虚位移的应用

1、虚位移原理及应用虚位移原理及应用江南大学力学教研室浦广益其本概念回顾：虚位移：在某瞬时，质点系在约束允许的条件虚位移：在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移移 。虚功：力在虚位移中作的功称虚功。虚功：力在虚位移中作的功称虚功。理想约束：如果在质点系的任何虚位移中，所理想约束：如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。为理想约束。一一、 虚位移原理虚位移原理 设受理想约束设受理想约束质点系中某一质点系中某一质点质点mi，受主动力受主动力 和约束力和约

2、束力 作用作用,处于平衡，有处于平衡，有iFiNF设设mi的虚位移为的虚位移为 ，有，有ir质点系处于平衡，有质点系处于平衡，有0NiiFF0iNiiirFrF0iNiiirFrF对于理想约束有：所有约束力所作虚功的和等于零对于理想约束有：所有约束力所作虚功的和等于零0iNirF即即或记为：或记为：0FiW此方程称此方程称虚功方程虚功方程，其表达的原理称，其表达的原理称虚位移原理虚位移原理或或虚功原理虚功原理iNiiirFrF0iirF0iirF对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所件是：作用于质点

3、系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零作的虚功的和等于零:解析式为解析式为0iziiyiixizFyFxF上面实际上证明了虚位移原理的必要性，即：若质上面实际上证明了虚位移原理的必要性，即：若质点系平衡则点系平衡则0iirF必定成立必定成立 虚位移原理的表达式：虚位移原理的表达式：0iirF充分性证明：充分性证明：反证法：反证法：若若 0iirF成立成立 若质点系受力作用而处非平衡状态，则此质点系在若质点系受力作用而处非平衡状态，则此质点系在初始静止状态下，经初始静止状态下，经dt时间，至少有一质点由静止而时间，至少有一质点由静止而发生运动，其位移应是此质点所受的合力方向，设主发生运

4、动，其位移应是此质点所受的合力方向，设主动力合力动力合力 iFiFiF，约束力合力，约束力合力 NiF 当当 约束条件不随时间而变化时，真实发生的小位移约束条件不随时间而变化时，真实发生的小位移也应满足也应满足 约束条件，这是可能实现的虚位移之一，记约束条件，这是可能实现的虚位移之一，记为为ir必有：必有： 0)(iNiirFFir 质点系中发生运动的质点上作用力的虚功都大于质点系中发生运动的质点上作用力的虚功都大于零，而保持静止的质点上作用力的虚功为零。零，而保持静止的质点上作用力的虚功为零。0)(iNiirFF理想约束下理想约束下0iNirF0iirF这与前提这与前提 0iirF充分性得证

5、充分性得证二二、 虚位移原理主要应用虚位移原理主要应用 已知已知具有理想约束的质点系具有理想约束的质点系平衡位置，求此时各平衡位置，求此时各主动力之间关系主动力之间关系 已知已知具有理想约束的质点系时具有理想约束的质点系时各主动力，求平各主动力，求平衡时的位置衡时的位置(几何关系几何关系) 对自由度为零的受对自由度为零的受理想约束的质点理想约束的质点系统（静定结系统（静定结构）构）求约束处的约束力求约束处的约束力例例A 图示椭圆规机构，连杆图示椭圆规机构，连杆AB长长l，杆重和滑道摩擦不杆重和滑道摩擦不计，铰链光滑，求在图示位计，铰链光滑，求在图示位置平衡时，主动力置平衡时，主动力P和和Q大小

6、大小之间的关系。之间的关系。解解：研究整个机构。系统的研究整个机构。系统的所有约束是理想约束。所有约束是理想约束。Ar设设A发生虚位移发生虚位移Ar设设B发生虚位移发生虚位移BrBr则由虚位移原理则由虚位移原理0iirF0BArQrP从式从式0BArQrP中要求确定中要求确定BrAr 与与 之间的关系之间的关系ArBr 1、用几何法、用几何法：sincosABrr tanrrAB0)t( AranQP由由 的任意性，得的任意性，得AranQPt2：虚速度法：虚速度法BrtanABrr BA给滑块给滑块A图示的虚速度图示的虚速度Av滑块滑块B在约束允许下的虚速度在约束允许下的虚速度BvA、B虚速

7、度在两点连线上的投影相等虚速度在两点连线上的投影相等sincosABvvtanABvv tanABrr tanQP 3、解析法、解析法 系统为单自由度，系统为单自由度，可取可取 为广义坐标。为广义坐标。sinlycoslxABcos sinlylxAB 0BAxQyP代入下式中。注意此式,为什么?0)sincos( lQP由于由于 任意，故任意，故 tanQP 例例B 均质杆均质杆OA及及AB在在A点用铰连点用铰连接，如图所示。两杆各长接，如图所示。两杆各长2a和和2b，各重各重P1及及P2，设在设在B点加水平力点加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角成的

8、角 及及 。解解：这是一个具有两个自由度的这是一个具有两个自由度的系统，取角系统，取角 及及 为广义坐标为广义坐标.由虚位移原理解析式为由虚位移原理解析式为 021BDCxFyPyP0iziiyiixizFyFxF解法一（解法一（解析法）解析法）： 021BDCxFyPyPsincos ayayCC而sinsin2 coscos2baybayDDcos2cos2 sin2sin2baxbaxBB代入代入，得：，得：0)cos2sin()cos2sin2sin(221bFbPaFaPaP由于由于 是彼此独立的，所以是彼此独立的，所以 , 02221cosaFsinaPsinaP022cosbFs

9、inbP由此解得：由此解得：2212tan 22tanPFPPF解法二（分步法）：解法二（分步法）： 假设假设 保持不变，而使保持不变，而使 获得虚位移获得虚位移 ，得到系，得到系统的一组虚位移，如图所示。统的一组虚位移，如图所示。0sincos2DBrPrF而而 2brbrDB代入上式，得代入上式，得2222tanPFbPbF 再设再设 保持不变，而使保持不变，而使 获得变分获得变分 ，得到系统的，得到系统的另一组虚位移，如图所示。另一组虚位移，如图所示。图中图中BDArrr0sinsincos21DCBrPrPrF而而2, arrrarADBC代入上式后，得：代入上式后，得：0)sin2s

10、in2cos(21aPaPaF 22tan21PPF例例C： 多跨静定梁，多跨静定梁，如图所示如图所示.求支座求支座B处处的约束反力。的约束反力。解解：将支座将支座B 除去，除去，代入相应的约束反代入相应的约束反力力 。BR 给给B点虚位移点虚位移rrB B分析各力作用点的虚位移，并用虚位移原理分析各力作用点的虚位移，并用虚位移原理0211mrPrRrPCBBBBCBBrmrrPrrPR 211BRBBCBBrmrrPrrPR 211 811 21 1BCBrrrr而961181112111216 BCBEBrrrrrmPPRB961181121 21应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要

11、点：应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：1、正确选取研究对象、正确选取研究对象； 以理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。以理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。2、正确进行受力分析、正确进行受力分析画出主动力，包括计入主动力的弹簧力、摩擦力和解除约束的约画出主动力，包括计入主动力的弹簧力、摩擦力和解除约束的约束反力。束反力。3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系 4、应用虚位移原理建立方程、应用虚位移原理建立方程5、解方程。、解方程。动力学普遍方程和拉格朗日方程动力学普遍方程和拉格朗日方程 动力学普遍方程动力学普遍方程

12、 将达朗伯原理与虚位移原理相结合,得到动力学普遍方程。 0iNiIiir)FFF(设有n个质点的质点系，约束皆为理想约束，对于第i个质点：0NiIiiFFF给虚位移0ir01iIiinir)FF(0iNirF0iNiIiir)FFF(解析形式：解析形式： 0)()()(1iiiziiiiyiiiixinizzmFyymFxxmF 任一瞬时，作用在受理想约束的质点系上的主动力与任一瞬时，作用在受理想约束的质点系上的主动力与惯性力，在质点系任意虚位移中的元功之和为零。惯性力，在质点系任意虚位移中的元功之和为零。 0)(1iiiiniramF即动力学普遍方程动力学普遍方程特别适合于求解非自由质点系的动力学问题。特别适合于求解非自由质点系的动力学问题。例 两均质轮质量皆为m1，半径皆为r，对轮心的转动惯量为J；中心用质量为m2的连杆连接，在倾角为的斜面上纯滚动。求连杆的加速度。 见后续例续已知轮m1，r，J，纯滚；杆m2，求杆a。解：研究整个系统，进行受力分析；m2gm1gm1gN1N2F1F2Fg1Fg2Fg1MgMg虚加各刚体的惯性力。设杆的加速度为a，则Fg1= m1a，Fg2= m2a，a,raJJMg给连杆以平行于斜面向下的虚位移s，则相应地两轮有