复变函数复数及其几何表示ppt课件

1、NAOzA2 2 主讲教师：赵景霞主讲教师：赵景霞E-mail: 3 3研究对象研究对象 复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。具体地就是复数域上的微积分。主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数等。复变函数的积分、级数、留数等。复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、课程基本介绍课程基本介绍4 4学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似

2、之处。但又有不同之们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。要注意复数域上特有的那些性质与结果。5 5复变函数的发展过程复变函数的发展过程复数是十六世纪人们在解代数方程时引复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，不清楚，用它们进行计算又得到一些

3、矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的接受的“虚数虚数”。6 6 直到十八世纪，直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题，复数才被人们广泛承认接方面的一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。受，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数的发展过程复变函数的发展过程

4、7 7复变函数的发展过程复变函数的发展过程1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。比他更早复变函数的积分导出的两个方程。比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗达朗贝尔贝尔-欧拉方程欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫

5、做详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯柯西西-黎曼条件黎曼条件”。8 8复变函数论的全面发展是在十九世纪，复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。谐的理论之一。复变函数的发展过程复变函数的发展过程9 9二十世纪

6、以来，复变函数已被广泛地应二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。与数学中其它分支的联系也日益密切。复变函数的发展过程复变函数的发展过程 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数第一章第一章 复数及复平面复数及复平面1.1 复数及其几何表示复数及其几何表示学习要点学习要点掌握复数的意义与复数的表示方法掌握复数的意义与复数的表示方法掌握复数的代数运算掌握复数的代数运算熟练掌握复数的方根熟练掌握复数的方根 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数2 , 1,xyzxiyzxyii

7、i 对对任任意意两两实实数数 、称称或或为为复复数数。其其中中称称为为虚虚单单位位。一、一、 复数的概念复数的概念 复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)22 | |0zxy复复数数的的模模： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数A 一般一般, , 任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。121212111222,zzxxyyzxiy zxiy其其中中复数相等复数相等0Re( )Im( )0zzz二、二、 四则运算四则运算 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差

8、、积和商为：的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数复数的运算满足加法交换律、结合律；复数的运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。乘法交换律、结合律和分配律。111222zxiyzxiy 1212211222222 (0)x xy yi x yx yxyz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数 共轭复数的性质共轭复数的性质12121) (),zzzz 1212(),z zz z 11222(),0zzzzz

9、 2)zz 22223)Re( )Im( )zzzzxy 4)2Re( ), 2 Im( )zzzzziz 定义定义 若若z x + iy , 称称 z x iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)三、三、 共轭复数共轭复数2| z 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数2(21)3,.xiyxy izxiy 已已知知求求例例11122255 ,34 ,(),1.zzzi zizz 设设求求及及它它们们的的实实部部虚虚部部例例4121ii 例例求求1212121212,1)2)z zz zzzzzzz 设设为为两两复复数数, , 证证明明例例4 哈尔滨工程大学哈尔滨工

10、程大学 复变函数复变函数1255771:34555ziiizi 解解11122255 ,34 ,(),1.zzzi zizz 设设求求及及它它们们的的实实部部虚虚部部例例1271()55ziz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数1 1iii 解解：4121ii 例例求求441( )11iii 2(21)3,.xiyxy izxiy 已已知知求求例例211xxx 由由解：解：210yyyy 或或11zzi 所所以以或或 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数221212zzzz _1212121)()()z zz zz z 1212121212,1)2)z zz zzzzzz

11、z 设设为为两两复复数数, , 证证明明例例4证明：证明：12121122z z z zz z z z 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数21212122)()()zzzzzz 22221212121222zzz zzzzz 1212zzzz 即即1212121212,1)2)z zz zzzzzzz 设设为为两两复复数数, , 证证明明例例4证明：证明：2212122Re()zzz z11221221z zz zz zz z1212()()zzzz212()zz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数( , ),zxiyx y 易易见见，一一对对实实数数( , )( ,

12、)Px yzxiyP x y在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐标标系系，点点一一对对实实数数平平面面上上的的点点().zxiyxyP 所所以以复复数数可可用用平平面面上上坐坐标标为为 ，的的点点 表表示示四、复数的几何意义四、复数的几何意义横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为复平面一般称为z-平面，平面，w-平面等。平面等。 ()zxiyP xy 复复平平面面上上的的点点， 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数() , zxiyp xyopx y 因因为为点点，opzxiy 所所以以可可用用向向量量表表示示。我们可以得到两个重要的不

13、等式我们可以得到两个重要的不等式 2121zzzz 2121zzzz oxy(z) z1z2 z1+z2oxy(z) z1z2z2- z1 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数22 | | |,zoprxy 向向量量的的长长度度, ,复复数数的的模模：()Arg(, )Argumentzop x 记记作作向向量量与与正正实实轴轴之之复复数数的的幅幅角角：间间的的夹夹角角rz oxy(z)P(x,y)xy tan(Arg )yzx A z=0时，幅角无意义。时，幅角无意义。 幅角无穷多：幅角无穷多：Arg z=0+2k， kZ， 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数000Ar

14、ga.rgzz 幅幅角角的的主主值值满满足足的的称称为为记记作作arctan0,arg0,0 2arctan0,0yxyRzxzxyzyxyzx ，（ 在在一一、四四象象限限），（ 在在虚虚轴轴），（ 在在二二、三三象象限限）arctan22yx 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数(cossin )zri cossinxryr 由由得得:cossiniEulereiz 再再由由公公式式可可得得非非零零复复数数 的的指指数数表表示示式式: : izre 1. 三角表示法三角表示法可以用复数的模与辐角来表示非零复数可以用复数的模与辐角来表示非零复数z2. 指数表示法指数表示法izre

15、ryox 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数,.21)1 2)1iii 求求下下列列复复数数的的模模 辐辐角角及及辐辐角角主主值值例例5例例61)1222)sincos55zizi 将将下下列列复复数数化化为为三三角角表表示示式式和和指指数数表表示示式式 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数,.21)1 2)1iii 求求下下列列复复数数的的模模 辐辐角角及及辐辐角角主主值值例例5(0, 1, 2,)k (0, 1, 2,)k 12, arg( 1)4ii ( 1)(21) ,4Argik 解：解：212,1iii 21argarg(1)14iii 21rg2,14iAk

16、i 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数1)1222)sincos55zizi 将将下下列列复复数数化化为为三三角角表表示示式式和和指指数数表表示示式式1)1244rz 23argarctan()arctan312566z 故故56554cos()sin()466izie 于于是是例例6解：解： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数1)1222)sincos55zizi 将将下下列列复复数数化化为为三三角角表表示示式式和和指指数数表表示示式式222)sincos155rz 310sincos55cos()sin()2525iziie 故故例例6解：解： 哈尔滨工程大学哈尔滨

17、工程大学 复变函数复变函数练习：练习：求下列复数的模与幅角主值：求下列复数的模与幅角主值：1.3zi 12.32zi 求下列复数的三角表示式与指数表示式求下列复数的三角表示式与指数表示式. .3.13zi4.122zi 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数 21.312z 1argarctan63z 132322.3232321313iiiii22321131313z 2argarctan3z 解：解： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数3.132i arg 133i /3132 cossin233iiie 4.1221244i5arctan6z 5 /6551224 c

18、ossin466iiie . . 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数五、五、 复数的乘积与商复数的乘积与商利用复数的三角表示，我们可以更简单的利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法表示复数的乘法与除法1 212| |z zzz 则则，1 212()Arg z zArgzArgz 集合相等集合相等1()11111|(cossin) |i ArgzzzArgziArgzze 2()22222|(cossin) |i ArgzzzArgziArgzze 12,z z设设是是两两个个非非零零复复数数，定理：定理： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数11222(

19、0),zzzzz1122()zArgArgzArgzz 对除法，有对除法，有 将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到再将其伸缩到|z2|倍。倍。1 oxy(z)1z2 z1z22 z2乘法的几何意义乘法的几何意义 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数121213zi ziz z 设设，求求/412ize /622ize /4/65 /121 2222 2iiiz zeee 例例7解：解：1(1)zi yx12z z6 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数1212.zzi 已已知知正正三三角角形形的的两两个个顶顶点点为为和和，

20、求求它它的的另另一一个个顶顶点点例例53121(cossin)()33zzizz 13()(1)22ii2z21zz 1zyx1 21 31 33z zz zz z 将将向向量量逆逆时时针针旋旋转转后后得得到到的的向向量量或或的的终终点点即即为为所所求求. .解：解：1313()()2222i 3z3 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数33313()()2222zi所所以以3 同同理理，若若转转角角为为，可可得得2z21zz 1zyx3z 3 33313()()2222zi 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数例例6 藏宝图藏宝图从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡从

21、绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右转个直角再走这么多步，在这里打个桩。树向右转个直角再走这么多步，在这里打个桩。某岛，岛的北岸有一大片草地。草地上有一株某岛，岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树，还有一个绞架。橡树和一株松树，还有一个绞架。回到绞架，朝松树走，同时记住所走的步数，回到绞架，朝松树走，同时记住所走的步数，到了松树向左拐个直角再走这么多步，在这里到了松树向左拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩。也打个桩。在两个桩中间挖，就可以找到宝藏！在两个桩中间挖，就可以找到宝藏！问题是绞架年代久远烂掉了，还能找到宝藏吗？问题是绞架年代久远烂掉了，还能找到宝藏吗？ 哈尔滨工

22、程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数1-1第一根桩位置第一根桩位置第二根桩位置第二根桩位置 +1( 1)i 1()1i abi 1( 1)1()1/ 2iii 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数C, ,a ba b c作作出出过过复复平平面面 上上不不同同两两点点的的直直线线及及过过不不共共线线三三点点的的圆圆aarcb 因因为为arg0zaba 或或例例7解：解：byxa ,a bz两两点点所所决决定定的的直直线线上上任任意意点点 应应满满足足：Im0zaba 从从而而所所求求直直线线的的表表达达式式是是 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数argarg0zacazb

23、cb 或或, ,a b cz三三点点所所决决定定的的圆圆上上任任意意点点 应应满满足足 和和相相等等或或互互补补Im0zacazbcb 从从而而所所求求圆圆的的表表达达式式是是 arg0zacazbcb 即即：或或 abcz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数nnzzzn个个相相同同复复数数 的的乘乘积积成成为为 的的 次次幂幂(cossin)nnnnirnzzizr enz 六、六、 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根|1(cossin)nzrznin 特特别别地地：当当时时cossincossinnniin ( () )则有：则有：棣摩弗棣摩弗 (De Moivre)公式公式1,

24、nnzz 令令则则cos()sin()nnninzrninre 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数innzrenwzwznwz 设设为为已已知知复复数数， 为为正正整整数数，则则称称满满足足方方程程的的所所有有 值值为为 的的 次次方方根根，记记为为,iwe 设设niniere 则则,nr 2,kn 0, 1, 2,k 2122(cossin)kinnnkkwrerinn 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数10(cossin)nwrinn 1122(cossin)nwrinn112(1)2(1)(cossin)nnnnwrinn 1244(cossin)nwrinn 0

25、,1,2,1knn当当 时时，得得到到 个个相相异异的的根根：而而k取其它整数时，这些根又会重复出现。取其它整数时，这些根又会重复出现。 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数32)8i 341,1,1n求求例例11练习练习441,zizz 设设求求 和和例例10 23cos4sin41)cos3sin3ii 计计算算： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数14422441( 2) (cossin)440,1,2,3kkiik 441,zizz 设设求求 和和例例9:12(cossin)44ii 解解444(1)( 2) (cossin)444(cossin)4iii 故故 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数8325252(cossin)1616i 802(cossin)1616i 81992(cossin)1616i 8217172(cossin)1616i 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数几何上几何上， 的的n个值是个值是以原点为中心，以原点为中心， 为半为半径的圆周上径的圆周上n个等分点