高职应用数学第二节直接积分法ppt课件

1、不定积分与导数的关系： 或 ；( )( )f x dxf x ( )( )df x dxf x dx 或 .( )( )fx dxf xc( )( )df xf xc 显然微分运算与积分运算是互逆运算，先积后微，方式不变；先微后积，多一常数.1.不定积分的一组公式不定积分的一组公式14个根本公式：个根本公式：1 ；0dxC2 ；()kdx kxCk为常数3 ；11(1)1x dxxC 4 ；1lnxxa dxaCa5 ；xxe dxeC6 ；1ln |dxxCx7 ；cossinxdxxC8 ；sincosxdxxC 9 ；2sectanxdxxC10 ；2csccotxxC 11 ；sec

2、tansecxxdxxC12 ；csc cotcscxxdxxC 13 ；21arcsinarccos1dxxCxCx 14 ；21arctancot1dxxCarcxCx 运用两条积分运算性质和14个根本积分公式，有时需求对被积函数作适当的恒等变形而求得积分的方法，通常称为直接积分法.留意：1. 充分利用化乘除为加减或利用三角恒等式化简的方法.2. 尽能够化假分式为多项式和真分式.3. 要了解绝对值函数和分段函数的定积分求法.4. 求解定积分只需求出一个原函数不要加c，再把上下限代入即可.2.不定积分运算性质：不定积分运算性质：性质性质1 和差性质和差性质 ( )( )( )( );f xg

3、 x dxf x dxg x dx性质性质2 数乘性质数乘性质( )( )cf x dxc f x dx.例例4.2.1 求不定积分求不定积分 .解解 原式原式 (22sin2)xxx x dx3222sin2xdxxdxx dx2242cosln25xxxxC2(1).xdxxdxxxx221xdxdxdxx2121ln22xxxC例例4.2.2 4.2.2 求不定积分求不定积分解解 原式原式解解 原式原式 .例例4.2.3 求不定积分求不定积分 .有些题需对被积函数作适当变形后再用直接求积分.221(1)dxxx22221(1)xxdxxx 2211()1dxxx1arctan xCx 例

4、例4.2.4 求不定积分求不定积分 .解解 原式原式 2cos2xdx1cos11sin222xdxxxC例例4.2.5 求不定积分求不定积分 .解解 原式原式 22sincos22dxxx24sindxx24 csc4cotxdxxC 解解 原式原式 例例4.2.6 求不定积分求不定积分 .422222 11xxxdxx221(2)1xdxx312arctan3xxxC422222 11xxxdxx解解 原式原式 例例4.2.7 求定积分求定积分 .130(4)xxdx1420111 13(4 )4 4424 24xxx 解解 原式原式 例例4.2.9求定积分求定积分 .132231(1)d

5、xxx1322311()1dxxx1331(arctan )3112xx 解解 例例4.2.10知知 ，求定积，求定积分分 .1, 10( ),01xxf xxx 11( )f x dx101110( )( )( )f x dxf x dxf x dx0110(1)xdxxdx1032210127()236xxx114vt km s1104t4 ts4 s ,ss t 11,4s tv tt 211148s ts t dtt dtttC 例例4.2.114.2.11【火车制动间隔】一列火车制动后的速度为【火车制动间隔】一列火车制动后的速度为单位：解解 当速度为零时，即当速度为零时，即，得，即开

6、场设路程函数为根据题意那么.，问火车应该在离站台停靠点多远的地方开场制动？制动后火车停下来.0t 0s 0C 21.8s ttt 4t 214442 8skm2 km当时，代入上式，得.于是将代入上式，得即火车应该在离站台时应开场制动. 0.05320tr tet ,Q t 0.05320,tQ tr te0,5 ,t 例例4.2.12 4.2.12 【石油耗费问题】世界石油耗费总量的增长【石油耗费问题】世界石油耗费总量的增长速度继续上升，根据历史数据估算，从上世纪的速度继续上升，根据历史数据估算，从上世纪的19901990年年到到20192019年初这段时间石油耗费总量的增长速度可表示为年初这段时间石油耗费总量的增长速度可表示为亿桶/年，试求从1990年到2019年初这年初的石油总量为由题意知.解解 设从设从1990年起的第年起的第段时间内的石油耗费总量是多少？年到2019年初这段时间内的石油耗费总量 5550.05000320tQ tQ t dtr t dtedt因此，从19900.0550.2501320640011817.760.