表达式.解析：f(x) f(x 1),则 f(x

9、1) f (x)则 f(x 1) f (x 1), f (x) f (x 2), T=25、分段函数(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。(2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集；分段函数是一个函数，而不是几个函数；写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。6、复合函数如果 y f(u),(u M),u g(x),(x A)则 y fg(x) F(x),(x A),称为 f、g 的复合函数。7、函数图象问题(1)熟悉各种基本初等函数的图象119如：y 0, y C(C 为吊数)，yx,y ,y yxxx(2)

10、图象变换平移：y f(x)向右平移a(a 0)个单位长度. y f(x a)y f(x)向上平移b(b 0)个单位长度y f(x) b对称：yf(x)关于x轴对称y - f (x)y f(x)关于y轴对称y f( x)yf(x)关于原点对称 v -f( x)翻折：y f (x) ,y f(x)注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法*课堂习题 *1 .求下列函数的定义域： yYx22x 15 y11Tx 3 3x 12 .设函数f (x)的定义域为0, 1,则函数f(x2)的定义域为3 .若函数f (x 1)的定义域为2, 3,则函数f(2x 1)的定义域是x 2(x1)

11、4 .函数 f(x) x2( 1 x 2)，若 f(x) 3,则*=2x(x 2)5 .求下列函数的值域： y x2 2x 3 (x R) y x2 2x 3 x 1,2 y x 1 2x(4) yx24x 5二.函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(1)增减函数和单调区间设函数y f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间 D内的任意两个 自变量Xi，X2,当 X2时，都有f(xj f(X2),那么就说f(x)在区间D上是增 函数.区间D一称为y f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1, x2当x1 x2时，都有 f(xi) f (x?),那么就说f (x)

12、在这个区间上是减函数.区间D.称为y f(x)的单调 减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；(2)图象的特点如果函数y f (x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函 数的图象从左到右是下降的.(3)函数单调区间与单调性的判定方法(重点)(A)定义法：Q 任取 xi,x2 C D,且 xix2;作差 f(xi) f(x2)；(3变形(通常是因式分解和配方)；(4定号(即判断差f() f (x2)的正负)；(5下结论(指出函数 f (x)在给定白区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)(

13、C)复合函数的单调性复合函数f g(x)的单调性与构成它的函数u g(x), y f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2.例：是否存在实数a使函数y f (x) loga(ax x)在闭区间2,4上是增函数如果 存在，说明a可取哪些值；如果不存在，说明理由。2解：当a >1时，为使函数y f (x) log a (axx)在闭区间2,4上是增函数2只需g(x) ax x在闭区间2,4上是增函数，故x 二2 /曰 1 上口2a得a ，又由a>1,得a>1g(2) 4a 2 02x

14、一 42ag(4) 16a 4综上，当a (1,当0<a<1时，为使函数y f (x) loga(ax2 x)在闭区间2,4上是增函数 只需g(x) ax2 x在闭区间2,4上是减函数，故02)时，f (x) log a (ax2 x)在闭区间2,4上是增函数(D)常用结论函数y f (x)与函数y f (x)的单调性相反；函数f (x)与f (x) c(c为常数)具有相同的单调性；当c 0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性，c 0时，它们具有相反的单调性；4，一,1若f (x) 0则函数f (x)与具有相反的单调性；f(x)公共区间，增函数+增函数=增函数、减函数+减函

15、数=减函数、增函数-减函数=增函数、减函数-增函数=减函数若f (x) 0, g(x) 0,且f(x)与g(x)都是增(或减)函数，则 f(x) g(x)也是 增(或减)函数；若f (x) 0, g(x) 0,且f(x)与g(x)都是增(或减)函数，则 f (x) g(x)也是 增(或减)函数；n n若f(x) 0,且在定义域上是增函数，则7'f(x)也是增函数，f (x)(n1)也是增函数。常见函数的单调性(一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数k八y x -(k 0) x(E)利用函数的单调性求函数的最值确定函数的定义域；将复合函数分解为基本的初等函数；分别判断其单调性；根据同增

16、异减判断2，、 ，一 一一，一例：求函数f(x) 在区间2,6上的最大值和最小值x 12.函数的奇偶性(整体性质)(1)函数奇偶性定义一般地，对于函数f (x)的定义域D内的任意一个x,都有 x D,且f( x) f (x)(或f( x) f(x),那么f(x)就叫做奇(或偶)函数.(2)图象的特征偶函数的图象关于 y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.(3)利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定f( x) ”刈与£(刈 f(x)是否成立；作出相应结论：若 f( x) f (x)或£( x) f(x) 0,则f(x)是偶函数；若 f

17、( x)f (x)或 f ( x) f(x) 0 ,则 f (x)是奇函数.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定；或由变式f( x) f (x) 0或U)1来判定；利用定理，或借助函数的图象判定.f(x)(4)函数奇偶性的重要结论具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；f (x)、g(x)是定义域分别为 Di,D2的奇函数，那么在 Di D2上，f(x) + g(x)是奇 函数，f (x) ?g(x)是偶函数。类似结论：奇奇=奇、奇X奇=偶、偶偶=偶、偶X偶=偶奇X偶=奇若f(x)是具有

18、奇偶性的单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同则 F(x) f(x) F(x) G(x)20fg(x)是偶函数f ( x)是偶函数，(反)的。若f(x)的定义域关于原点对称，G(x) f(x) f( x)是奇函数。(f(x)若f (x)既是奇函数又是偶函数，则 f (x) 复合函数的奇偶性：内层是偶函数，则 y(不用死记硬背)内层是奇函数，外层是奇函数，则 y fg(x)是奇函数外层是偶函数，则 yfg(x)是偶函数(5)函数奇偶性与单调性的关系奇函数在a.b上是增函数，在b, a上也是增函数;偶函数在a.b上是增函数，在b, a上是减函数。f(1) 0,例：函数y f (x)

19、(x 0)是奇函数，且当 x (0,)时是增函数，若1、r c求不等式fx(x -) 0的解集。一 , 一 八 一 ，1解：已知f 0不等式可化为fx(x -)f(1),1、 ,因为f(x)在x (0,)上递增，所以0 x(x -) 1/日 1117 ,117 八得一 x ,或 x 0244又由f(x)是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同,11且 f( 1)f(1) 0,得 fx(x :A f( 1),即有 x(x ：)1,无解。11V171<77综上，原不等式的解集是 x 1x 1,或1x 0244例：设奇函数f(x)在(0,)上为增函数，且f(1) 0,则不等式f(x)

20、 f( x) 0 x的解集为解：由f(x)是奇函数得f(x) f ( x),所以上(x一f-() 红区 0 xxf(x)f(x) 0 x 0 '由奇函数“*)在(0,)上为增函数，故由 f(1) 0知 f( 1) 0f(x) 0=.* f(x) f(1)/日 可化为得0x 0x 0f(x) 0r 心* f(x) f( 1)/日 可化为得x 0x 0解集为 1x00 x 1“*)在(1 ,同理x 0,0)上为增函数3.函数的周期性(1)周期函数的定义若函数f(x)对于定义域中任意x,存在不为零的常数T,使得f(x T)f (x)恒成立,则f (x)为周期函数，T为f (x)的周期(2)有

21、关周期性的一些结论若f (x)的周期为T ,则nT(n Z,n 0)也是f(x)的周期若周期函数的周期T是所有正周期中最小的，则 T为f (x)的最小正周期1右函数 f (x)满足 f(x a) f (x)(a 0), f(x a) (a 0),f(x).,1 ,f (x a) (a 0),则f(x)比以2a为周期，反之不成立。f(x)证明提示：令 x = x a ；令x x a ；令x x a。(3)函数的对称性满足条件f(x a) f (b x)的函数的图象关于直线 x ay。对称；若满足f(x a)f (b x)的函数的图象关于点a b( ,0)对称f (x)关于y轴的对称曲线方程为f

22、(x)关于x轴的对称曲线方程为f (x)关于y轴的对称曲线方程为点(x, y)关于y轴的对称点为 (x, y),函数y y f( x)点(x, y)关于x轴的对称点为 (x, y),函数y yf (x)(x,y)关于原点的对称点为 (x, y),函数y yf( x)函数y注意：f(x a bf (x a)与函数y f(b x)关于直线x 对称。a) f(b x),对称轴求法：x a x b x ； 2*y f (x a)与y f (b x)的对称轴求法：a x b x , x课堂习题 *1 .已知函数f(x 1) x2 4x,求函数f(x), f(2x 1)的解析式2 .已知函数 f(x)满足

23、 2f(R f( x) 3K 4,则 f(x) =,0)时 f(x) =3 .设f凶是R上的奇函数，且当x 0,)时，f(x) x(1我)，则当x (f(x)在R上的解析式为4 .求下列函数的单调区间： y x2 2x 3 y /"x22x 3 y5 .判断函数y x3 1的单调性并证明你的结论.6 .设函数f(x)判断它的奇偶性并且求证：1 x2x2 6 x 11f(-)xf(x) .三、一次函数(略)与二次函数(函数应用中有提及) 1、二次函数的定义及表达式(1)定义：函数y ax2 bx c(a 0)叫做二次函数，它的定义域是R(2)表达式：一般式、顶点式、两根式2、二次函数的图象与性质(1)图象：抛物线：开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、最大值最小值。3、二次函数在闭区间上的最值(分情况讨论对称轴与闭区间的位置关系)4、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式b2 4ac>0=0<0二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0)的根后两不等实根b <b2 4ac xi,x22a(x1 x2)后两相等实根bx xi x22a没有 实根九 二次 不等 式的 解集2,八ax bx c 0(a 0)