一线三等角典型例题

1、“一线三等角 ”模型在初中数学中的应用一、 “一线三等角 ”模型的提炼例1、（2015年山东德州卷）问题：如图1,在四边形 ABCD中，点 P为AB上一点，/DPC之A=/B=90.求证：AD BC=AP BP（2）探究：如图2,在四边形 ABCD中，点P为AB上一点，当/ DPC=ZA=/B=。时，上述结论是否依然成立？说明理 由.（3）应用：请利用（1）、（2）获得的经验解决问题：如图 3,在4ABD中，AB=6, AD=BD=5点P以每秒1个单位长度的速 度，由点A出发，沿边 AB向点B运动，且满足/DPC=Z A.设点P的运动时间为t （秒），当以D为圆心，以DC为半 径的圆与 AB

2、相切，求 t 的值 .变式 1 （ 2012 年烟台 ） （ 1） 问题探究如图6,分别以4ABC的边AC与边BC为边，向 ABC外作正方形 ACD1E1和正方形 BCD2EZ过点C作直线KH交直线 AB于点H,使/ AHK = / ACD1 .作D1M KH, D2N KH,垂足分别为点 M、N.试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明.（ 2） 拓展延伸1 如图7,若将 问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C作直线K1H1,K2H2,分别交直线 AB 于点 H1、H2,使 /AH1K1 = Z BH2K2 = ZACD1 ,作 D1M XK1H1, D2NXK2H2,垂足分别

3、为 点 M、 N D1M = D2N 是否仍成立?若成立，给出证明 ;若不成立，说明理由2 如图 8，若将 中的 “正三角形 ”改为 “正五边形 ”，其他条件不变 D1M = D2N 是否仍成立 ? （ 要求 : 在图 8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明 ）二、添加辅助线后运用基本图形例1、在4ABC中，AB =2, ZB = 45，。以点A为直角顶点作等腰R tADE,点D在BC上，点E在AC上，若CE=5求 CD 的长。例 2、 ( 2013 年海淀区一模 22 题最后一问 )如图， l1、 l2、 l3 是同一平面内的三条平行线， l1 、 l2 之间的距离是21/5 ，1

4、2、13之间的距离是21/10 ,等边 ABC的三个顶点分别在11、12、13上，求ABC的边长.例3、 如图，在矩形纸片 AB CD中，AB=5, BC=4,在AB边上取点G,现将纸片沿EG 翻折，使点A落在CD边上的点F处，当AE=3时，求BG 的长。三、应用举例1、等腰三角形底边上的一线三等角例1、如图5,在 三角形ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以 D为顶点作/MDN=/B.(1)如图5,当射线DN经过A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形ADE相似的三角形。(2)如图6,将/MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点，(E和A点不

5、重合)，不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。(3)在图6中，若AB=AC=1Q BC=12,当三角形 DEF的面积等于三角形面积的1/4时，求线段EF的长。例2、如图8,在RtNABC中，AB = AC =2, /A = 90,现取一块等腰直角三角板，将45角的顶点放在 BC中点O处，三角板的直角边与线段 AB、AC分别交于点 E、F,设BE =x, CF = y /BOE = ( 45 a . 90 )( 1) 试求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 ;(2)试判断/ BEO与/OEF的大小关系？并说明理由；(3)在三角板绕。点旋转的过程中，NOEF能否成为等腰三

6、角形？若能，求出对应x 的值 ; 若不能，请说明理由【例3】(2012四川 成都卷)如图， ABC和4DEF两个全等的等腰直角三角形， / BAC之EDF=90 , DEF的顶点E 与4ABC的斜边BC的中点重合.将 4DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段 DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线 CA 相交于点Q(1) 如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：4BP段4CQE(2) (2)如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPa4CEQ并求当BP=a， CQ=9a/2 时，P、 Q 两点间的距离(用含 a 的代数式表示)6、(东城一模24.)等边4ABC边长为6, P为BC边上

7、一点，/ MPN=60,且PM、PN分别于边 AB、AC交于点E、F.(1)如图1,当点P为BC的三等分点，且 PE AB时，判断4EPF的形状；(2)如图2,若点P在BC边上运动，且保持 PEAB,设BP=x,四边形AEPF面积的y,求y与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)如图3,若点P在BC边上运动，且 /MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.2、四边形中的一线三等角例1、如图，正方形 ABCD的边长为1cm, M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持 AM MN,设BM的长为x cm, CN的长为y cm.求点M在BC上的运动过程中y的最大值例2例3、如图

8、，在等腰梯形 ABCD中，AD/BC, BC = 4AD = 4 2, Z B = 45 ；点E、F分别在边 BC CD上移动，且 / AEF =45。，则点E移动过程中，线段 AF长的最小值是（ ）例 4 如图 ,在梯形中， ， ， ，点分别在线段上（点与点不重合） ，且，设，求与的函数表达式；当为何值时，有最大值，最大值是多少？例4、如图，在直角梯形ABCD中，AD/ BC,/ B=90,AB=8, ,CA=CDE、F分别是线段AD、AC上的动点（点 E与点 A、D 不重合），且 / FEC之 ACB,设 DE=x, CF=y.（1）求AC和AD的长；（ 2 ）求 y 与 x 的函数关系式；（3）当EFC为等腰三角形时，求 x的值.3、函数问题中的一线三等角例1、在直角坐标系中，点 A是抛物线y= x2在第二象限上的点，连结 OA,过点O作OB OA,交抛物线于点 B,以OA、OB为边构造矩形 AOBC.如图，当点A的横坐标为一1/2时，求点B的坐标.例 2 、如图，已知直线y = kx 与抛物线 y = 4/27 x2