数值计算方法41

1、华长生制作1120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabkTkTnkknknxfCabI0)()()()()(2)0(0bfafabTbadxxfA)(, 3 ,2 , 1k中南大学数学科学与计算技术学院陈海波第三章 数值积分与数值微分华长生制作2120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabkTkTnkknknxfCabI0)()()()()(2)0(0bfafabTbadxxfA)(, 3 ,2 , 1k第三章 数值积分与数值微分 3.1 Newton-Cotes公式公式 3.2 复合求积法复合求积法 3.3 Romberg算法算法 3.4* Gauss求

2、积法求积法 3.5 数值微分数值微分华长生制作3本章要点公式：近似值的几个基本求积计算定积分从而导出代替被积函数本章将用插值多项式badxxfxfxP)(),()(1) 等距节点下的:Newton-Cotes公式和Romberg公式(2) 数值微分公式本章作业1(2), 2(3), 5, 8, 10, 11(2), 14, 16P170.华长生制作4本章应用题:为了计算瑞士国土的面积,首先对地图作了如下测量:以西向东方向为x轴,由南向北方向为y轴,选择方便的原点,并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为若干段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标,数据如表(单位mm):x

3、 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0y1 32 65 55 54 52 50

4、66 66 68y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68华长生制作502040608010012014016020406080100120140瑞士地图的外形如图(比例尺18mm:40km)试由测量数据计算瑞士国土的近似面积,并与其精确值41288平方公里比较华长生制作6 3.1 Newton-Cotes公式公式badxxffI)()(对于积分公式有则由的原函数如果知道LeibnizNewtonxFxf),()(badxxf)()()()(aFbFxFba但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:的一些数值只给出了的解析式根本不存在)(,)()1(xfxf不是初等函

5、数如求不出来的原函数)(,)()()2(xFxFxf求原函数较困难的表达式结构复杂,)()3(xf华长生制作7以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用只能建立积分的近似计算方法这类方法很多,但为方便起见,最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:上取一组节点在积分区间,babxxxan10次插值多项式的作nxf)(nkkknxlxfxL0)()()(为插值基函数), 1 , 0)(nkxlk不同的插值方法有不同的基函数华长生制作8有的近似作为被积函数用,)()(xfxLnbadxxf)(bandxxL)( bankkkdxxlxf0)()(nkbakkdx

6、xlxf0)()(则，若计bakkdxxlA)(badxxffI)()(nkkkxfA0)(这就是数值求积公式称为求积系数其中kA为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立)( fIn华长生制作9因此定义代数精度的概念:定义1. 若求积公式 badxxf)(nkkkxfA0)(即都准确成立次的代数多项式对任意次数不超过,)(mixPmi即只要立次多项式却不能准确成但对,1mbaidxxP)(nkkikxPA0)(mi, 1 , 0bamdxx1nkmkkxA01则称该求积公式具有m次的代数精度代数精度也称代数精确度华长生制作10例1. 试确

7、定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.220)()0()()0(2)(IhffahhffhdxxfIhhdxxI00解:222hI 202232hahhI0)(xxf对于hI 2hhdxxI011)(xxf对于22hhdxxI022)(xxf对于33h3)221(ha2II 令121a华长生制作113022242hahhIhdxxI033)(xxf对于44h44h4023252hahhIhdxxI044)(xxf对于55h65h3 ,2 , 1 , 0)()(2jxIxIjj)()(424xIxI因此所以该积分公式具有3次代数精确度 华长生制作12一、Newton-Cotes数值求积公式

8、Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式,)(baCxf设函数为插值多项式及余项分别的Lagrangexf)(等份分割为将积分区间nba,nkkhaxk, 1 ,0,为步长其中nabh各节点为华长生制作13nkkknxlxfxL0)()()()()!1()()(1)1(xnfxRnnn,baniinxxx01)()(其中kjnjjkjkxxxxxl0)(而)()()(xRxLxfnn因此对于定积分badxxffI)()(banndxxRxL)()(有badxxffI)()(华长生制作14 bankkkdxxlxf0)()(bandxxR)(nk

9、kkxfA0)(bandxxR)(令nkkknxfAfI0)()(banndxxRIR)()(badxxfI)()()()(nnIRfIfI即有bakkdxxlA)(其中dxxxxxbakjnjjkj 0n阶Newton-Cotes求积公式Newton-Cotes公式的余项(误差)()(fIfIn华长生制作15bakkdxxlA)(dxxxxxbakjnjjkj 0:的计算kA注意是等距节点thax假设,bax由, 0nt可知kAdxxxxxbakjnjjkj 0dthhjkhjtnkjnj 00)()(dtjtknkhnkjnjkn 00)()!( !)1(华长生制作16dtjtknknab

10、nkjnjkn 00)()!( !)1()()()(nkkCabAnkkknxfAfI0)()(nkknkxfCab0)()()(所以Newton-Cotes公式化为系数称为CotesCnk)(思考使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至少具有n+1次代数精度,试以n=1,2,4为例说明该结果华长生制作17二、低阶Newton-Cotes公式及其余项在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也最重要三个公式,称为低阶公式1.梯形(trapezia)公式及其余项abhbxaxn, 110则取dtt10)1()1(

11、0CCotes系数为21dtt10)1(1C21求积公式为华长生制作18)(1fI10)1()()(kkkxfCab)()(210 xfxfab)()(2bfafab)(1fI即上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为-0.500.511.500.511.522.533.544.5)()(2)(bfafab)(1fIT 梯形公式的余项为)()(1IRTRbadxxR)(1华长生制作19dxbxaxfTRba )(2)()(dxbxaxfba )(2)(,ba第二积分中值定理6)(2)(3abf )()!1()()(1)1(xnfxRnnn)(12)(3fab 2312)(|)(|MabTR|)

12、(|max,2xfMbax 梯形(trapezia)公式具有1次代数精度故华长生制作202.Simpson公式及其余项2,2,2210abhbxabxaxn则取Cotes系数为dtttC20)2(0)2)(1(4161dtttC20)2(1)2(2164dtttC20)2(2)1(4161求积公式为2I20)2()()(kkkxfCab华长生制作21)(61)(64)(61)(210 xfxfxfab)()2(4)(6bfbafafab)(2fI-0.500.511.500.511.522.533.544.5上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为)(2fIS Simpso

13、n公式的余项为)()(2IRSRbadxxR)(2)()2(180)4(4fababSimpson公式具有3次代数精度华长生制作223.Cotes公式及其余项4,4 , 1 , 0, 4abhkkhaxnk则取Cotes系数为dtttttC)4)(3( )2)(1(! 44140)4(0907dtttttC)4)(3( )2(! 34140)4(19032dtttttC)4)(3( )1(! 2! 24140)4(29012dtttttC)4)(2( )1(! 34140)4(39032dtttttC)3)(2( )1(! 44140)4(4907华长生制作23求积公式为)(4fI40)4()

14、()(kkkxfCab)(907)(9032)(9012)(9032)(907)(43210 xfxfxfxfxfab)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfab上式称为Cotes求积公式，也称五点公式记为)(4fIC Cotes公式的余项为)()(4IRCRbadxxR)(4)()4(945)(2)6(6fababCotes公式具有5次代数精度华长生制作24三、Newton-Cotes公式的稳定性(舍入误差)dtjtknknCnkjnjknnk 00)()()!( !)1(考察Cotes系数无关与函数的划分有关的节点只与积分区间)(,xfxbaj因此用Newt

15、on-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由的计算引起函数值)(kxf其值可以精确给定华长生制作25响的舍入误差对公式的影只需讨论)(kxf)()()(,)(计算值的近似值作为而以为精确值假设kkkxfxfxf为误差)()(kkkxfxfnInkknkxfCab0)()()(记)(计算值的近似值为nI而理论值为nInkknkxfCab0)()()(的误差为与nnIInnII nkkknkxfxfCab0)()()()(华长生制作26nnII nkknkCab0)()(nkknkCab0)()(nnII nknkCab0)()(|max|k有若,0,)(nkCnknnII nknkCab0)()(nknkCab0)(1)(nkknkxgCab0)()()()1)(xgbadxxg)(badx)(ab 10)(nknkC性质：华长生制作27即nnII )(ab Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的倍)(ab