计算机组织与结构第3章

1、第第3 3章章 组合逻辑电路组合逻辑电路任课教师：李静梅任课教师：李静梅主要内容主要内容 1.1.逻辑代数的基本定律及规则逻辑代数的基本定律及规则 2.2.逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 3.3.逻辑函数的卡诺图化简方法逻辑函数的卡诺图化简方法 4.4.组合逻辑电路组合逻辑电路 3.1 3.1 逻辑代数的基本定律及规则逻辑代数的基本定律及规则 与、或、非是逻辑代数中的三种基本运算，它们的优与、或、非是逻辑代数中的三种基本运算，它们的优先顺序是非、与、或。可借助它们推导出逻辑代数运算先顺序是非、与、或。可借助它们推导出逻辑代数运算的一些基本规律，再由基本定律可以得到逻辑代数中的的一些基本规

2、律，再由基本定律可以得到逻辑代数中的常用公式。无论定律还是常用公式都是分析和设计逻辑常用公式。无论定律还是常用公式都是分析和设计逻辑电路不可缺少的工具。电路不可缺少的工具。3.1.13.1.1逻辑函数间的相等逻辑函数间的相等 设存在两个函数设存在两个函数F1=F1=f1f1（A1A1，A2A2，AnAn）、）、F2=F2=f2f2（A1A1，A2A2，AnAn），如果对应于），如果对应于A1A1，A2A2，AnAn的任何一组取值（共有的任何一组取值（共有2 2n n组），组），F1F1、F2F2都有相同的都有相同的取值，则称取值，则称F1=F2F1=F2，即两个函数相等。，即两个函数相等。 或

3、者说：或者说：F1F1和和F2F2如有相同的真值表，则如有相同的真值表，则F1=F2F1=F2。 例例3-13-1： 证明：证明：F1=F2F1=F2 证：见表证：见表3.13.1 12F =AB+CF =AB+AC（）， 逻辑代数中的定律不仅与普通代数具有相似逻辑代数中的定律不仅与普通代数具有相似的规律，而且它们在逻辑函数的实际应用中具的规律，而且它们在逻辑函数的实际应用中具有化简复杂函数从而达到对电路进行优化设计有化简复杂函数从而达到对电路进行优化设计的最终目的。设的最终目的。设A A、B B、C C是逻辑变量，那么逻辑是逻辑变量，那么逻辑代数中的基本十个规律分别为：代数中的基本十个规律分

4、别为：3.1.23.1.2逻辑代数的基本规律逻辑代数的基本规律1.交换律交换律 AB=BA A+B=B+A AB=BA A+B=B+A2.2.结合律结合律 A(BC)=(AB)C A+(B+C)=(A+B)+C A(BC)=(AB)C A+(B+C)=(A+B)+C3.3.分配律分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C) A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)4.0-14.0-1律律1 A=A0 A=01+A=10+A=A5.5.互补律互补律6.6.吸收律吸收律7.7.重叠律重叠律8.8.反演律反演律9.9.包含律包含律10.10.对合律对合律 以上定律

5、都可以用真值表加以证明。以上定律都可以用真值表加以证明。3.1.33.1.3逻辑代数中的三个规则逻辑代数中的三个规则1 1代入规则：任何一个含有变量代入规则：任何一个含有变量X X的等式，如果将的等式，如果将所有出现所有出现X X的位置，都代之以同一个逻辑函数的位置，都代之以同一个逻辑函数F F，则，则此等式仍然成立。此等式仍然成立。A A=0A+A=1AA+B =AAA+B =AB（）（）A+AB=AA+AB =A+B）A A=AA+A=AAB=A+BA+B=AB(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)AB+AC+BC=AB+ACA=A例例3 32 2：已知等式：已知等式A(B+

6、C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC，证明将函数，证明将函数F=C+DF=C+D代入代入A A、B B、C C三个变量的任何一个，等式仍成三个变量的任何一个，等式仍成立。立。证：证：将将F F代入变量代入变量B B A(C+D)+C=A(C+D)+AC A(C+D)+C=A(C+D)+AC 代入规则代入规则 A A（C+D+CC+D+C）=AC+AD+AC =AC+AD+AC 分配律分配律 A(C+D)=AC+AD A(C+D)=AC+AD 重叠律重叠律 AC+AD= AC+AD=AC+ADAC+AD 分配律分配律 所以所以成立成立 将将F F代入变量代入变量C C AB+(C+D)=AB

7、+A(C+D) AB+(C+D)=AB+A(C+D) 带入规则带入规则 AB+A(C+D)=AB+AC+AD AB+A(C+D)=AB+AC+AD 分配律分配律 AB+AC+AD= AB+AC+AD=AB+AC+ADAB+AC+AD 分配律分配律 所以所以成立成立 问：若问：若X+Y=X+ZX+Y=X+Z问问Y=ZY=Z？为什么？为什么？ 答：不一定，例如答：不一定，例如A+0=A+ABA+0=A+AB问：问：XY=XZXY=XZ，问，问Y=ZY=Z吗？为什么？吗？为什么？答：不一定，因为答：不一定，因为 A A1=A(A+B) 1=A(A+B) 2 2反演规则：已知一逻辑函数反演规则：已知一

8、逻辑函数F F，当求，当求F F非时，只需非时，只需按下述操作：按下述操作：例例3 33 3：3 3对偶规则：对偶规则：XABCD+EF X AB C DE F 已知 （），证明： +( + )( + )X=AB+(CD+EF) =A+B+(CD+EF) =A+B(CD+EF) =A+B(CD) (EF) =A+B(C+D)(E+F) 证：反演律反演律对合律、反演律 反演律、对合律 =A+B(C+D)(E+F) 得证 对偶规则：若函数对偶规则：若函数F F和和G G相等，则他们的对偶相等，则他们的对偶式也相等。逻辑代数的十个基本定律也都是互为式也相等。逻辑代数的十个基本定律也都是互为对偶的。对

9、偶的。例例3 35 5：已知：已知求证：求证：证：证： 分配律分配律 =A+B(A+C) =A+B(A+C) 吸收律吸收律 =A+AC+B(A+C) =A+AC+B(A+C) 吸收律吸收律 =AA+AC+B(A+C) =AA+AC+B(A+C) 重叠律重叠律 =A(A+C)+B(A+C) =A(A+C)+B(A+C) 分配律分配律 =(A+B)(A+C) =(A+B)(A+C) 分配律分配律AB+ABC=AB+ACA+BA+B+C = A+BA+C（） （）=A A+B+C +B A+B+C（）（）(A+B)(A+B+C)4 4几种附加公式几种附加公式3.23.2逻辑函数的化简方法逻辑函数的化

10、简方法3.2.13.2.1“与或与或”式、式、“或与或与”式式 逻辑变量的逻辑逻辑变量的逻辑“与与”运算叫运算叫“与与”“”“或或”项，项，“与与”项的逻辑项的逻辑“或或”运算构成逻辑函数的运算构成逻辑函数的“与或与或”式，即式，即“积之和积之和”形式，通常用形式，通常用SPSP表记。表记。1,000,0111,01,01x xxxx xxxxxxxxx x f(x, x,y,z)=x f(1,0,y, ,z)x+f(x, x,y,z)=xf( ,y, ,z)f(x, x,y,z)x f(1,0,y, ,z) x f( ,y, ,z)f(x, x,y,z)xf( ,y, ,z) xf(1,0,

11、y, ,z) 逻辑变量的逻辑逻辑变量的逻辑“或或”运算叫运算叫“或或”“”“与与”项，项，“或或”项的逻辑项的逻辑“与与”运算构成逻辑函数的运算构成逻辑函数的“或与或与”式，即式，即“和和之积之积”形式，通常用形式，通常用PSPS表记。表记。 例如两个变量情况下：例如两个变量情况下：AB+BCAB+BC“与或与或”式式 （A+BA+B）（）（B+CB+C）“或与或与”式。式。 “ “与或与或”式和式和“或与或与”式是逻辑表达式中最基本的两式是逻辑表达式中最基本的两种形式，其它形式都可以转化成这两种，这两种也可以相种形式，其它形式都可以转化成这两种，这两种也可以相互转换。互转换。1( , , ,

12、)2( , , ,)()()()3( , , ,)()fA B C DABCDBDACDfA B C DA B CD BD A CDfA B C DABCBD A CD例如：是四变量的“与或”式，包括三个“与”项。是四变量的“或与”式，包括三个或项。即不是“与或”式，也不是“或与”式。3.2.23.2.2最小项与最大项最小项与最大项1 1最小项：对于最小项：对于n n个变量的函数来说，它的个变量的函数来说，它的“与与”项如果包含项如果包含n n个文字，即每个变量以原变量或反变个文字，即每个变量以原变量或反变量形式出现一次且仅出现一次，那么这个项就称量形式出现一次且仅出现一次，那么这个项就称逻辑

13、函数的最小项。逻辑函数的最小项。n0123A BAB,AB,AB,AB0n21mm m m mi例36：两个变量 ,反变量出现记为 个变量个最小项原变量出现记为通常用表示：234567A,B,C ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC 000 001 010011 100101 110 111m mmm mmmm01三变量：转换码， ， ， ， ， ， 规范的规范的“与或与或”式：如果函数的式：如果函数的“与或与或”式全由式全由最小项组成，则称之为规范的最小项组成，则称之为规范的“与或与或”式。反之式。反之叫不规范叫不规范“与或与或”式。式。 例如下边的例如下边的f(A

14、f(A，B B，C)C)就是规范的就是规范的“与或与或”式，式，而而g(Ag(A，B B，C)C)就不是规范的就不是规范的“与或与或”式。式。3i55455mnABC=mm ABCD=mm为了说明函数中所包含变量的数目，可给 加以上角标 ，例：最小项这样可以减少混淆2367( , ,)(2,3,6,7)( , ,)f A B CABCABCABCABCmmmmmg A B CABCABCBC表示累计的“逻辑或”运算2 2最大项：对于最大项：对于n n变量的逻辑函数来讲，它的变量的逻辑函数来讲，它的“或或”项如果包含项如果包含n n个文字，即每个变量以原变量或反变个文字，即每个变量以原变量或反变

15、量出现一次且仅出现一次，那么这个项就称为逻量出现一次且仅出现一次，那么这个项就称为逻辑函数的最大项。辑函数的最大项。 例：例：3 37 7同理：也给其加上变量的数目同理：也给其加上变量的数目n n作为上角标。作为上角标。例如：四变量的最大项例如：四变量的最大项 三变量的最大项三变量的最大项355A+B+C=M =M455A+B+C+D=M =Mn01231A,BA+B A+B A+B A+B 02M M M Mn反变量两个变量原变量个变量个最大项为了与最小项区别，采用大写字母 规范的规范的“或与或与”式：如果函数的式：如果函数的“或与或与”式全由式全由最大项组成，那么这个最大项组成，那么这个“

16、或与或与”式就叫规范的规式就叫规范的规范的范的“或与或与”式。式。 例如：例如：3 3最小项与最大项性质最小项与最大项性质 以实例加以说明。假设有以实例加以说明。假设有A A，B B，C C三个逻辑变量，三个逻辑变量，写出其最小项真值表。写出其最小项真值表。 表表3.3.2 2 三个变量的最小项真值表三个变量的最小项真值表观察真值表，可知最小项性质为（观察真值表，可知最小项性质为（1 1）至（）至（3 3）：）：（1 1）以列为单位看，任何一个最小项，只有一组变）以列为单位看，任何一个最小项，只有一组变量的取值为量的取值为1 1，其余均为，其余均为0 0，且不同的最小项，使，且不同的最小项，使

17、它为它为1 1的那组变量取值也不相同。的那组变量取值也不相同。（2 2）任何两个最小项的乘积恒为）任何两个最小项的乘积恒为0 0，即，即m mi im mj j 0 0（i ji j）i i，j 0j 0，1 1，2 2， 2 2n n-1-1。因为对于变。因为对于变量的任意一组取值，两个不同的最小项不可能同量的任意一组取值，两个不同的最小项不可能同时为时为1 1，因此乘积为，因此乘积为0 0。（3 3）n n个变量构成的全体最小项的和恒为个变量构成的全体最小项的和恒为1 1，即，即 该性质从真值表中可见，也可证明如下：该性质从真值表中可见，也可证明如下：n2 -1ii=0m1n2 -1i01

18、234567i=0m =m +m +m +m +m +m +m +m1ABCABCABCABCABCABCABCABCABABABABAA 通过观察表通过观察表3.3.3 3可知最大项性质为（可知最大项性质为（4 4）至（）至（6 6）：）： 表表3.3.3 3 三个变量的最大项真值表三个变量的最大项真值表（4 4）对任何一个最大项来说，只有一组变量的取值）对任何一个最大项来说，只有一组变量的取值使得它的值为使得它的值为0 0，其余为，其余为1 1，且不同的最大项，使，且不同的最大项，使其为其为0 0的那组变量取值各不相同。的那组变量取值各不相同。 在表在表3.3.3 3表格中，空白小格处均为

19、表格中，空白小格处均为1 1。（5 5）任何两个最大项的或恒为）任何两个最大项的或恒为“1 1”，即，即Mi+MjMi+Mj 1 1，（i i j j），），i.ji.j 0 0，1 1，22， 2 2n n-1 -1 。（6 6）n n个变量全体最大项的积恒为个变量全体最大项的积恒为0 0，即，即4 4最小项与最大项之间的关系最小项与最大项之间的关系以以n=3n=3为例说明如下：为例说明如下：n2 -1i=0Mi0iiiimMMm即互为反函数（也可以说是互补的）00112277m =ABC=ABC=Mm =ABC=ABC=Mm =ABC=A+B+C=Mm =ABC=A+B+C=M 同理：同理

20、：研究最小项与最大项的最终目的：它们是简研究最小项与最大项的最终目的：它们是简化逻辑函数的基础。化逻辑函数的基础。任何一个表达式，总可以表示成最小项之和的形任何一个表达式，总可以表示成最小项之和的形式。如果已是一般的式。如果已是一般的“与或与或”式，可借助：式，可借助：X=XX=X（Y+ Y+ ）将其展开成最小项之和。）将其展开成最小项之和。例例3-83-8：将函数：将函数F F展开成最小项之和。展开成最小项之和。00MABCABCm11MABCABCm77+MA BCABCmY 任何一个表达式，也总可以表示成最大项之积任何一个表达式，也总可以表示成最大项之积的形式。如果函数已是的形式。如果函

21、数已是“或与或与”式，可用公式式，可用公式A=(A+B)(A+ )A=(A+B)(A+ )将函数中的有关项展开成最大项。将函数中的有关项展开成最大项。例例3 39 9：将函数：将函数F F展开成最大项之积。展开成最大项之积。24673F=AC+BC+ABC =AB+B C+A+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=m +m +m +m=m 2 4 6 7（） （）（ ，）B一个逻辑函数展开成最小项之和或最大项之积一个逻辑函数展开成最小项之和或最大项之积都是唯一的。都是唯一的。最小项组成的规范的最小项组成的规范的“

22、与或与或”式式 最大项组最大项组成的规范的成的规范的“或与或与”式。式。例例3 31010：请说明为什么三变量的函数的：请说明为什么三变量的函数的反函数是反函数是460153A =A+0=A+BB=(A+B)(A+B)F=(A+C)(A+B+C)(B+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M M M M M(0,1,4,5,6)M 借助：3F=m 2 4 6 7（ ，）3F=m 0 1 3 5（ ， ，）330135333333(2,4,6,7)(0,1,3,5)()()()()(0,1,3,5)(2,4,6,7)(0,1,3,5)F=m (0,1,3

23、,5)(2,4,6,7)F=m (2,4,6,7)()(FFmmABCABCABCABCABCABCABCABCM M M MMFmMMFABCABCABCABCABCA 同理：上述 0135)()()()()BCABCABCABACABBCACBCABACABBCACBCABCABCABCABCABCABCABCABCABCmmmm3.2.3 3.2.3 代数化简方法代数化简方法判别标准：项数最少；判别标准：项数最少； 在项数最少的前提下，项内文字数最少。在项数最少的前提下，项内文字数最少。1.1.与或式的化简与或式的化简（1 1）并项法：）并项法：最简与或式最简形式最简或与式（2 2）吸收

24、律：利用）吸收律：利用A+AB=AA+AB=A，吸收掉一项，吸收掉一项ABAB（3 3）消去法：利用吸收律）消去法：利用吸收律 , ,消去与项消去与项中多余因子中多余因子例如：化简函数例如：化简函数 分配律分配律反演律反演律 吸收律吸收律（4 4）取消法：利用包含律）取消法：利用包含律 , , 消去消去与项与项BCBC。AABABABAFABACBCAB(AB)CABCABACBCABACF=AC+ABC+BC=AC+ACB+BC=AC+BC例如：化简函数交换律吸收律ABABC例如：化简函数例如：化简函数 分配律分配律 反演律反演律 交换律交换律 包含律包含律 反演律反演律 分配律分配律（5

25、5）配项法：利用互补律）配项法：利用互补律 ，给某个与项配项。给某个与项配项。 例如：化简函数例如：化简函数 互补率互补率 分配律分配律 分配律分配律 互补律，互补律，0-10-1律律 FABCADCDBDABC(AC)DBDABCACDBDACBACDBDACBACDABCADCDAA1FABBCBCABAB(CC)BC(AA)BCABABCABCBCABCABCABAC(BB)BC(A1)AB(C1)ACBCAB例例3 31111：化简函数：化简函数 分配律分配律 0-1 0-1律、反演律、分配律律、反演律、分配律 分配律、吸收律分配律、吸收律 吸收律、反演律吸收律、反演律 分配律分配律

26、分配律分配律 互补律互补律 0-1 0-1律律FACEABEBCDBCECDEAEACEAE(B 1)C(BDBEDE)ACEAEC BD(BD)E(ACA)EC(BDE)(CA)EC(BDE)CEAEBCDCE(CC)EAEBCDEAEBCDEBCD例例3 31212：化简函数：化简函数 分配律、反演律分配律、反演律 反演律、对合律反演律、对合律 互补律互补律 0-1 0-1律律例例3 31313：化简函数：化简函数 方法方法1 1： 吸收律吸收律 吸收律吸收律 分配律分配律 吸收律吸收律FABCABDBE(DEAD)BB(ACADE)DEADBB(ACADE)DEADB1 (ACADE)D

27、EAD 1FA(AB)(AD)(BD)(ACEH)A(AD)(BD)AD(BD)ABDADAD方法方法2 2 对偶函数对偶函数 分配律分配律 0-10-1律律 吸收律吸收律 吸收律吸收律由上述可知：由上述可知： 结论：上述化简方法需求熟记各项定律，且结论：上述化简方法需求熟记各项定律，且还要进行大量练习才能做到熟能生巧、应用自如还要进行大量练习才能做到熟能生巧、应用自如。又由于在化简过程中往往没有明确目标，经常。又由于在化简过程中往往没有明确目标，经常无法断定最后结果是否是最简的，所以存在一定无法断定最后结果是否是最简的，所以存在一定的局限性。尽管如此，但它却是逻辑代数常用化的局限性。尽管如此

28、，但它却是逻辑代数常用化简法方法的基础。简法方法的基础。FA(AB)(AD)(BD)(ACEH)FAABADBDACEHA(1BCEH)ADBDAADBDADBDADF(F)AD3.3 3.3 逻辑函数的卡诺图化简方法逻辑函数的卡诺图化简方法3.3.13.3.1卡诺图卡诺图 卡诺图是按卡诺图是按一定规律一定规律构成的平面图，在构成的平面图，在2626个变量个变量的逻辑函数的证明、化简中提供便利手段。的逻辑函数的证明、化简中提供便利手段。相邻原则：相邻原则：在几何上邻接的小方格所代表的最小在几何上邻接的小方格所代表的最小项，任何相邻的二个最小项之间只有一个变量互有反项，任何相邻的二个最小项之间只

29、有一个变量互有反变量，其他变量均相同。变量，其他变量均相同。设设A A、B B、C C、D D、E E、F F分别代表不同的逻辑变量，分别代表不同的逻辑变量，n n代表逻辑变量的个数。代表逻辑变量的个数。 有时为了简化书写，在卡诺的每个小方格里有时为了简化书写，在卡诺的每个小方格里只标记具体的数字序号，如只标记具体的数字序号，如n n5 5的卡诺图：的卡诺图： 在在n n5 5的卡诺图中，除了左右相邻、上下相邻的卡诺图中，除了左右相邻、上下相邻，还有对称相邻，如：，还有对称相邻，如：3 37 7、1 15 5 11111515、9 913 13 27273131、252529 29 19192

30、323、171721 21 它们两两之间都是对称相邻的。它们两两之间都是对称相邻的。2 2的邻接项有哪些？的邻接项有哪些？而而2929的邻接项有？的邻接项有？ 下面是下面是n n等于等于6 6的卡诺图，由于的卡诺图，由于n=6n=6，所以该卡诺，所以该卡诺图共有图共有26=6426=64个最小项。个最小项。3 3、1010、1818、0 0、6 63131、2121、2828、1313、2525卡诺图的最大特征：卡诺图的最大特征：n n个变量的任意最小项，均存在个变量的任意最小项，均存在n n个个最小项与其逻辑相邻。最小项与其逻辑相邻。例如例如n=6n=6时，做为最小项时，做为最小项m m59

31、59，它应该有，它应该有6 6个邻接项。它个邻接项。它们们分别是：分别是：左：左：m m5757 上：上：m m5151 右：右：m m5858 下：下：m m43 43 上下对称：上下对称：m m2727 左右对称：左右对称：m m6363 3.3.23.3.2卡诺图的化简卡诺图的化简前面提到过逻辑函数的代数化简方法不够直观，所前面提到过逻辑函数的代数化简方法不够直观，所以常用的化简方法是卡诺图化简法。以常用的化简方法是卡诺图化简法。1.1.逻辑函数的卡诺图表示方法逻辑函数的卡诺图表示方法ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF1 1）逻辑函数的最小项表达式）

32、逻辑函数的最小项表达式可以通过下述步骤将任一逻辑函数表达式转可以通过下述步骤将任一逻辑函数表达式转换为最小项表达式。换为最小项表达式。 利用反演律去除反变量之外的利用反演律去除反变量之外的“非非”号。号。 利用分配律去除所有括号，直到得到利用分配律去除所有括号，直到得到“与或与或”表达式。表达式。 对于缺少的某些变量的与项，用此所缺变量的对于缺少的某些变量的与项，用此所缺变量的原变量加反变量去乘这个项，再用分配律展开，原变量加反变量去乘这个项，再用分配律展开，一定能得到最小项的与或式一定能得到最小项的与或式。例例3 31414：将：将 转换成最小项表达式转换成最小项表达式 反演律反演律反演律、

33、对合律反演律、对合律 反演律、对合律反演律、对合律分配律、互补律分配律、互补律分配律分配律 所以任何一个逻辑函数表达式函数都可以展开成唯一所以任何一个逻辑函数表达式函数都可以展开成唯一的最小项表达式。的最小项表达式。2 2）用卡诺图表示逻辑函数）用卡诺图表示逻辑函数(ABABC)ABL( ABC ) =ABABCAB(AB)(AB)CABABCABCAB(CC)ABCABCABCABC3576mmmm3(3,5,6.7)m ABAB CAB将含有将含有n n个变量的逻辑函数表达式表示成最小项个变量的逻辑函数表达式表示成最小项之和后，将各最小项填充到之和后，将各最小项填充到n n变量的卡诺图中。

34、卡诺变量的卡诺图中。卡诺图的填写方式为：对应存在最小项的小方格为图的填写方式为：对应存在最小项的小方格为1 1，反，反之为之为0 0。例。例3 31414中的逻辑变量数量为中的逻辑变量数量为n=3n=3，所产生的，所产生的卡诺图如下图所示。卡诺图如下图所示。2.2.用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数1 1）卡诺图化简的依据）卡诺图化简的依据因为相邻项只有一个逻辑变量不同，所以利用因为相邻项只有一个逻辑变量不同，所以利用 可以将两项合并成一项，从而消去一项。可以将两项合并成一项，从而消去一项。ABABA如何做到这一点，且做得比较到位？如何做到这一点，且做得比较到位？（1 1）两个几何上相邻

35、的）两个几何上相邻的“1 1”方块，可以合并，从而方块，可以合并，从而消去一个互反的变量。如下图左所示消去一个互反的变量。如下图左所示。左图中左图中，右图中右图中，0 1 0 1 0 0 0 1 1 111ABC1137mmABCABCBC46mmABCABCAC15mmABCDABCDACD02mmABCDABCDABD08mmABCDABCDBCD（2 2）4 4个相邻的个相邻的“1 1”方块构成正方形或长方形时可方块构成正方形或长方形时可合并，从而消除两个互反的量。如下图所示。合并，从而消除两个互反的量。如下图所示。上图中，上图中，1315911mmmmABCDABCDABCDABCDA

36、BDABDAD4567mmmmAB02810mmmmBD实质上粗的黑线也是正方形，但因为在这个正方形实质上粗的黑线也是正方形，但因为在这个正方形里没有新成份，即均已被其它包围圈盖过，所以是无效里没有新成份，即均已被其它包围圈盖过，所以是无效的包围圈。的包围圈。（3 3）8 8个相邻的个相邻的1 1，可以消去三个互反变量，如下图所示，可以消去三个互反变量，如下图所示在上图中在上图中 ，即消去了，即消去了8 8个相邻方块中变量取值即出现个相邻方块中变量取值即出现0 0又出现又出现1 1的三个变量的三个变量A A、B B和和D D。0145121389mmmmmmmmC 同理：同理：（4 4）161

37、6个相邻的个相邻的1 1方格构成正方形或长方形，可合并成一方格构成正方形或长方形，可合并成一项，消去项，消去4 4个互反的变量。个互反的变量。 如果如果n=4n=4，则，则1616个相邻的个相邻的1 1方块构成结果恒为方块构成结果恒为1 1，即，即 综上所述：综上所述： 2 2i i个相邻的个相邻的“1 1”方格构成正方形或方格构成正方形或长方形，可合并成一项，在合并过程中消去长方形，可合并成一项，在合并过程中消去i i个互反的个互反的变量。变量。2 2）卡诺图化简的步骤）卡诺图化简的步骤 a. a.把逻辑函数化为最小项表达式。把逻辑函数化为最小项表达式。 b. b.用卡诺图表示逻辑函数。用卡

38、诺图表示逻辑函数。15ii 0m10123891110+mmmmmmmmB041282614110+mmmmmmmmDc.c.合并相邻的合并相邻的“1 1”方块（画包围圈）。方块（画包围圈）。d.d.将每个包围圈中的乘积项逻辑加并消去多余的变量将每个包围圈中的乘积项逻辑加并消去多余的变量，可得最简与或表达式。，可得最简与或表达式。3 3）画包围圈时的注意事项：）画包围圈时的注意事项： 圈越大越好，这样得到的与项中变量的个数最少。圈越大越好，这样得到的与项中变量的个数最少。 圈的个数越少越好，这样得到的表达式与项的项数圈的个数越少越好，这样得到的表达式与项的项数最少。最少。 同一个同一个“1 1

39、”方块可以被圈多次，因为方块可以被圈多次，因为A+A=AA+A=A，对结，对结果无影响。果无影响。 每个包围圈中要带有新成分，否则这个包围圈是多每个包围圈中要带有新成分，否则这个包围圈是多余的。余的。 画圈时先圈大圈，后画小圈。画圈时先圈大圈，后画小圈。 不可遗漏任何一个不可遗漏任何一个“1 1”，否则化简结果错误。，否则化简结果错误。例例3 31515：用卡诺图化简逻辑函数：用卡诺图化简逻辑函数解：解：a.a.化为最小项表达式化为最小项表达式F(A,B,C,D)ABCBCDBCDBDACDACDABCD1514761240394FABC(DD)(AA)BCD(AA)BCD(AA)B(CC)D

40、A(BB)CDA BCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD ABCDABCDABCDABCDABCDmmmmmmmmmm (0,3,4,6,7,9,12,14,15)b.b.将最小项表达式中所含有的最小项表示在将最小项表达式中所含有的最小项表示在4 4变量的变量的卡诺图上，如下图所示。卡诺图上，如下图所示。c.c.画包围圈，如上图所示画包围圈，如上图所示。d d. .最最简与或表达式为：简与或表达式为：例例3 31616：用卡诺图化简逻辑函数：用卡诺图化简逻辑函数G(A,B,C,D)=G(A,B,C,D)=解：该题所对应的卡诺图如下图所示。解：该题

41、所对应的卡诺图如下图所示。FBCBD+ACDACDABCD4m (1,5,6,7,11,12,13,15) 通过观察发现：虽然中间的虚线包围圈最大，通过观察发现：虽然中间的虚线包围圈最大，但其它四个小圈画完后，虚线所圈的但其它四个小圈画完后，虚线所圈的“1 1”都是多都是多余的，所以虚线包围圈不应该做为有效的包围圈。余的，所以虚线包围圈不应该做为有效的包围圈。3.3.33.3.3包含无关最小项的逻辑函数的化简包含无关最小项的逻辑函数的化简1.1.无关项的含义无关项的含义G(A,B,C,D)ACDABCACDABC 无关项无关项: :是指一个是指一个n n变量的逻辑函数并不一定与变量的逻辑函数并

42、不一定与2 2n n个最小项都有关，有时只与其中的一部分有关，个最小项都有关，有时只与其中的一部分有关，而与另一部分无关。即另一部分最小项为而与另一部分无关。即另一部分最小项为1 1还是为还是为0 0与逻辑函数的值无关，称这些最小项为无关最小与逻辑函数的值无关，称这些最小项为无关最小项，用通常用项，用通常用d d表示。表示。 例如：例如：8421BCD8421BCD码表示十进制数，可以用码表示十进制数，可以用4 4位位BCDBCD码码的的 表示一位十进制数。表示一位十进制数。3210B B B B2.2.包含无关最小项的逻辑函数的化简包含无关最小项的逻辑函数的化简例例3-173-17：化简逻辑

43、函数：化简逻辑函数解：解： 根据给定的逻辑函数表达式，得到下图所示的根据给定的逻辑函数表达式，得到下图所示的没有考虑无关项的卡诺图。没有考虑无关项的卡诺图。对上图进行化简得到逻辑函数对上图进行化简得到逻辑函数443210F(B ,B ,B ,B )m (1,3,5,7,9)d (10,11,12,13,14,15)30210FB BB BB 下图是利用无关最小项的所得到的卡诺图。借助下图是利用无关最小项的所得到的卡诺图。借助该图化简函数可得该图化简函数可得 注意：此处对于多余的字符注意：此处对于多余的字符d d不要画蛇添足！不要画蛇添足！ 在某些具体的逻辑函数中，输入变量的取值不是在某些具体的

44、逻辑函数中，输入变量的取值不是任意的，是加以限制的，称为约束项。任意的，是加以限制的，称为约束项。 例如三个逻辑变量例如三个逻辑变量A A、B B、C C分别表示一台电机的正分别表示一台电机的正转、反转和停止。转、反转和停止。0FB A=1 A=1 正转，正转， B=1 B=1 反转，反转， C=1 C=1 停止，因此，电机停止，因此，电机在任何时刻不允许两个以上的变量同时为在任何时刻不允许两个以上的变量同时为1 1，因此，因此ABCABC的取值只能是的取值只能是001001，010010,100,100中的某一种。中的某一种。 由于每一组输出变量的取值都使一个、且仅有一由于每一组输出变量的取

45、值都使一个、且仅有一个最小项的值为个最小项的值为1 1，所以当限制某些输入变量的取，所以当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们对应的最小项恒等于值不能出现时，可以用它们对应的最小项恒等于0 0表示。这样一来，本例中的约束条件为：表示。这样一来，本例中的约束条件为： 或写成或写成： 约束项：把这些恒等于约束项：把这些恒等于0 0的最小项叫做约束项。的最小项叫做约束项。ABC0ABC0ABC0ABC0ABC0ABCABCABCABCABC0 有时还会遇到另外一种情况，就是在输入变量的有时还会遇到另外一种情况，就是在输入变量的某些取值下函数值是某些取值下函数值是1 1还是还是0 0皆可，并不

46、影响电路皆可，并不影响电路的功能。那么在这些变量的取值下，其值等于的功能。那么在这些变量的取值下，其值等于1 1的的那些变量最小项称为任意项（随意项）。有时也那些变量最小项称为任意项（随意项）。有时也把约束项和任意项称为逻辑函数中的无关项。把约束项和任意项称为逻辑函数中的无关项。 无关项在卡诺图中一般用无关项在卡诺图中一般用x x或者以及或者以及d d表示，在表示，在化简时可以根据需要视其为化简时可以根据需要视其为1 1或或0 0。 例例3-183-18：化简具有约束条件的函数：化简具有约束条件的函数给定约束条件为：给定约束条件为：解：不给约束条件，解：不给约束条件，Y Y已无法化简，但适当加

47、入一些已无法化简，但适当加入一些约束项后，可得到：约束项后，可得到：YABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD0 函数式得到了进一步的化简。但是，在确定该写函数式得到了进一步的化简。但是，在确定该写入哪些约束项时尚不够直观。入哪些约束项时尚不够直观。例例3-193-19：针对例：针对例3-183-18，借用约束项及卡诺图可以进，借用约束项及卡诺图可以进一步化简，如下图所示，其中带有的小方格属一步化简，如下图所示，其中带有的小方格属于约束项，我们可以根据情况选择性地让其为于约束项，我们可以根据情况选择性地让其为1 1，并合理地画出包围圈。并合理地画出包围圈

48、。Y(ABCDABCD)(ABCDABCD)(ABCDABCD)(ABCDABCD ) ABDABDACDACD ADAD化简结果与例化简结果与例3-18相相同，但比例同，但比例-18的方法的方法要方便很多。要方便很多。例例3-203-20：化简逻辑函数：化简逻辑函数 , ,已知约束已知约束条件为条件为解：根据已知条件，画出卡诺图如下图所示，其中解：根据已知条件，画出卡诺图如下图所示，其中代表约束项，共画出代表约束项，共画出3 3个包围圈，每个包围圈都个包围圈，每个包围圈都包含包含4 4个相邻的小方格。个相邻的小方格。所以根据包围圈得：所以根据包围圈得： YACDABCDABCDABCDABC

49、DABCDABCDABCDABCD0YBDADCD3.4 组合逻辑电路组合逻辑电路 定义：组合逻辑电路是一种在任何时刻的输出仅定义：组合逻辑电路是一种在任何时刻的输出仅取决于该时刻电路的输入，与电路过去的输入情况无取决于该时刻电路的输入，与电路过去的输入情况无关的逻辑电路，即电路无记忆功能。例如：全加器、关的逻辑电路，即电路无记忆功能。例如：全加器、译码器、数据选择器等。其示意图如下图。译码器、数据选择器等。其示意图如下图。n n：输入端数，：输入端数，xixi表示输入变量。表示输入变量。m m：输出端数，：输出端数，zjzj表示输出变量。表示输出变量。输出端的状态仅决定于此刻输出端的状态仅决

50、定于此刻n n个输入端的状态，个输入端的状态，即输出与输入间的关系可由即输出与输入间的关系可由m m个逻辑函数来描述：个逻辑函数来描述： m=1m=1：单输出组合逻辑电路；：单输出组合逻辑电路； m1m1：多输出组合逻辑电路。：多输出组合逻辑电路。3.4.13.4.1组合逻辑电路的分析组合逻辑电路的分析首先要知道什么是逻辑电路的分析以及分析逻辑首先要知道什么是逻辑电路的分析以及分析逻辑电路电路功能的步骤，最后再以单输出与多输出两种电路电路功能的步骤，最后再以单输出与多输出两种方式分别以例题进行阐述其分析过程。方式分别以例题进行阐述其分析过程。1112n2212nmm12nZf (x ,x ,.

51、,x )Zf (x ,x ,.,x ).Zf (x ,x ,.,x )1.1.何为分析：是指已知某一种组合电路的逻辑电路何为分析：是指已知某一种组合电路的逻辑电路图，要分析它具有的逻辑功能。图，要分析它具有的逻辑功能。2.2.分析的步骤：分析的步骤：根据逻辑电路图，写出输出变量对应于输入变根据逻辑电路图，写出输出变量对应于输入变量的逻辑函数表达式。量的逻辑函数表达式。列出组合电路真值表。列出组合电路真值表。写出逻辑功能说明，便于理解电路的功能。写出逻辑功能说明，便于理解电路的功能。画出改进的逻辑电路（如果有必要的话）。画出改进的逻辑电路（如果有必要的话）。3.3.分析方法举例（单输出）分析方法

52、举例（单输出）例例3 32121：图：图3.13.16 6所示为组合逻辑电路，由三个异所示为组合逻辑电路，由三个异或非门构成，请分析其功能。或非门构成，请分析其功能。由由G1G1门可知：门可知：由由G2G2门可知：门可知：由由G3G3门可知：门可知：=1=1G3G2G1=1L1L2LA1A2A3A4112121212121212LAAA AAA(AA ).(AA )A AA A2343434LAAA AA A12121212123434121234341234123412341234121234341234123412341234123412341234123LLLL LL L(A AA A

53、)(A AA A )(A AA A ).(A AA A )A A A AA A A AA A A AA A A A(AA )(AA ).(AA )(AA )A A A AA A A AA A A AA A A AA A A AA A A AAA A AAA A4A列出真值表，如下表所示。列出真值表，如下表所示。当当A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4四个输入变量中有偶数个四个输入变量中有偶数个1 1时，输出时，输出L L为为“1 1”，否则为，否则为“0 0”。所以它是一个偶校验器。所以它是一个偶校验器？思考：如果将三个门改成异或门，该电路的功能？思考：如果将三个门改成异或门，该电

54、路的功能又是什么？又是什么？A1A3A2A4L2L1输入输出中间输出L00000000000000011111111111111111111111111111110000101010001010101000000011111111111000000000000111000110011000004 4分析方法举例（多输出）分析方法举例（多输出）例例3 32222：下图为具有两输出的组合逻辑电路，请分：下图为具有两输出的组合逻辑电路，请分析其功能。析其功能。Z3Z2Z1&1G1G5G3G4G2SCAB由由G G1 1门可知：门可知：由由G G2 2门可知：门可知：由由G G3 3门可知：门

55、可知：由由G G4 4门可知：门可知：由由G G5 5门可知：门可知：列出真值表，如下表所示。列出真值表，如下表所示。 1ZAB21ZA ZA ABA (AB)AB3ZB ABB (AB)BA23SZZABBA(AB)(AB)AB1CZABABB输入输出000CSA0000001111111逻辑功能分析逻辑功能分析 这是一个半加器这是一个半加器 S S是是A A、B B两个一位二进制的和两个一位二进制的和 C C是相加产生的进位是相加产生的进位逻辑电路改进逻辑电路改进SCABH.A惯用符号&SCAB=13.4.2 3.4.2 组合逻辑电路的设计组合逻辑电路的设计首先要知道什么是组合逻辑

56、电路的设计以首先要知道什么是组合逻辑电路的设计以及设计逻辑电路功能的步骤，最后再以单输出及设计逻辑电路功能的步骤，最后再以单输出与多输出两种方式分别以例题进行阐述其设计与多输出两种方式分别以例题进行阐述其设计过程。过程。1.何为设计何为设计是指根据给出的逻辑问题，设计出一个组是指根据给出的逻辑问题，设计出一个组合逻辑电路去满足所提出的逻辑功能需求。合逻辑电路去满足所提出的逻辑功能需求。2. 设计步骤设计步骤分析提出的设计要求，作出输入、输出变量的分析提出的设计要求，作出输入、输出变量的逻辑规定，根据给出的条件，列出满足逻辑要求逻辑规定，根据给出的条件，列出满足逻辑要求的真值表。的真值表。由真值

57、表写出逻辑表达式。真值表中输入变量的组合共由真值表写出逻辑表达式。真值表中输入变量的组合共有有2 2n n种，正好与最小项一一对应。因此可以用真值表中输种，正好与最小项一一对应。因此可以用真值表中输出为出为1所对应的最小项之和来表示输出函数的逻辑表达式所对应的最小项之和来表示输出函数的逻辑表达式。化简。用卡诺图方法将所得最小项表达式化为最简与或化简。用卡诺图方法将所得最小项表达式化为最简与或式。式。画出逻辑电路图。画出逻辑电路图。3.设计方法举例（单输出）设计方法举例（单输出）例例323：某汽车驾驶员培训班进行结业考试。有三名评：某汽车驾驶员培训班进行结业考试。有三名评判员判员A，B，C。其中

58、。其中A为主评判员，为主评判员，B和和C为副评判员。在为副评判员。在评判时，按少数服从多数原则，但若主评判员认为合格，评判时，按少数服从多数原则，但若主评判员认为合格，亦可通过。试用与非门构成的逻辑电路实现此评判现象。亦可通过。试用与非门构成的逻辑电路实现此评判现象。（设原、反变量均可提供）（设原、反变量均可提供）根据要求，写出输入、输出变量的逻辑规定，并根据要求，写出输入、输出变量的逻辑规定，并列出真值表如下所示。列出真值表如下所示。ABC输入输出L01111000100000111100110011001111写出写出L L的表达式的表达式用卡诺图化简用卡诺图化简用与非门构成实现逻辑函数的

59、逻辑图如下图。用与非门构成实现逻辑函数的逻辑图如下图。LABCABCABCABCABCLABCLABC ABC A BC&LBCA4.4.设计方法举例（多输出）设计方法举例（多输出） 例例3 32424：某工厂有：某工厂有A A、B B、C C三个车间和一个自三个车间和一个自备备电站，站内有两台发电机电站，站内有两台发电机M M和和N N。M M发电机的变电能力发电机的变电能力是是N N的二倍。如果一个车间开工，则启动的二倍。如果一个车间开工，则启动N N发电机就发电机就可以满足供电需求；如果两个车间开工，则应启动可以满足供电需求；如果两个车间开工，则应启动M M才能满足要求；如果三个

60、车间开工，则才能满足要求；如果三个车间开工，则M M，N N均要启均要启动。试用与非门设计一个控制线路去控制动。试用与非门设计一个控制线路去控制M M、N N的启的启动。动。 三个输入量三个输入量A A、B B、C C，二个输出量，二个输出量M M、N N。输入输入 A=1 AA=1 A车间开工车间开工 B=1 BB=1 B车间开工车间开工 C=1 CC=1 C车间开工车间开工 A=0 A=0 不开工不开工 B=0 B=0 不开工不开工 C=0 C=0 不开工不开工输出输出 M=1 MM=1 M发动机启动发动机启动 N=1 NN=1 N发动机启动发动机启动 M=0 M=0 不启动不启动 N=0 N=0 不启动不启动列出真值