《函数》综合测试题

1、一、选择题：本大题共有一项是符合题目要求的。函数综合测试题本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。全卷?茜分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只1、函数f（x）3x2lg（3x 1）的定义域是A. ( 1, 32、函数yx 1e (x1B. （,1）3R）的反函数是（C.(1D. (，)3A.C.1 ln x(x0) B. y 1In x(x0)ln x(x. y0)1 ln x(x 0)3、已知f（x）(3a1)x 4a,x 1,是(lOga x,x 1）上的减函数，那么a的取值范围是，一、1(A) (

2、0,1)4、在下列四个函数中，满足性质:（B）（0,1）3（D）7,1）“对于区间（1,2）上的任意Xi,X2（Xix2）,| f(x1)f(X2)| |X2 Xi|恒成立”的只有()一1，一一(A)f(x)(B)f x|x|x(C)f(x)2x(D)f(x)x25、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b) =(c,d)当且仅当a= c,b=d;运算" ” 为：(a,b) (c,d) (ac bd,bc ad),运算" ”为：(a,b) (c,d) (a c,b d),设p,q R ,若 (1,2) (p,q) (5,0)则(1,2) (p,q)A. (4

3、,0)B. (2,0) C.(0,2)D.(0, 4)2 xx26、设f(x) lg ，则f(一) f(一)的定义域为()2 x2xA. ( 4,0) U(0,4) B- ( 4, 1)U(1,4)C. ( 2, 1) (1,2) D. ( 4, 2) (2,4)，227、关于x的方程（x2 1）2存在实数存在实数存在实数存在实数k ,使得方程恰有 k ,使得方程恰有 k,使得方程恰有 k,使得方程恰有x2 1 k 0,给出下列四个命题:2个不同的实根；4个不同的实根；5个不同的实根；8个不同的实根；其中假命题的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2D. 38、设函数f (x) xax 1集合

4、Mx|f(x) 0, P x|f(x)0,若 MP,则实数a的取值范围是. (0,1). 1,)f（x）表示弧 AB与弦AB所围成的弓形面AB的长为x单位圆中9、如图所示,积的2倍，则函数y)10、与方程0）的曲线关于直线y x对称的曲线的方程为1(xf （x）的图像是2x xy e 2e(A) yln(1 . x)(B)y ln(1 . x)ln(1 . x)(C) y(D)12、设。是R上的一个运算，A是R的非空子集y ln(1 . x)(D)，若对任意a,b A有a® b A,则称A对运算C+封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（A）自然数集 （B）整数集 （C）有理数集（除

5、数不等于零）四则运算都封闭的是（）（D）无理数集第R卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。13、设 f(x)= log3 (x + 6)的反函数为11(x),若f-1(m) +61(n)+6= 27则 f (m+ n) =f (x)14、ax 4a 3的反函数的图象经过点(-1,2),那么 a的值等于xe ,xlnx.x0.则 g(g(3)0.2a, a b16、对 a,b R,记 max a,bb, a< b15、设 g(x)函数f x max x 1, x 2 x R的最小值是三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应

6、写出文字说明、证明过程或演算步骤17 .(本小题满分12分)若函数f (x)=耳的值域为1, 5,求实数a、c.x c18 .(本小题满分 12分)已知函数 f (x) =x2+2ax+2, xC 5, 5(1)当a=1时，求函数f (x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使 y=f (x)在区间5, 5上是单调函数.19 .(本小题满分12分)求函数y=x+3的单调区间.x20、(本小题满分12分)某租赁公司拥有汽车 100辆.当每辆车的月租金为 3000元时，可全 部租出.当每辆车的月租金每增加 50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要 维护费150元，未租出的车每

7、辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21.(本小题满分12分)设a为实数，记函数f(x) aV1 x2 jFx 47一x的最大值为g(a)。(i)设t =木x J1 x,求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数mt)(n)求 g( a)1(出)试求满足 g(a) g(-)的所有头数aax 222、(本小题满分 14分)已知函数 f (x) =ax+ (a>1).x 1(1)证明：函数f (x)在(一1, +8)上为增函数；(2)用反证法证明方程 f (x) =0没有负

8、数根.函数综合测试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1 x 01一，1、解：由一 x 1 ,故选B.3x 1 032、解：由y ex 1得:x 1 ln y,即x=-1+lny ,所以y 1 In x（x 0）为所求，故选Db3、解：依题意，有0 a 1且3a1 0,解得0 a 一，当k= 1时，万程（1）有两个不同的实根4即原方程恰有4个不同的实根 当k=0时，方程（1）的解为一1 , + 1 , J2 ,方程（2）的解为x=0,原方程恰有5个不同的实根 ,又当x 1时，（3a1） x3+ 4a 7a 1,当 x 1 时，log ax 0,所以 7a 1 0 解得 x 1 故选 C

9、74、解：|工一工尸|七二8尸x1 x2x1x2IxmI|xx21Xi, x2(1,2)x1x2 1x1x2| |x 1 - x2| 故选 A5、由（1,2）(p,q)(5,0)得P2p2q 5q 0所以(1,2)(p,q)(1,2) (1, 2)(2,0)，故选 B.6、解：f （x）的定义域是（一2, 2）4- c x故应有一 2 -2故选x212,2且一22 丘/口2解得 x1 或 1x422方程x21x2 1可化为22.,一(1)(2)(x 1k 0( x 1或 xk= 2时，方程（1）的解为73,方程（2）无解,原方程恰有2个不同的实根方程（2）有两个不同的实根-22当k= 2时，方

10、程(i)的解为萼，雪，方程(2)的解为/3，停，即原方程恰有8个不同的实根选Ax a8、设函数 f(x),集合 M x| f(x) 0,右 a>1 时，M= x| 1<x<a;右 a<1 时x 1(x 1) (x a)M= x| a<x<1 , a=1 时，M= ; P x | f (x) 0 , 1. f (x) =2> >0， '- a>1(x 1)时，P=R, a<1时，P=;已知MP,所以选C.9、如图所示，单位圆中AB的长为x, f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，当AB的长小于半圆时，函数 yf (x)

11、的值增加的越来越快，当 AB的长大于半圆时,函数y f(x)的值增加的越来越慢，所以函数y f(x)的图像是D.2x _ x_x 2：*_x10、解：ye2e1(x0) (e 1) y , , x0,e 1,即：ex1Jyxln(1Jy),所以 f 1(x) ln(1Tx),故选择答案A。11、解：函数 y=1+ax(0<a<1)的反函数为y loga(x 1),它的图象是函数 y logax向右移动1个单位得到，选 A12、解：A中12=1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中1 2=0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中亚收 2不是无理数，即无理数集不满

12、足条件，故选择答案 Co二、填空题(每小题4分，共16分)13、答案：2;解：1 (x) = 3x 6 故1 (m) + 6？1 (x) + 6= 3m?3n = 3m +n=27m+n=3 f (m+n) = log3 (3+6) = 214、答案：2;解：依题意，当x=2时，y=1,代入f(x) ax 4a 3中，得a= 215、答案：1;2111 叱 1斛：g(g(-) g(ln -) e -22216、答案：3;2-F .221 .斛：由 x1 x 2 x1 x 2 x-,故21x 2,其图象如右,1x 2一113川 fmin x f - 1 二。222三、解答题：本大题共6小题，共7

13、4分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解：由 y=f (x) =-ax-,得 x2yax+cy 1=0. x c当 y=0 时，ax= 1,，aw0.当 yw0 时，: xC R,A=a2-4y (cy-1) > 0. 4cy2 4y a2< 0. Ky<5,一1、5 是方程 4cy24y a2=0 的两根.1 .4, a 5, - c 21ac .5. 44c18 .解：(1)当 a=1 时，f (x) =x22x+2= (x 1) 2+1, xC 5, 51. x=1时，f (x)的最小值为1x=5时，f (x)的最大值为37(2)函数f (x) = (x+a

14、) 2+2 a2图象的对称轴为 x=a. f (x)在区间5, 5上是单调函数一 aw 5 或一 a> 5故a的取值范围是aw 5或a>5.19 .解：首先确定定义域：x|xW0, .在(一8, 0)和(0, +OO)两个区间上分别讨论11x xo任取 x1、x2C(0,+oo)且 x1x2,贝Uf (x2)- f(x。=x2+x1= (x2x1)+x2x1x1 x2（x2-xo（1L）,要确定此式的正负只要确定1L 的正负即可.x1 x2x1 x21这样，又需要判断 大于1,还是小于1.由于x1、x2的任意性， x1x2考虑到要将（0, +00）分为（0, 1）与（1, +8）（

15、这是本题的关键）（1）当刀、xzC （0, 1）时，1<0,1. f (x2)- f (x。< 0,为减函数(2)当 xi、X2C (1, +8)时，1 >0,X1x22. f(X2) f (Xi) >0,为增函数.同理可求(3)当Xi、X2C( 1, 0)时，为减函数；(4)当Xi、X2C(巴 1)时，为增函数.人一，、3600 300020、解：(1)当每辆车的月租金定为3600兀时，未租出的车辆数为： 50 =12,所以这时租出了 88辆车.(2)设每辆车的月租金定为 X元，则租赁公司的月收益为：f (x) = (100 X 3000)50X 3000_ ,口(X

16、 150)X 50,整理得：f(X)= 50Y+162X-21。=-1(X-4。5。)2+3。7。5。.5050(4050) =307050.即当每辆车的月租金定为 307050 元.1 X 1.t的取值范围是v,2,2 o1) t 1at2 t a, t v,2,2o2a, t J2,2的最大值，所以，当x=4050时，f(X)最大，其最大值为f4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为21.解：(I ) tJ1 X 木X,.要使t有意义，必须1 X 。且1 X 。，即 t22 2,1 X22,4,且 t 。1c1c由得：V1 X -t 1, m(t) a(-t 221 o(II )由题

17、息知g(a)即为函数 m(t) -at2 t2直线t(1)当 a山，1由ta(2)当 a(3)当 a1a1a1121是抛物线m(t) 1at2 t a的对称轴，可分以下几种情况进行讨论:a2。时，函数y m(t), t J2,2的图象是开口向上的抛物线的一段，。知 m(t)在 t <,2,2上单调递增，故 g(a) m(2) a 2；。时，m(t) t, t <12,2,有 g(a)=2；。时，函数y m(t), t J2,2的图象是开口向下的抛物线的一段，(0,五即 a 出时，g(a) m(<2) 72, 2,rz 21, ,11”2,2即a(,一时，g(a) m()a,2

18、2a2ar1,c(2,)即2 ( 一,0)时，g(a) m(2) a 2。2综上所述，有g(a)=1a 2a,(a2V(a(III )当 ag(a).2212a2(万，112a，g(a)0时,12a 12. ( a)(0 ,由 g(a)0时,要使g(a)此时，g(a)a1 a -ag(-)，a2必须有ag(-)。a1)拉，故当2a,1、, g(一)知：aa1或1a22时，g(a) V2 ；2,从而有g(a)一 1 一姓或 g(-) <2 ,、.2 aa.22，综上所述，满足g(a) g()的所有实数 a22、证明：(1)设一1VX1VX2a为:遮或a2f(X2) f(X1)ax2X2X2ax1X1X1ax2ax1X2 2x2 1X1X1-x1X2 x1a (a1)(X1 1)(X22)(X1 2)(X2 1)-x1X2 x1a (a1)(X2 1)(X11)3( X2 X1 )(X2 1)(X11)因为X2X1>0,又一.X2a>1,所以a 2X1>1,而一1VX1VX2,所以 X1+1 >0, X2+1 >0