高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)

1、v1.0可编辑可修改函数单调性的判定和证明方法9（一）、定义法步骤:取值，设x vx ,并是某个区间上任意二值;作差：W0;变形向有利于判断差值符号的.方向变形；,/Si）wo向有利于判断商的值是否大于i方向变形;（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是 多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是 分式函数 时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方,当原函数是 二次函数 时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数 时，作差后往往考虑分子有理化等）；定号，判断确定时，需进行分类讨论；下结论，根据函数单调性的定义下结论。作差法：例1.判断函数的正负符号，当

2、符号不在（一1, +8）上的单调性,并证明.解：设一1<Xl<X2,则 f(X 1) f(X 2)=1<Xl<X2 , Xi X2<0, Xl+1>0, X2+1>0.当 a>0 时，f（X 1）-f（X 2）<0, 即f（X 1）<f（X 2）, 函数y = f（X）在（一1, + 00）上单调递增.当 a<0 时，f（X 1）-f（X 2）>0 , 即 f（X 1）>f（X 2）, 函数y = f（X）在（一1, + 00）上单调递减.例2.证明函数在区间上是增函数；在证明：设上为减函数。（增两端，减中间）因为，

3、所以所以所以所以因为v1.0可编辑可修改f(-x)13所以所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f (x)定义在R上，对于任意实数 m n,恒有f (m+nj) =f (m) ? f (n) 且当 x>0时，0vf (x) v 1(1)求证：f (0) =1 且当 xv 0 时，f (x) > 1(2)求证：f (x)在R上是减函数.证明：(1) ,对于任意实数 m n,恒有f (m+n =f (mj) ? f (n),令 m=1, n=0,可得 f (1) =f (1) ? f (0),.当 x>0时，0vf (x) < 1, f (1)丰 0.f (0) =1.

4、令 m=x< 0, n=-x > 0,贝U f (m+rj) =f (0) =f (-x ) ? f (x) =1,1. f (-x) f (x) =1,又一-x。时，0vf (-x) <1, f(x)= I1>1.(1)设 x1vx2,则 x1-x2 < 0,根据(1)可知 f (x1-x2 ) > 1, f (x2) >0. f (x1) =f (x1-x2) +x2=f (x1-x2) ? f (x2) > f (x2),二.函数f (x)在R上单调递减.（二）、运算性质法.函数函数表式单调区间特殊函数图像一次 函 数y kx b(k 0)

5、当k 0时，y在R上是增函数；当k 0时，y在R上是减函数。LJ支r二次函数2yax bx c(a0,a,b,c R)当a 0时，x 旦时y单调减，2ax 应时y单调增；2a当a 0时，x-b时y单调增，2ax 时y单调减。2a二r r 廿反比例函数ky 一 x(k R且 k 0 )当k 0时，y在x 0时单调减，在 x 0时单调减；当k 0时，y在x 0时单调增，在x 0时单调增。J.* Fv1.0可编辑可修改指数函数xy a(a 0,a 1)当a 1时，y在R上是增函数；当0 a 1,时y在R上是减函数。yj,一 一一/对数函数y loga x(a 0,a 1)当a 1时，y在(0,)上是

6、增函数；当0 a 1时，y在(0,)上是减函数。一， *关于函数单调的性质可总结如下几个结论:f(x)与f(x) + C单调性相同。(C为常数)当k 0时，f(x)与kf(x)具有相同的单调性；当 k 0时，f (x)与kf (x)具有相反的单调性。1当f (x)恒不等于零时，f (x)与具有相反的单调性。f(x)当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数时，则 f(x) + g(x)在D上是增(减)函数。当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒大于0时，f (x) g(x)在D上是增(减)函数；当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒小于 0时，f (x) g(x)

7、在D上是减(增)函数。设y f (x), x D为严格增(减)函数，则f必有反函数f 1,且f 1在其定义域f (D) 上也是严格增(减)函数。1) 5的单调性。例 4.判断 f (x) x x3 log 2 x3 2x 1 (x2解：函数f(x)的定义域为(0,),由简单函数的单调性知在此定义域内3 ,3x, x ,log 2 x均为增函数，因为2x120, x17由性质可得2 1(x2 1)也是增函数;由单调函数的性质 知x x3 log 2 x为增函数，再由性质知函数f(x) x x3 log 2 x3 2x1(x2 1) +5在(0,)为单调递增函数。例5.设函数f(x) x-(a b

8、 0),判断f(x)在其定义域上的单调性。 x b解：函数f(x)二的定义域为(，b) ( b,).x b先判断“*)在(b,)内的单调性，由题可把f(x)匚a转化为f(x) 1，又a b 0故a b 0由性质可得 x bx b,为减函数；由性质 可得 s为减函数；x bx b再由性质可得f(x) 1 ab在(b,)内是减函数。x b同理可判断f(x)在(，b)内也是减函数。故函数f(x) 上在 x b(,b) ( b,)内是减函数。(三)、图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。的单例6.求函数调区间。解：在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为减区间为(四)、同增异减

9、法(复合函数法).定理1：若函数y f(u)在U内单调，u g(x)在X内单调，且集合u| u g(x),x X U(1)若yf(u)是增函数，ug(x)是增(减)函数，则yfg(x)是增(减)函数。(2)若yf(u)是减函数，ug(x)是增(减)函数，则yfg(x)是减(增)函数。v1.0可编辑可修改归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减(同增异减)复合函数单调性的四种情形可列表如下:第种情形第种情形第种情形第种情形内层函数u g(x)外层函数y f (u)复合函数y fg(x)显然对于大于2次的复合函数此法也成立。推论：若函数y f(x)是K(K>2), K N )个单调函数复合而成其

10、中有 m K个减函数:当m 2k 1时，则y f(x)是减函数；当m 2k时，则y f(x)是增函数。判断复合函数y fg(x)的单调性的一般步骤：合理地分解成两个基本初等函数y f (u), u g(x)；分别解出两个基本初等函数的定义域；分别确定单调区间；若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则y fg(x)为增函数，若为一增一减，则 y fg(x)为减函数(同增异减)；求出相应区间的交集，既是复合函数y fg(x)的单调区间。以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。例 7.求 f(x)

11、loga(3x2 5x 2) (a 0且 a 1)的单调区间。2解：由题可得函数f(x) loga(3x 5x 2)是由外函数y log a u和内函数21u 3x2 5x 2符合而成。由题知函数f(x)的定义域是(，2)(一,)。内函数_ 21u 3x2 5x 2在(-,)内为增函数，在(，2)内为减函数。 3若a 1,外函数y logau为增函数，由同增异减法则，故函数f(x)在(1)上3，是增函数；函数 f(x)在 ，2上是减函数。若0 a 1,外函数y log au为减函数，由同增异减法则，故函数f(x)在(-)上3，是减函数；函数 f(x)在 ，2上是增函数。例8.求函数的单调区间和

12、内层函数解原函数是由外层函数25复合而成的;是外层函的单调增区间;是内层函的一个单调减区间，于是便是原函数的一个单调区间;根据复合函数“同增异减”的复合原则知是原函数的单调减区间。例9.求函数的单调区间解原函数是由外层函数和内层函数复合而成的;的单调减区间;的 取 值 范 围 为不是内结合二次函数的图象可知v1.0可编辑可修改层函数的一个单调区间，但可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和27v1.0可编辑可修改是 其 单 调 减 区 间是其单调增区间;29于是根据复合函数“同增异减” 的复合原则知是原函数的单调增区间是原函数的单调减区间。同理，令可求得是原函数的单调增区间是原函数的单调减区

13、间。v1.0可编辑可修改和31综上可知，原函数的单调增区间是单 调 减 区 间 是v1.0可编辑可修改（五）、含参数函数的单调性问题例10.设（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.）37解：由题意得原函数的定义域为上为减函数;常采用的方法有:1)比较大小关系且当m 0时,的形式，然后比当上为增函数。(六)、抽象函数的单调性.抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题。定义法.通过作差(或者作商)，根据题目提出的信息进行变形，然后与0 (或者来判断其函数单调性。通常用凑差、添项、增量、放缩法求解。例11.已知函数f(x)对任意实数m、n均有f(

14、m n) f(m) f(n),f(m) 0,试讨论函数f(x)的单调性。此题多种方法解答如下：凑差法：根据单调函数的定义，设法从题目中“凑出” “ 屋力f(X2)较f(Xi) f(X2)与0的大小关系。解：由题得 f(m n) f(m) f(n),人 Xi m n,X2 m 日 x X2 n x X2 0又由题意当m 。时，f(m) 0f(Xl) f (x2) f0,所以函数f(x) 为增函数。添项法 ：采用加减添项或乘除添项，以达到判断“f(x2) f(Xl)”与0大小关系的目的。解：任取 x1,x2 R,x1 x2,则 x2 x10,f(X2) f (x1)f( x2 x1) xl f (

15、x1)由题意函数f (x)对任意实数m、n均有f(m n) f (m) f(n),且当m 0时，f (m) 0f (x2) f (x1) f (x2 x1) 0所以函数f (x) 为增函数。增量法：由单调性的定义出发， 任取x1，x2 R, x1 乂2设乂2 x1(0),然后联系题目提取的信息给出解答。解：任取X1,X2 R, x1 X2设X2 x1(0)由题意函数f (x)对任意实数m、n均有f (m n) f (m) f (n),f(x2) f(x1)f(x1) f(x1)f(),又由题当m 0时，f(m) 0f(x2) f(x1) f( ) 0(0),所以函数f(X)为增函数。例13.已

16、知函数f(x)的定义域为(0, +8),对任意正实数 m、n均有f (mn) f (m) f (n),且当m 1时0 f (m) 1 ,判断函数f(x)的单调性.此题用放缩法，先判断f(X1)与f(X2)的大小关系，从而得 f (X)在其定义域内的单调性。Xo斛：设0 X1x2，则 1XiX又当 m 1时 0 f(m) 1 ,故 0 f (-2) 1XI再由 f (mn) f (m) f (n)中令m 1, n 1得f 111当0 x 1时，1 1,由f f(X)f(')易知此时f(X) 1, XX故f(X) 0恒成立。因此 f(x2)f (*X1 )f GX2) f(x1) 1f (x1