高三期末数学试卷文科

1、高三期末数学试卷（文科）、选择题1、已知i为虚数单位，右（1+i ） z=2i ,则复数z=（）A、1 - iB、1+iC、2-2iDk 2+2i2、已知集合 A=0, 1, 2, 3, 4, 5, B= 5, 6, C= （x, y） |x C A, y C A, x+yCB,则 C 中所含元素的个数为（）A 5B、6C、11Dk 123、若将函数f （x） =sin （2x+ 的图象向右平移 ？个单位长度，可以使 f （x）成为奇函数，则 ？的最小值为（）*6万I1TT_*A & c c54、若等差数列an的前n项和为3 ,且78+5$=70,则a2+a5=（）A、1B、2C、3D

2、k 45、已知平面向量 K= （2, 1） , 了= （1, - 1）,若向量 了满足（7?-1）/胃，（胃+ 石，则向量石=（）A、（2, 1）B、 （1,2）C、（3, 0）Dk （0, 3）6、执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16,则图中判断框内处应填（）B、3C、2D> 5x + 2y>07、设z=x+y,其中x, y满足，X一丁当z的最大值为6时，k的值为（）o<y<kA、3B、4C、5Dk 6x2,-x m , y 1, y2,y n8、已知样本x1, x2 ,xm的平均数为 工,样本y1, y 2 ,yn的平均数了，若样本x1的平均数 =- a1+

3、 ( 1 - a ) y,其中0 V a <，则m, n的大小关系为()A、mK nB、C、mfC nmn9、已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(iD.'IQ醺16T80T4OT40的 A & CH10、已知0为坐标原点，抛物线y2=8x,直线l经过抛物线的焦点 F,且与抛物线交于 A、B两点(点a在第一象限)，满足瓦5二4万声，则AOB的面积为(A、B、C、4本 T 乖 T 1m11、已知函数f(x)的最小值等于()二|lgx| , a> b>0, f (a) =f (b),则A、B、C、2+Dk12、已知函数f(x)jjV- I后再，若？

4、 a, b, cCR, f (a) , f (b) , f (c)为某一个三角形的边长,则实数m的取值范围是()A、不，1B、C、0112Dk2填空题13、已知双曲线C:也一系=1 (a>0, b>0)的两条渐近线均与圆(x - 2) 2+y2=1相切，则双曲线的离心率为14、已知三棱柱 ABG- A1B1C1的顶点都在球 。的表面上，且侧棱垂直于底面 ABG若AC=4, Z ABC=30 , AA=6,则球。的体积为 .15、已知函数f (x) =ax - lnx , g (x) =ex - ax,其中a为正实数，若f (x)在(1, +8)上无最小值，且 g (x)在(1, +

5、8)上是单调递增函数，则实数 a的取值范围为16、数列an的首项为ai=1,数列bn为等比数列，且 bn=,若bi0b11=201 5+,则a2尸三、解答题17、在4ABC中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且(2b - a) cosC=ccosA.(1)求角C的大小;(2)若 sinA+sinB=2、卜sinAsinB,c=3,求 ABC的面积.18、随着旅游观念的转变和旅游业的发展，国民在旅游休闲方面的投入不断增多，民众对旅游的需求也不断提高，安庆某社区居委会统计了 2011至2015年每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计资料如表:年份(x)20112012201320

6、142015家庭数(V)610162226(1)从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭至少有1年多于20个的概率；(2)利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程并判断它们之间是正相关还是负相关； 利用(2)中所求出的回归直线方程估计该社区2016年在春节期间外出旅游的家i庭数.用舞£(工厂立耳一用 Z工落r取参考公式：b=，= =r，卜=放+".工(同用率*19、如图，在四棱锥 P-ABCDK 底面 ABC函菱形，其中 PA=PD=AD=2 Z BAD=60，点 MF&线段PC上，且PM=2MC N为AD的中点.(1)求证：平面PADL平

7、面PNB(2)若平面PADL平面ABCD求三棱锥 P- NBM勺体积.120、已知椭圆C: 江+#=1(a> b>0)，e=豆，其中F是椭圆的右焦点，焦距为 2,直线l与椭圆C交于点A B,点A, B的中 点横坐标为且於=入行(其中入>1) .(1)求椭圆C的标准方程； (2)求实数入的值.21、已知函数 f (x) =lnx+x 2 - 2ax+1 (a 为常数)(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)若对任意的aC (1, )，都存在x°C (0, 1使得不等式f (x0) +lna >m (a - a2)成立，求实数 m的取值范围.22、已知 ABC中，

8、AB=AC D是ABC外接圆上 余,上的点(不与点 A、C重合)，延长 BD至F.(1)求证：AD延长线DF平分/ CDE(2)若/BAC=30 , AABC中BC边上的高为 2+ 汽,求 ABC外接圆的面积.一x = J3 cosa23、在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x - y+4=0,曲线C的参数方程1V (“为参数)(y =(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点。为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标 (班* 判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q为曲线C上的一个动点，求它到直线 l的距离的最小值.24、已知函数 f (x) =|x - 1|+|

9、x+a| ,鼠1)三,工+3 当a=-2时，求不等式f (x) vg (x)的解集；(2)若a> - 1,且当xC - a, 1时，不等式f (x) wg (x)有解，求实数a的取值范围.答案解析部分、b 选择题/b1、【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算21 Cl - 159491【解析】【解答】解：由(1+i ) z=2i ,得 工='二': '、二二 ,1+ii) 2故选：B.【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.2、【答案】C【考点】集合的表示法【解析】【解答】解：集合 A=0, 1, 2, 3, 4, 5, B= 5, 6,

10、x=0 时，y=5,x=1 时，y=4, 5,x=2 时，y=3, 4,x=3 时,y=2, 3,x=4 时，y=1, 2,x=5 时，y=0, 1,则C中所含元素的个数为：11个，故选：C.【分析】由集合 C中的元素所满足的条件，用列举法写出集合C中的所有元素，则答案可求.3、【答案】A【考点】函数y=Asin ( w x+()的图象变换【解析】【解答】解：将函数 f (x) =sin (2x+奇)的图象向右平移 ？个单位长度，所得函数的图象对应的解析式为y=sin2 (x-?) + J =sin ( 2x+-2?),根据 y=sin (2x+ - 2?)为奇函数，则 - 2?=k 兀，k

11、C Z,故？的最小值为专,故选：A.【分析】由条件利用 y=Asin (cox+e)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，得出结论.4、【答案】B【考点】 等差数列的通项公式【解析】【解答】解：设等差数列 an的公差为d, 7S5+5$=70, .7 I ' j+5 : ' ' )=70,化为：2a1+5d=2.则 a2+a5=2a1+5d=2.故选：B.【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式即可得出.5、【答案】D【考点】平面向量的坐标运算【解析】【解答】解：设 石=(x, y),fl - b= (2 - x, 1 - y),才 十 六(3, 0),(胃%

12、) H 己(胃+ C) 1 &,1 - y+2 - x=0, 3x=0, 解得 x=0 , y=3 .则向量石=(0, 3), 故选：D.【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出.6、【答案】B【考点】程序框图【解析】【解答】解：当判断框中的条件是aw3时，第一次循环结果为 b=2, a=2,第二次循环结果为 b=4, a=3,16满足已知条件,d第三次循环结果为 b=16, a=4不满足判断框中的条件，输出的结果是 故选B.【分析】结合判断框的流程，写出几次循环的结果，当判断框中的条件是3时，符和题意.7、【答案】A【考点】简单线性规划【解析】【解答】解：作出可行域如

13、图，直线x+y=6过x-y=0, y=k,的交点 A (k, k)时，z=x+y取最大，2k=6,，k=3,故答案为 3, 故选A.【分析】先根据条件画出可行域，观察可行域，当直线z=x+y过A点时取最大值，从而求出k值.8、【答案】C【考点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】解：由题意知，xi+x2+xm=myi+y2+yn=n y,故 "=石/+ TiS露，故 0VI，故 m<n,故选：C.【分析】易知xi+x2+ - +xm=m,yi+y2+ - +yn=n，从而可得= =能言入+，从而解得.9、【答案】B【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】解：由已知中的三视图

14、可得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体， 其直观图如下图所示：原三棱柱的体积 V= 4 X4X4X 4=32,切去的三棱锥的体积 V= gx ( g度,丈4,4) *4=号，故组合体的体积 V=32 -故选：B【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，进而可得答案.10、【答案】C【考点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解：抛物线 y2=8x的焦点为(2, 0),设直线l为x=my+2,代入抛物线方程可得 y2-8my- 16=0,设 A (xi , y 1) , B (x2 , y 2),贝U yi+y2=8m yiy2=- 16,由瓦5二4万声

15、，可得yi = - 3y2 ,由代入法，可得R=又 4AOB 的面积为 S= ；|OF|?|y i - y2|= | X2x 6中科? + 64 =故选Cm,再由三角形的面积公【分析】求出抛物线的焦点，设直线 l为x=my+2,代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得 式，计算即可得到.11、【答案】A【考点】对数函数图象与性质的综合应用【解析】【解答】解：.f ( x) =|lgx| , a>b> 0, f (a) =f (b),则 lga= - lgb，贝U a= '，即 ab=1 (a>b>0) b东* =+±岫=(a-b) a-b故的

16、最小值等于2故选A【分析】根据对数的运算性质，可得ab=1 (a>b>0),进而可将 左里二(a-b) +邑,进而根据基本不等式，可得答案.12、【考点】函数单调性的性质【解析】【解答】解：由题意可得，函数f(X)= 口=一+1f (a) +f (b) >f (c)对任意的 a、b、cCR 恒成立,d,廿 r-1=1+ a+1> 当m>l时，函数f (x)在R上是减函数，函数的值域为(1，m)；故 f (a) +f ( b) 当mx 1时，函数 故 f (a) +f ( b)> 2, f (c) v m, . m< 2 .f (x)在R上是增函数，函数

17、的值域为( m, 1);> 2m, f (c) < 1,由可得故选：D.【分析】由题意可得则 f (a) 性求出函数的值域，然后讨论 二、<b >填空题</b>+f (b) >f (c)对任意的a、b、cCR恒成立，将f (x)解析式用分离常数法变形，根据函数的单调m转化为 f (a) +f (b)的最小值与f (c)的最大值的不等式，进而求出实数m的取值范围.13、【答案】史【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线C:=1 (a>°b>0)的两条渐近线为y=± Jx,即为由渐近线与圆(bx± ay=

18、0,x-2) 2+y2=1相切，可得化为a2=3b由 c2=a2+b2=可得e= t =2, 0),半径为1,运用直线和圆相切的条件：d=r,化简整理可得 a2=3b2M 则/ AMC=2 ABC=60 ,故答案为：4【分析】求出双曲线的渐近线方程，求得圆的圆心为(运用a, b, c的关系和离心率公式，计算可得所求值.14、【答案】等江【考点】 球的体积和表面积【解析】【解答】解：设底面 ABC所在球截面的圆心为,. MB=MC.4AMC是等边三角形，MA=MC=AC=4. AA1=6, .-.OM=今旦=3, 球的半径 OC= sf +Rfd =5球的体积 v= 一 一= 二"故答

19、案为：【分析】根据圆的性质和球的对称性可求出底面所在圆的半径和球的半径.15、【答案】1 , e【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】解：f ( x) =ax- Inx , (x>0),f' (x)若 f (x) 则 f (x)-a-1- 3-1=a =上无最小值，单调，+8)上恒成立，+ 8)上恒成立,在(i, +°0)在(i, +°0). a>. x=1J,或aw 1,而函数y=最在(1, +oo)上单调减, 后,函数y取1得最大值1,1 a>l或a<0,而a为正实数，故a*，又g ( x) =ex

20、 ax, gz ( x) =ex- a,:函数g (x) =ex - ax在区间(1, +8)上单调递增，二.函数g' (x) =ex- a>0在区间(1, +°0)上恒成立，1. a< e x min在区间(1, +8)上成立.而 ex>e,aw e ；综合，aC1, e,故答案为：1 , e .【分析】求出f (x)的导数，问题转化为 f' (x) >0在(1, +8)上恒成立，分离参数，求出 a的最小值；求出g (x)的导数, 问题转化为a< e x min在区间(1, +8)上成立，求出 a的范围，取交集即可.16、【答案】201

21、6【考点】数列递推式【解析】b2=h 个b3 =【解答】解：由bn=,且ai=1,得bi=而二行31 打“L二a3=a2b2=bib2 .a4=a3b3=bib2b3 .an=bib2b n- ia 2i=bib2 b丁数列bn为等比数歹U,a21= (b 1 b20)(b2b13)- (b10b u ) = (b lcb n ) 10故答案为：2016.【分析】由已知结合 bn=,得到a2i=bib2b20三、<b >解答题</b>i7、【答案】(i)解：由于(2ba ) cosC=ccosA,即 2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA,即 2sinB

22、cosC=sin因为sinBw。，所以 cosC=,2因为0<CX Tt ,所以 C= 4(2)解：设 ABC外接圆的半径为由 sinA+sinB=2sinAsinB 得,由余弦定理得,将式代入得所以S(201 6l0 ) 10=2016结合 biobii=201由正弦定理得(A+。，可得:£3R由题意得2R=:_- =26古，及等比数列的性质求得 a2i .2sinB sinA ) cosC=sinCcosA , 2sinBcosC=sinB ,出，2R (a+b) =2 痛 ab,即 a+b=值 ab,a2+b2- ab=9,即(a+b) - 3ab - 9=0,2 (ab

23、) 2- 3ab - 9=0,解得 ab=3 或 ab=-(舍去)，1Rabc= - absinC=2【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：（ 2sinB - sinA） cosC=sinCcosA ,利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB ,由 sinBw。，解得 cosC=结合范围 OvCvtt,可求 C的值.形面积公式即可得解.由 sinA+sinB=2sinAsinB 得 a+b=ab,由余弦定理得（2）设 ABC外接圆的半径为 R由题意得2R=a+b） - 3ab-9=0,联立解得ab的值，利用三角18、【答案】（1）解：从这5

24、年中任意抽取2年，所有的事件有:(2011,2012),(2011,2013),(2011,2014),( 2011,2015),(2012,2013),(2012,2014).(2012,2015),(2013,2014),(2013,2015),(2014,2015)共10 种,外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的事件有(2011,2014),(2011,2015),(2012,2014),( 2012,2015),(2013,2014),(2013,2015),(2014,2015)共7 种；故概率为P=0.7 ;(2)解：由已知数据计算得=2013, 一二16,j» _-x

25、Xy - v)= ( 2) ( 10) + ( 1) ( 6) +1X6+2X 10=52,L-12(%-方=(-2) 2+ (- 1) 2+12+22=10, j-1N 8一 XKy-F）所以 2= -=布=5.2,方 10i-L£=16-5.2 X2013=- 10451.6 ,所以回归直线方程为 y=5.2x - 10451.6 ,因为合=5.2 >0,所以外出旅游的家庭数与年份之间是正相关；（3）解：2016年该社区在春节期间外出旅游的家庭数的估计值为y=5.2 X2016- 10451.632,答：估计社区2016年在春节期间外出旅游的家庭数为 32【考点】线性回归方

26、程【解析】【分析】（1）利用列举法求出基本事件数，再计算对应的概率值；（2）由题目中的公式计算 X、3'，求出回归系数 g、京 写出回归直线方程，由此判断是正相关还是负相关；（3）由回归方程计算 x=2016时y的值即可.19、【答案】（1）证明：PA=PD N为AD的中点，. PNLAQ,底面 ABC型菱形,/ BAD=60 , . PA=AB AN=AN / PANW BAN.PN率ABN/A 贝U BNLAQ ,. PNA BN=N，ADL平面 PNR又AD?平面PAD 平面 PADL平面 PNB(2)解：PA=PD=AD=2.1. PN=NB=招，,平面 PADL平面 ABCD

27、 平面 PACT 平面 ABCD=AD PNL AQ.PNL平面 ABCD，PNL BN''' S APNB= X -3 X =3 =；, . ADL平面 PNR AD/ BG BM平面 PNR22137''' PM = 2M,C ' V P- NBM=V/|- PNE= - Vc- PNE= - X X X 2=.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）由题意证明 PN率ABN/A得到 BNLA口再由线面垂直的判定证得ADL平面PNB最后由面面垂直的判定得答案；（2）由面面垂直的性质得到 PNL平面AB

28、CD进一步得到PN!BN再由等积法把三棱锥 P- NBM勺体积转化为棱锥 C- PNB的 体积求解.20、【答案】（1）解：由条件可知 c=1, a=2,故b2=a2- c2=3, 守 "JX" v*椭圆的标准方程是 + = 1.43（2）解：由 AB=ATB,可知 A, B, F 三点共线，设 A （X1 , y 1）, B（X2 , y 2）,若直线ABlx轴，则X1=X2=1 ,不合题意.当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为 y=k (x-1).y -汇(工- li工 工 ,消去 y 得(3+4k2) x2-8k2x+4k2- 12=0.+ = 1L 4 3由的判

29、别式 =64k4-4 (4k2+3) (4k2- 12) =144 (k2+1) > 0.X + X.=a1，4K +34k1 -12 产= 1F7T所以再+4二_=所以亡二。.我，+3 24将代入方程，得4x2- 2x- 11=0,44又因为工歹=(1 x1L 1-X.力二-,解得 吃一1，T)， FB=(x21, y2), XF = AFR，3+而【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由条件可知c=1, a=2,由此能求出椭圆的标准方程.(2)由工$=；7殖，可知A, B, F三点共线，设A (x1 ,y1),B (x2,y 2),直线ABlx轴，则x1=x2=1,不

30、合意题意.当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k (x- 1).由 * A-得(3+4k2) x2-8k2x+4k2-12=0,由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数入的值.21、【答案】(1)解：函数f (x)=lnx+x 2 - 2ax+1 ( a 为常数)f( x) = y+2x - 2a=x> 0,当a<0时，f' ( x) > 0成立，若 f' ( x) >0,则 2x2-2ax+10>0当一阳口三板时 所以当a £心时,f (x)在(0, +8)上单调递增, 当a邛时，2x2-2ax+10> 02x

31、2- 2ax+10v0，f (x)在(0,2空匠1)单调递减(史但乜)上单调递增, ae ( 1,f ' ( x) > 0, f ( x) max=f ( 1 )2, Y +2x - 2a> 0,f (x)在(0, 1单调递增,=2 2a,存在x°C (0, 1使得不等式f (x0) +lna >m (a-a2)成立, 即 2 - 2a+lna > m (a - a2),任意的aC (1, 巧)， a a v 0 ,即m>至十 恒成立,令g (a) =+爆，'登恒成立最后化简为g' (a)=(2 1)1111(2)(2a1)( l

32、iirj什 1)任意的aC (1,（2k1X匾l什1） -g ( a)='+占/aC ( 1, 后)是增函数.g (x) vg (必=实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）求解f' （x） = _L+2x-2a= Hm+1 支,X> 0成立，当- C仃C祖时，f ' （ x） >0恒成立，即可得出当a £业时，f （x）在（0, +8）上单调递增，当 （x）在（0,土在三），（史也三】）上单调递增，在（22存在xc （0, 1使得不等式f （x0） +lna >m （a-a2）成立，即,x>0,判断2x2-2ax+10的符号，分类得出当 a<0时，f ' （ x）a邛时，求解不等式 aa-22，22 - 2a+lna >m ( a - a2)2x2-2ax+10>0, 2x2- 2ax+10<0,得出 f)单调递减，(2) f (x) max=f (1) =2 - 2a, ,m> 看十粤恒成立，构造函数 g (a)=恭瞿,利用导数求解即可转化为最值即可判断.22、【答案】（1）证明：如图，A, B, C