09专题五特殊四边形的动态探究题(word版习题)

1、专题五 特殊四边形的动态探究题(2019、 2019、 2019.18、 2019、 2019.17； 2019.22； 2019.19； 2009.21)试题演练1 .如图，在4OAB中，OA=OB,以点。为圆心的。经过AB的中点C,直线 AO与。相交于点E、D, OB交。于点F, P是DF的中点，连接CE、CF、BP.(1)求证：AB是。的切线.(2)若 OA=4,则当DP长为 时，四边形OECF是菱形；当DP长为 时，四边形OCBP是正方形.第 1 题图2 .如图，AB是。O的直径，点P是。上不与A, B重合的一个动点，延长PA 到点C,使AC = AP,点D为。上一点，且满足 AD/P

2、B,射线CD交PB延 长线于点 E.(1)求证： PABAACD;(2)填空：若AB = 6,则四边形ABED的最大面积为;若射线CD与。的另一个交点为F,连接OF,则当/PAB的度数为 时，以O， A， D ， F 为顶点的四边形为菱形第 2 题图3.如图，已知？ABCD 中，AD = 8 cm, AB=10 cm, BD = 12 cm.点 P 从点 A 出发， 以1 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以相同的速度向点D运动.设 运动时间为 t.(1)连接 DP、BQ,求证：DP = BQ;填空：当t为 s时，四边形PBQD是矩形；当t为 s时，四边形PBQD是菱形.第3题图4

3、.如图，已知 ABC内接于。O, AB是直径，ODLBC于点D,延长DO交。于点F,连接OC, AF.(1)求证： CODABOD;填空：当/1=时，四边形OCAF是菱形；当/1=W, AB = 272OD.第4题图5 . (2019濮阳模拟)如图，在RtzXABC中，/ACB=90° ,以AC为直径的。与 斜边AB交于点D, E为BC边的中点，连接DE.(1)求证：DE是。的切线；填空：若/ B = 30° , AC = 2a/3,则 DE =;当/B =时，以O, D, E, C为顶点的四边形是正方形.第5题图6 .如图，AB为半圆。的直径，C为半圆上一动点，过点C作半

4、圆O的切线1, 过点B作BD，l,垂足为D, BD与。交于点E,连接OC、CE、AE, AE交 OC于点F.(1)求证： CDEAEFC;(2)若 AB = 4,连接 AC.当AC =时，四边形OBEC为菱形；当AC =时，四边形EDCF为正方形.第6题图7 .如图，在 ABD中，AB = AD,以AB为直径的。F交BD于点C,交AD于 点E, CGLAD于点G.(1)求证：GC是。F的切线；填空：若4BCF的面积为15,则ABDA的面积为;当/GCD的度数为时，四边形EFCD是菱形.第7题图8 .如图，在。S中，AB是直径，AC、BC是弦，D是。S外一点，且DC与。S 相切于点C,连接CS,

5、 DS, DB,其中DS交BC于点E,交。S于点F, F为弧 BC的中点.(1)求证： DCSADBS;若AB=10, AC = 6,点P是线段DS上的动点.连接PC、PB,当PD =时，四边形PCSB是菱形；当PD =时，APAC的周长最小.第8题图9 .如图，AB为。的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿 AC方向以1 cm/s的速度匀速运动，同时动点 Q从点C出发以相同的速度沿CA 方向匀速运动，当两点相遇时停止运动，过点 P作AB的垂线，分别交。于点3M和点N,已知。的半径为2 cm, AC=8 cm,设运动时间为t秒.(1)求证：NQ = MQ;填空：当t =时，四边形A

6、MQN为菱形；第 3 页当t =时，NQ与。相切.第9题图10 .如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一个动点，/ BAC的平分线交 圆弧于点D,半圆O在点D处的切线与直线AC交于点E.(1)求证：/XADEs/XABD；填空：若 ED : DB = >/3 : 2, WJ AE : AB=;连接OC、CD,当/BAC的度数为时，四边形BDCO是菱形.第10题图11 .如图，AB为。的直径，点D、E位于AB两侧的圆上，射线 DC切。于 点D.已知点E是圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE, DE与AB交于点P,再连接FP、FB,且/ AED = 45°

7、.(1)求证：CD/AB;填空：当/DAE =时，四边形ADFP是菱形；当/DAE =时，四边形BFDP是正方形.第11题图12 .如图，BC是。的直径，BP=BO,过点P作。的切线交。于点A,点 D为劣弧AC上一点，连接 OA, AC, AD, CD, AB.(1)求证： OAPABAC;填空：若BP = 3,则 APC的面积为;第12题图13 .如图， ABC中，AB = AC,以AB为直径的半圆。交BC于点D,交AC于 点 E.(1)求证：OBDzXOED;(2)填空：当/BAC =时，CA是半圆。的切线；当/BAC =时，四边形OBDE是菱形.第 13 题图14 .如图，AB是半圆。的

8、直径，射线 AMLAB,点P在AM上，连接OP交半 圆。于点D, PC切半圆。于点C,连接BC.(1)求证：BC/OP;(2)填空：若半圆O 的半径等于2，当AP =时，四边形OAPC是正方形；当AP =时，四边形BODC是菱形.第 14 题图15 .如图，在RtzXABC中，/ACB=90° ,过点C的直线m/AB, D为AB边上 的一点，过点D作DELBC,垂足为F,交直线m于点E,连接CD, BE.(1)求证：CE=AD;(2)填空：当 D 是 AB 的中点时，四边形BECD 是；当/A=时，四边形BECD是正方形.第 15 题图16 .如图，。的半径为4 cm,其内接正六边形

9、ABCDEF,点P, Q同时分别从 A、D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF、DC向终点F、C运动.连接PB、PE、 QB、QE,设运动时间为t(s).第 5 页(1)求证：四边形PEQB为平行四边形;(2)填空：当t =s时，四边形PEQB为菱形；当t =s时，四边形PEQB为矩形.第16题图J不试题演练1. (1)证明：在 ABO中，OA=OB, C是AB的中点， ,.OCXAB.0C为。0的半径，AB是。的切线；解： 3【解法提示】要使四边形 OECF为菱形，则OE=OF=CE=CF=OC, .OCE是等边三角形，a Z AOC = 60° ,又OCXAC,11/. 0C=

10、0A - cos60 =OA=X4 = 2,又. /BOD=180° -Z AOC-Z BOC = 60° , P 是科的中点， ./ DOP=/FOP = 30° ,30 7t 2 7t180 3【解法提示】要使四边形 OCBP为正方形，则/ BOC=/BOP = 45° ,又 / AOC=/ BOC, ./AOB= 90又. OA= OB, OCXAB,一 12. OC=2aB = OA=2 亚又二 P是乐的中点，DP=PF,丽勺长=也且=年兀 18022.(1)证明：如解图，连接 BD,.AB为。的直径, ./APB= /ADB=90°

11、,. AD/ PB, ./CAD = /APB=90° , ./ FAD=90° ,第2题解图 ./APB= / ADB=/ FAD=90° , 四边形ADBP是矩形, . AD=PB,在AFAB和AACD中，.FABAACD;(2)解: 18;11【解法提小】由(1)知，AD=PB, AD/PB, AC = AP, . AD = 2PE=5(PB+BE), FPB=EB, FAD = BE, FAD/PB, f 四边形 ADEB 是平行四边形，;AB是。的直径，其长度不变，直线 CD和。相切时，即点D到直径AB的距离等于半径时，四边形 ABED的面积最大，= A

12、B = 6,S四边形abed最大=AB1 XAB=18.300或60【解法提示】分两种情况考虑：当 班>PB时，如解图，连接PD,则PD为。O 的直径，: 四边形 ADFO 为菱形，.二 OA= AD = DF = FO = OD,.ADO 和1。 ODF 为等边二角形，./AOD = 60 ,OA=OP,PAB=2/AOD = 30 ;当PA<PB时，如解图，连接 PD, AF,则PD为。O的直径，:四边形 AODF为菱形，OA= AF= DF = FO = OD, .AOF 和ADOF 为等边三角形，/ AOD=120° , . ./AOP = 60° ,

13、OA=OP, . . AOP 为等边三角形， . / PAB = 60° .第2题解图第2题解图3.(1)证明：二四边形ABCD是平行四边形， . ./A=/C, AD=BC.又AP= CQ = t,在4APD和4CQB中，.APDACQB(SAS),DP=BQ;(2)解:1;边形PBQD是矩形，BP2=DP2,即 8212=【解法提示】如解图，要使四 DPXAB, . AD2 AP2=BD2 122-(10-t)2,解得 t=1.2.【解法提示】要使四边形PBQD为菱形，则BP=DP,如解图，过点D作DHLAB 于 H,连接 PQ,与 BD 相交于 O.由知 BH = 101 =

14、9, cos/ DBH=BH = BD非=3.在 RtBOP 中，cos/ PBO=OB, cos/ DBH = cos/ PBO=* 即3= 6, 12 4，PB44 10t解得t = 2.第3题解图4 .(1)证明：V ODXBC, OB=OC, ./ODC = /ODB = 90° , /OCD=/OBD,在 COD和 BOD中，.-.CODABOD;(2)解: 30° ;【解法提示】如解图，要使四边形 OCAF是菱形，则OF = AF = OA=AC=OC, 即 AOF和 OAC是等边三角形，. / 2= / 3 = 60 ,: AB是。的直径, ./ACB=90&

15、#176; , / 1=30° , 当/ 1 = 30°时，四边形OCAF是菱形.第4题解图45° .【解法提示】: AB= 2OB,2. .要使 AB=242OD,则 OD= OB, 在 RtODB 中，sin/1=OD =鲜， OB 2 / 1=45° ,.当/ 1=45° 时，AB = 2/OD.5 .(1)证明：如解图，连接OD.: AC是。O的直径， ./ADC = 90 ./ CDB = 90又 E为BC边的中点， DE为RtADCB斜边的中线，CL 1 DE= CE = /BC. ./ DCE = /CDE. OC=OD, ./

16、OCD = /ODC, ./ ODC+/CDE = / OCD+Z DCE = /ACB = 90° ./ODE = 90° .OD为。O的直径，.DE是。O的切线.第5题解图(2)解:3;2 .3BC【解法提示】/ B = 30° , AC = 2V3, / BCA= 90AC tan30 =” BC解得：BC = 6,w 1则 DE = BC=3.45° .【解法提示】二.四边形ODEC为正方形, ./DEC = /ACB=90° , DE = EC, 又= BE= DE,. DBE是等腰直角三角形, ./ B = 45° .6

17、.(1)证明：由题意可知，/ D = 90° ,.AB为半圆O的直径， ./AEB= 900 ,又二 l为半圆O的切线， ./DCO = 90° ,一四边形CFED为矩形， .CF=DE, EF=CD,又= CE = CE,.CDEAEFC(SSS);(2)解:2;1【解法提小】若四边形 OBEC是菱形，则OC=OB=BE=CE = 2AB,，/eab= 30° , . COA=/EBA=60° , OC = OA, . . AOC 为等边三角形，AB=4, .AC = 2.2 2.【解法提示】如解图，若四边形 EDCF为正方形，则O与F重合，B与E重合

18、， /AOC=90° , .OA=OC = 2, a AC = 2>/2.第6题解图7 . (1)证明：AB = AD, FB=FC, . B=/ D, / B=/ BCF.D=/BCF, . CF / AD.vCGXAD,CGXCF,又; FC为。F的半径,.GC是。F的切线；(2)解: 60;【解法提示】V CF/AD, .BCFs/XBDA, = 1, Sabcf ： &bda=1 ： 4,BA 2Sa bda = 4Sa bcf = 4 X 15= 60. 30° .【解法提示】二.四边形EFCD为菱形，EF/ BD, 点F为AB的中点,AB=AD,

19、. AE= AF,AF=EF, .AEF是等边三角形， ./AEF=60° , ./ D = 60° , ./GCD = 180° 90° 60° =30° .8.(1)证明：二点F是弧BC的中点，SF为。S的半径，.-.SF±bc,且e为bc的中点， . ds是bc的垂直平分线， . dc=db.在 DCS和 DBS中， .DCS0 DBS(SSS);(2)解:7; 3【解法提示】如解图，四边形 PCSB是菱形，. pe=se, be = ce, ps±bc. /AB 是。S的直径，. ACXBC, V AB=

20、10, AC = 6,在 RtABC 中，由勾股定理可得BC=8,BE=4, = BS=5, .在RtBES中，由勾股定理可得 ES=3, .PS= 6, .由（1）可得 DB 是。S 的切线，. BS，DB, . / SEB= / SBD= 90° , /BSE= /DSB, .EBSABDS, . fB=黄，即2=3, . SD=25, . PDSD SB sd 532577= SD PS=-6 = -, .当 PD=时，四边形 PCSB是菱形.333【解法提示】.口$是BC的垂直平分线，；PC=PB,.PAC的周长=AC+PA+ PC=6+ PA+PC = 6+PA+PB,当

21、P、A、B 三点共线时，PA+PB 最小，即点P与点S重合时， PAC的周长最小，即周长的最小值为 6+10=16,此时PD= SD,由知SD=25,当PD = 25时，zPAC的周长最小. 339. (1)证明：: AB是。的直径，ABXMN, . PM=PN,AB垂直平分MN,NQ=MQ;【解法提示】AP=t, CQ = t,则 PQ = 8 t 1=82t, AQMN, PM = PN,当AP=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=82t,解得t=8. 32.313【解法提小】如解图，作 OHLQN于H, OQ = AC AO CQ=82 1 = t,3OP=t2，当 ONQN 时，QN

22、为。的切线，./ NOQ=/PON, / OPN = /ONQ, .ONPszXOQN, . OP ： ON = ON ： OQ,即（t $ ： 3 = 3 ：蓝一t）, 整理得 t28t+12=0,解得 t1 = 2, t2=6（舍去）， ；t=2时，NQ与。O相切.第9题解图10. (1)证明：如解图，连接 OD,.AD是/BAC的平分线, ./ EAD=/ DAB, AO= OD, ./ OAD=/ODA, ./ EAD=/ ODA,OD/ AE,.DE是半圆O的切线，,.ODXDE, ./ E = 90° ,.AB是半圆O的直径， ./ADB=90° , ./EAD

23、=/DAB, /E=/ADB, .ADEs/XABD;第10题解图(2)解: 3 ： 4;【解法提示】由(1)得ADEs/XABD,.IDMAE, BD ADv ED : DB= V3 ： 2, . AE ： AD = * : 2, ./EAD=30° , ./DAB=30° , .AD : AB= 3 ： 2, . AE ： AB = 3 : 4.60【解法提示】如解图，连接 OC, CD, OD,当四边形BDCO是菱形时，OD = BD, .ODB 为等边三角形，./DOB=60° ,由(1)得，OD /AC, / BAC = 60° .第10题解图

24、11.(1)证明:如解图，连接 OD,射线DC切。O于点D, .ODXCD,即/ ODF = 90° , ./AED=45° , ./AOD = 2/AED=90° ,即/ ODF = /AOD,CD / AB;第11题解图(2)解: 67.5° ;【解法提示】:四边形ADFP是菱形，；AD = AP,二在RtAOD中，OA=OD, 180° 45°. ./DAO = 45 , ADP=/APD=2= 67.5 , 在4ADE 中，/DAE=180° / ADE / AED=180° 67.5° 45&#

25、176; = 67.5° . 90° .【解法提示】当四边形BFDP是正方形，由题意可知，DELAB时DE经过。O 的圆心，.二DE是。的直径，DAE=90° .12. (1)证明：: BC是。的直径, ./BAC=90° ,; PA为。O的切线， ./OAP= 90° , ./ OAP= / BAC,.在 RtOAP 中，BP=BO, 点B为PO的中点， . AB= PB=BO,. OA= OB, .OA= OB=AB, .ABO为等边三角形， ./AOP= /ABC=60° ,在AOAP和ABAC中， .OAP0 ABAC;解:邛

26、3;【解法提示】如解图，过点 A作AELBC于点E,. BP= 3, OB=OC, . PC=BP+OB+ OC=9.在 RtAAOE 中，/AOE= 60° , . AE= OA - sin/AOE = OA sin60 =3X 坐=.c 11 八 3 3 27 3 . Sapc=2PC AE=2X9X-2= 4 .第12题解图兀【解法提示】如解图，连接 OD；四边形AOCD为菱形，. AO=AD, OA=OD, .AOD 为等边三角形， ./ AOD = 60° , . . 1ad=笆色=兀 18013.(1)证明:如解图，连接 AD,第13题解图.AB是半圆O的直径，

27、ADXBC,又AB= AC,a Z BAD=/ CAD,BD=ED.BD=ED,在AOBD 和()£口中，.-.OBDAOED(SSS);(2)解： 90° ;【解法提示】当/ BAC=90° , = AB为。的直径,CA是半圆O的切线. 60° .【解法提示】二.四边形 OBDE为菱形，OB= BD,. OB=OD,.OBD是等边三角形，Z ABC=60° ,AB=AC,.ABC为等边三角形，ZBAC=60° .14.(1)证明：如解图，连接 OC, AC,. AB 是直径，AMXAB,BCXAC, AP是半圆的切线，PC切半圆O于点C,RA=PC,又 = OA= OC, .OP，AC, BC/ OP;第14题解图(2)解:2;【解法提示】若四边形 OAPC是正方形，则OA= AP,. OA= 2, . AP=