小升初专项训练-找规律篇

1、测试卷 6 (找规律篇)时间： 15 分钟 满分 5 分姓名 测试成绩 1如果将八个数 14，30，33，35，39，75，143，169 平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分 组的情况是什么？观察 1+3=4 ； 4+5=99+7=1616+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律，然后填写 20012 (） 200223 一 串 分 数 ： 1, 2 1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,1,28, 1 , 2 , 其 中 的 第 2000 个 分 数3 3,5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 9 9 9 11 11 是 .4在2、3两数之间 ,第一次写上 5,第

2、二次在 2、5和5、3之间分别写上 7、8(如下所示 ), 每次都在已写上的 两个相邻数之间写上这两个相邻数之和. 这样的过程共重复了六次 , 问所有数之和是多少 ?2 7 5 8 35请你从 01、02、03、 98、99 中选取一些数，使得对于任何由 09 当中的某些数字组成的无穷长的一 串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。(1) 请你说明： 11 这个数必须选出来；(2) 请你说明： 37 和 73 这两个数当中至少要选出一个；(3) 你能选出 55 个数满足要求吗？附答案】1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、

3、169 和 14、39、75、143。3、5、7、9、11，所以下2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列 面括号中填的数字为奇数列中的第 2001 个，即 4003。3 【解】分母为 3 的有 2 个，分母为 4 个，分母为 7 的为 6 个，这样个数 2+4+6+8 88=19802000 ， 这样 2000 个分数的分母为 89，所以分数为 20/89 。4 【解】：第一次写后和增加 5 ，第二次写后的和增加 15，第三次写后和增加 45，第四次写后和增加 135，第五次写后和增加 405，它们的差依次为 5、15、45、 135、 405为等比数列，公比为 3。

4、它们的和为 5+15+45+135+405+1215 1820，所以第六次后，和为 1820+2+31825。5 【解】 (1) ，11，22，33， 99，这就 9 个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是 19 某个单一的数比如 11111，只出现 11，因此 11必选，同理要求前述 9 个数必选。(2) ，比如这个数 3737 37，同时出现且只出现37和 37，这就要求 37和 73 必须选出一个来。(3) ，同 37 的例子，01 和 10 必选其一，12 和 21 必选其一，23 和 32 必选其一，02 和 20 必选其一，13 和 31 必选其一，24 和 42 必选其一

5、，09 和 90必选其一，选出 9 个19 和 91必选其一，选出 8 个。29 和 92必选其一，选出 7 个。89 和 98 必选其一，选出 1 个。如果我们只选两个中的小数这样将会选出 是 54 个。9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 个。再加上 1199 这 9 个数就小升初专项训练 找规律篇典型例题解析1 与周期相关的找规律问题例 1 】、（） n 化小数后，小数点后若干位数字和为1992，求 n 为多少？7解】 n 化小数后，循环数字和都为 27，这样 199227=73 21, 所以 n=6。 7那么这个数列中第 2006 个数除以 5 的余数【例 2】、（）有一数列 1、

6、2、4、7、 11、16、22、 29 为多少？解】数列除以 5 的余数为 1、2、4、2、1、1、2、4、2、1这样就使5 个数一周期，所以 2003 5=400【例 3】、（）某人连续打工 日休息，无工资 ）. 已知他打工是从3，所以余 4。24天，赚得 190元（日工资 10 元，星期六做半天工，发半工资，星期1 月下旬的某一天开始的，这个月的 1 号恰好是星期日 . 问：这人打工结束的那一天是 2 月几日 ?来源】 第五届“华杯赛”初赛第 16 题【解】因为 372447，所以 24天中星期六和星期日的个数，都只能是3或 4.又， 190是10的整数倍。所以 24天中的星期六的天数是偶

7、数 . 再由 240-190=50（ 元） ，便可知道，这 24天中恰有 4 个星期六、 3 个星期日 . 星期日总是紧接在星期六之后的， 因此，这人打工结束的那一天必定是星期六 . 由此逆推回去， 便可知道开始的那一天是星期四 . 因为 1 月 1 日是星期日， 所以 1月 22日也是星期日， 从而 1 月下旬唯一 的一个星期四是 1月26日.从1月26日往后算，可知第 24天是 2月18日，这就是打工结束的日子 .2 图表中的找规律问题【例 4】、（）图中，任意 _- 个连续的小圆圈内三个数的连乘积郡是891，那么 B=.【来源】第十届 小数报 数学竞赛初赛填空题第 5 题【解】 根据“任

8、意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔 2 个小圆圈的小圆圈中的数是相同的 . 于是， B=891（99）=11.【例 5】（）自然数如下表的规则排列：求：（1）上起第 10 行，左起第 13 列的数；（ 2）数 127 应排在上起第几行，左起第几列？【解】：本题考察学生“观察归纳猜想”的能力此表排列特点：第一列的每一个数都是完全平方数， 并且恰好等于所在行数的平方；第一行第n个数是（ n-1 ）2+1，第 n行中，以第一个数至第 n个数依次递减 1；从第 2 列起该列中从第一个数至第 n 个数依次递增 1由此（ 1）（13-1 ）2+1+9=154

9、；（2）127=112+6=（12-1 ）2+1+5，即左起 12列，上起第 6行位置3 较复杂的数列找规律【例 6】、（）设 1， 3，9， 27， 81，243 是 6 个给定的数。从这六个数中每次或者取1 个，或者取几个不同的数求和（每一个数只能取 1 次），可以得到一个新数，这样共得到 63 个新数。把它们从小到大 一次排列起来是 1，3，4，9，10，12，第 60 个数是 。【来源】 1989 年小学数学奥林匹克初赛第 15 题【解】最大的（即第 63 个数）是1+3+9+27+81+243=364第 60 个数（倒数第 4 个数）是36413 360。【例 7】、（）在两位数 1

10、0， 11， 98， 99 中，将每个被 7 除余 2 的数的个位与十位之间添加 - 个小数点，其余的数不变 . 问：经过这样改变之后，所有数的和是多少 ?【来源】 第五届“华杯赛”初赛第 15 题解】原来的总和是10+11+98+99(10 99) 902=4905，被 7 除余 2 的两位数是72+2=16，73+2=2 3， 713 十 2=93.共 12 个数 . 这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的110 ，因此这 - 手续使总和减少了(16+23+93)(1 - 110)= (16 923) 12 190 =588.6所以，经过改变之后，所有数的和是4905588.6=43

11、16.4.例 8】、（）小明每分钟吹- 次肥皂泡，每次恰好吹出100 个 . 肥皂泡吹出之后，经过 1 分钟有 - 半破了，经过 2 分钟还有 210 没有破，经过 2 分半钟全部肥皂泡都破了小明在第 20 次吹出 100 个新的肥皂 泡的时候，没有破的肥皂泡共有 个 . 【来源】 1990 年小学数学奥林匹克决赛第 8 题 【解】小明在第 20 次吹出 100 个新的肥皂泡的时候，第 17 次之前 （包括第 17 次） 吹出的肥皂泡全破了此时没有破的肥皂泡共有100+100 210 +100 12 =155（ 个）.4 与斐波那契数列相关的找规律斐波那契数列非常 有意思 ！【引言】：有个人想

12、知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。 已知一对兔子每个月可以生一对小兔子， 而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。 假如一年内没有 发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因 此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有 三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。第 1 个月到第 6 个月兔子的对数是：1， 2，3，5，8， 13。我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第 3 个数起，每一个数都是前面两个

13、数的和。若继 续按这规律写下去，一直写到第 12 个数，就得： 1， 2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。显然，第 12 个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内 1 对兔子能繁殖成 233 对。 在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列 前面增加一项“ 1”后得到数列： 1， 1，2，3，5，8，13，21， 34，55，89，叫做“斐波那契数列”， 这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。【例 9】（）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以 后长出一条新枝， 然后休息一年。 再在下

14、一年又长出一条新枝， 并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。 那么，第 1 年它只有主干，第 2 年有两枝，问 15 年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？ 【解】 1 ，2，3， 5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584 绝对是一棵大树。【例 10】（）有一堆火柴共 10 根，如果规定每次取 1 3 根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取 法？ 【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规律的方法，我们可以先看只 有 1 根的情况开始：1 根，有： 1 种；2 根，有 1、1， 2，共两种；3 根，可以有： 1

15、、1、1，1、2，2、1，3，共 4 种；4 根，有： 1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共 7=4+2+1 种；5 根，有： 1、1、1、1、1，1、1、1、2， 1、1、2、1，1、2、1、 1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共 13=7+4+2 种；6 根，得到 24=13+7+4 种；即：n 根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。由此得到， 10根为 274 种。 拓展 爬楼梯问题。【例 11】（）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加，如此进行直到

16、得数为 1 操作停止。问经过 9 次操作变为 1 的数有多少个？【来源】 仁华考题【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。在 复杂的或者步子比较多的计数中，找规律是一种非常常用的方法。归纳总结上述规律，从第三项起，每项都是前两项之和。5 有趣的猫捉耗子规律注：有一个很出名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报数，每次报单数的吃掉，有 只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？因此我们称之为猫捉耗子的问题。【例 12】、（） 50只耗子排成一排， 1到 50报号，奇数号的出列，剩下的偶数号再报号，再奇数列 出列一直这样，问最后一只剩下

17、的是原来的几号？【解】第一次剩下的是： 2、4、6、8、10、1250都是 2 的倍数；第二次剩下的是： 4、8、12、16 48 都是 4=2 2的倍数；第三次剩下的是： 8、16、24都是 8=2 3的倍数，这样每次剩下的都是2n 的倍数，现在要剩下一只，这样就是看 150 中 2 n的最大数就是 32 号。【拓展】 123 自然数列一直写到 100，然后按数码编号， 擦去奇数号， 留下的数再编号， 再擦去奇数号 这样请问最后留下的 3 个数字是。【解】 360【例 13】、（） 50 枚棋子围成圆圈，编上号码 1、2、 3、4、 50，每隔一枚棋子取出一枚，要 求最后留下的一枚棋子的号码

18、是 42 号，那么该从几号棋子开始取呢？【来源】 03 年圆明杯数学竞赛试题【解】： 方法一：通过归纳我们知道，如果开始有A 人， A 2k+m（k 是保证 m为自然数的最大值 ） 。那么从 1 号开始取，每个 1 个取 1 个，则最后剩下的为 2m 号。现在有 50 枚棋子，如果从 1 号开始取，有 50 25+18，所以最后剩下的为 18 2 36 号。 现在剩下的是 42 号，所以开始取的为 1+（42 36） 7 号。方法二：找出规律，若开始从 2号开始取，则若有 2枚、4枚、8枚、16 枚、 32枚则最后剩下 的均为 1 号。比如如果 9 枚，取掉 1号后即剩下 8 枚剩下的将是 8

19、枚的首位，即 3号，而 50 枚先取 503218 枚后，剩 32 枚，取走了 2、4、6、8、36，则 37为剩下的 32 枚重排列后的1 号， 38 为 2 号。故最后剩下的为 37 号，即若开始取 2 号，剩下 37 号，现剩下的为 42 号，故开始从 7 号开始取的。【例 14】、（）把 11993 这 1993 个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图121，从 1 开始沿顺时针方向，保留 1，擦去 2 ；保留 3，擦去 4；（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下 去。求最后剩的是哪个数？【解】分析：如果依照题意进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难。我们先从简单情况研究，

20、归 纳出解决问题的规律，再应用规律解题。如果是2 个数 1、2，最后剩下 1；如果是 3 个数 1、2、3，最后剩 3；如果是 4 个数 1、 2、 3、 4，最后剩 1；如果是 5 个数 1、2、3、4、5，最后剩的是 3；如果是 6 个 数 1、2、3、4、5、6，最后剩的是 5；如果是 7 个数 1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是 7；如果是 8 个 数 1 8，最后剩的是 1。我们发现当数的个数是 2，4，8时，最后剩的都是 1（操作的起始数）。这是为什么呢？以 8 个数为例， 数一圈，擦掉 2，4，6，8，就相当于从 1 开始，还有 4 个数的情况， 4 个数时，从 1 开始，数

21、一圈，又擦 掉 2 个，还剩从 1 开始的两个数，擦掉 1 以外的数，最后剩 1 。这样，数的个数是 16，32，64， 2n 时，最后剩的都是起始数 1。当数的个数是 3 时，擦去 2，就剩 2 个数，最后应剩下一步的起始数 3；数的个数是 5 时，擦去 2，剩 4 个数，最后也应剩下一步的起始数3。根据以上规律，如果有 18 个数，擦去 2、4，剩下 16 个数，再擦下去，最后还应剩下一步的起始数5。就是说，擦去若干个数后，当剩的数的个数是2n 时，下一步起始数就是最后剩下的数。10 11解：因为 1024=210， 2048=211，10 1121101993211，1993-1024=

22、969 ，就是说，要剩 210 个数，需要擦去 969 个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第 969 个数时，最后擦 的是：969 2=1938 下一个起始数是 1939 ，那么最后剩的就应该是 1939。练习 按照例 1 的操作规则（1）如果是 1900这 900 个自然数，最后剩的是哪个数？（2）如果是 11949这 1949个自然数，最后剩的是哪个数？说明：这道例题的解题思路是：特 殊 一 般 特 殊（简单情况） （一般规律） （较复杂情况）一般规律：把 1n这 n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，隔过 1，擦去 2，隔过 3，擦去 4，（每隔一个数，

23、擦去一个数）。最后剩下的数x 是哪个数？解： 设 2kn2k+1，k 是自然数。kx=（ n-2 k） 2+1【拓展】 ：如果还是上面例题， 但改为保留 1，擦去 2；保留 3，擦去 4；（每隔一个数， 擦去一个数） ， 转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？1938。解】剩下的规律是剩下 2n 时，都是最后一号留下，所以答案是【例 15】、（） 100个小朋友围成一圈，并依次标号为1至 100号。从第 1号开始 1至 2报数，凡是报到 1 的小朋友退出圈子，这样循环进行到剩下一个小朋友为止。问这个小朋友是多少号？6解】与上题不同 小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）与周期相关的找规律问题2）图

24、表中的找规律问题3）较复杂的数列找规律4）与斐波那契数列相关的找规律5）有趣的猫捉耗子规律参见例 1， 2， 3参见例 4， 5参见例 6， 7， 8 参见例， 9， 10，11参见例 12，13，14， 15【课外知识】 珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不够漂亮。有一天，她到饰物店去买了只绿色蝴 蝶结，店主不断赞美她戴上蝴蝶结挺漂亮，珍妮虽不信，但是挺高兴，不由昂起了头，急于让大家看看， 出门与人撞了一下都没在意。珍妮走进教室，迎面碰上了她的老师，“珍妮，你昂起头来真美！”老师爱抚地拍拍她的肩说。那一天， 她得到了许多人的赞美。 她想一定是蝴蝶结的功劳， 可往镜前一照， 头上根

25、本就没有蝴蝶结， 一定是出饰物店时与人一碰弄丢了。自信原本就是一种美丽，而很多人却因为太在意外表而失去很多快乐。 温馨提示：无论是贫穷还是富有，无论是貌若天仙，还是相貌平平，只要你昂起头来，快乐会使你变 得可爱人人都喜欢的那种可爱。10 个作业题（注：作业题 - 例题类型对照表，供参考）题 1类型 3；题 2， 3，4类型 5；题 5，6，7类型 2，、（）已知一串有规律的数： 1，2/3，5/8，13/21，34/55 ，。那么，在这串数中， 从左往右数，第 10 个数是 。【解】找规律，前面分子分母和就是后一个数分子，分母等于分子和前一个分数分母的和，这样第 数就是 4181/6765 。、（）在一个圆圈上，逆时针标上1、2、 3、 19，从某个数起取走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最