Gold序列与m序列仿真应用

1、1. 绪论m序列具有优良的双值自相关特性，但互相关特性不是很好。作为CDMA通信地址码时，由于互相关特性不理想，使得系统内多址干扰影响增大，且可用地址码数量较少。在某些应用场合，利用狭义伪随机序列复合而成复合序列更为有利。这是因为通过适当方法构造的复合序列具有某些特殊性质。 Gold序列就是一种复合序列，而且具有良好的自相关与互相关特性，地址码数量远大于 m序列，且易于实现、结构简单，在工程上得到广泛应用。表1是m序列和Gold序列的主要性能比较， 表中max为m序列的自相关峰值，s(0)为自相关主峰；t(n)为Gold序列的互相关峰值，g(0)为其自相关主峰。 从表1中可以看出：当级数n 定

2、时，Gold序列中可用序列个数明显多于m序列数，且 Gold序列的互相关峰值和主瓣与旁瓣之比都比 m序列小得多，这一特性在实现码分多址时非常有用。表1. m序列和Gold序列性能比较P= 2"- I%Gold序列Fl j37250. 71950. 71531611339a 29f63623(k Ifi65na n7127LS41伉32329170 1395114RI】30. 22513330. 06JO1U2360IE 3710252a 061 1KM732628?0. 142ft49650. 0.1在引入Gold序列概念之前先介绍一下m序列优选对。m序列优选对，是指在 m序列集中，

3、其互相关函数绝对值的最大值(称为峰值互相关函数)R( T最接近或达到互相关值下限 y max(最小值)的一对m序列。设ai是对应于r次本原多项式 F1(x)所产生的m序列，bi是另一 r次本原多项式 F2(x)产生的m序列，峰值互相关函数满足Rab( T maxr 22 1r为奇数r为偶数但不是4的整倍数(1)则m序列ai与bi构成m序列优选对。例如：r 6的本原多项式F,x)x6 x 1与F2(x) x6 x5 x2 x 1所产生的m序r 26 2列ai与b，其峰值互相关函数|Rab(Tmax 172丁12丁117。满足式(1)，故6532ai与b构成m序列优选对。而本原多项式F3(x) x

4、 x x x1所产生的m序列Ci ，与m序列ai的峰值互相关函数|Rac(Tmax 23 17 ,不满足上式，故 印 与C不 是m序列优选对。2. Gold序列1967年，R Gold指出：“给定移位寄存器级数 r时，总可找到一对互相关函数值是最小的 码序列，采用移位相加方法构成新码组，其互相关旁瓣都很小，且自相关函数和互相关函数均 有界”。这样生成的序列称为 Gold码(Gold序列)。Gold序列是m序列的复合序列，由两个码长相等、码时钟速率相同的m序列优选对的模2和序列构成。每改变两个m序列相对位移就可得到一个新的 Gold序列。当相对位移1 ,2， 2r-1个比特时，就可得到一族2r-

5、1个Gold序列，加上原来的两个 m序列，共有2r+1个Gold 序列，即Gr 2r 1(2)产生Gold序列的移位寄存器结构有两种形式。一种是乘积型，将m序列优选对的特征多项式乘积作为新的特征多项式，根据此2r次特征多项式构成新的线性移位寄存器，参见图(1),图中特征多项式为G(x) x6 x5 x2 x 1 , F(x) x6 x 1，其乘积多项式为 F (x)G(x) x12 x11 x8 x6 x5 x3 1。另一种结构是模2和型，直接求两m序列优选对 输出序列的模2和序列，参见图(2 )。一* X1T书亍 丿< XI -j1( 4 »> XI k93-HpSrr

6、-1? TOGa冋rUG*+齐时7图2.码长2为N=63的模2和型Gold码发生器理论上可以证明，这两种结构是完全等效的。它们产生的Gold序列周期都是 N=2 r-1。可以证明：复码的周期是组成复码的子码周期的最小公倍数。由于组成复码Gold序列的子码的周期都是N=2 r-1，故Gold序列的周期是 N=2 r-1。由m序列优选对模2和产生的Gold序列族中2r-1个序列不再是 m序列，不再具有m序 列的特性。任意两序列之间的互相关函数满足r 12 1r为奇数Rab ( T maxr 2(3)2丁 1r为偶数但不是4的整倍数由于Gold序列的这一特性， 使得码族中任一码序列都可作为地址码，这

7、样采用Gold码族作地址码，其地址数大大超过了用m序列作地址码的数量，所以Gold序列在多址技术中得到了广泛的应用。表2. Gold序列的三值互相关函数特性码检N X-1互相关函叛值出规唯率r为奇數-1（2三+1）0.5f 为制St.星4时银倍竝0.75+1）0.25r+22-1Gold码序列具有三值互相关函数的特性：当r为奇数时，码族中约有50%的码序列有很低的互相关函数值(-1)(非归一化)；当r为偶数但不是4的整倍数时，码族中约有 75%的码序列 有很低的互相关函数值(-1)(非归一化)。其三值互相关函数特性见表(2)。Gold序列自相关 函数值的旁瓣取三值，互相关函数值也取三值，只是出

8、现的位置不同。Gold码族同族(周期长度相同的序列)内互相关函数取值已有理论结果，但不同族之间互相关函数的取值尚无理论结 果。不同Gold码族之间的互相关函数取值已不是三值而是多值，且互相关值已大大超过同族内的互相关值。3. m序列优选对的寻找前面在介绍Gold码序列的构造时已指出， Gold序列可由m序列的优选对来构成， 即要想 构造出或求出Gold码序列，首先要找到m序列的优选对。下面介绍一种寻找 m序列优选对的 方法。3.1优选对寻找方法1若a是2r阶有限域GF(2)的一个本原元，f 1(x)与ft(x)是2r阶有限域GF(2)上的r次本原多项式，a是f1(x)的首根，取tr 12 21

9、 r为奇数r 22 21 r为偶数，但不是4的倍数使at为r次本原多项式ft(x)的一个根，则以r次本原多项式f1(x)与ft(x)为特征多项式的 m序列 就构成m序列优选对。例：对于r = 7, N=2r-1=127，设a是27阶有限域GF(2)的一个本原元，以 a为首根的本原多 项式为f1(x) x7 x3 1(附录 1 r = 71 211E)由式(4)可求出r 17 1t 2_12_117则以a17为根的本原多项式ft(x)所产生的m序列和f1(x)所产生的m序列构成m序列优选对。a17是本原多项式ft(x)的一个根，但可能不是首根。根据有限域的理论：若a t是r次不可211 221

10、2r 11约多项式ft(x)的一个根，那么a ,a 丄，a是ft(x)其余的r-1个根。在计算时，需要注意2r 1由于a是2r阶有限域的本原元，则有a 1。据此，可以求出以 a17为根的本原多项式ft(x)的所有根：按幕次大小排列为a9,a17,a18,a34,a68,a72，其中a9为fx)的首根。由附录1得75432ft(x) x x x x x x 1(附录 1 : r = 7 9 277 E)上面介绍的方法有一个最大的局限，这就是该方法只能求出附录1中第一个多项式对应的m序列优选对，事实上求解m序列优选对的方法很多，下面再介绍一种。3.2优选对寻找方法2若a是2r阶有限域GF(2)的一

11、个本原元，fx)与ft(x)是2r阶有限域GF(2)上的r次本原 多项式，ak是fdx)的首根，t按照式(4)取值，令kt的共轭类首元ktr为r次本原多项式ft(x) 首根的幕指数，即它的首根为 aktr，则以本原多项式 ft(x)和f1(x)为特征多项式的 m序列构成m序列优选对。kt,模N (2r 1)运算后，可用下面介绍kt的共轭类首元的求法。对于任意的正整数 r位二进制数来表示为r将其循环移位得到的一组(r个)二进制数r 3Lr3L r3L 2L 2r3L称为kt的共轭类，而其中最小者称为kt的共轭类首元，用符号ktr来表示。例：对于r=7 , N=2 r-1=127 ，设a是27阶有

12、限域 GF(2)的一个本原元，设 k = 1，以ak = a 作为首根的本原多项式为73f1(x) x x 1 (附录 1: r = 71211 E)由式得r 17 1t 2T 12T 117kt 1 17 17的共轭类为0010001 , 1001000 , 0100100 , 0010010 ,0001001 , 1000100 , 0100010共轭类首元ktr 1 1779，以a 9为首根的ft（x）为ft（t） x7 x5 x4 x3 x2 x 14. 平衡Gold序列及其产生方法4.1平衡Gold码Gold码就其平衡性来讲，可以分为平衡码和非平衡码。平衡码序列中一周期内1码元和0码

13、元的个数之差为 1，非平衡码中1码元和0码元的个数之差多于1。平衡Gold码和非平衡Gold码的数量关系如下表所示。表3. r为奇数时的平衡 Gold码和非平衡Gold码数量表序列分蛆码庁列中丨的數吊码按中1数駅的庁列数届平衡性12rl2rl +12F-I2'-1 +2 r非平衝3r-l2-3 +2T表4. r为偶数时的平衡 Gold码和非平衡Gold码数量表序列分期网字列中1的数肚网族中證柑这种1 st哉的序列数世1”一1|af2r,+27=42ri-2Ik平窗3JF£ r-4斗T &例如，r 9的Gold序列族，平衡码序列的数量为257个（包括2个m序列），非平衡

14、码序列的数量为256个。在扩频通信中，扩频码平衡性（序列中0与1的均匀性）影响系统质量，平衡码具有更好的频谱特性。在DS-SS系统中，码的平衡性与载波抑制度有密切关系。码不平衡时直接序列系统 的载波泄漏增大，从而破坏扩频通信系统的保密性、抗干扰与抗侦破能力。下表给出918级Gold码对载波抑制度的影响，从表中可以看出：平衡码使载波抑制性能下降一半份贝数），增加码长对载波抑制性能改善不是十分明显。因此在DS-SS系统中选用Gold码作扩频码时，应选用平衡Gold码。表5.码的平衡性对载波抑制的影响级败r码展2-1我鑛抑制(册)9Ml1M.17平訥口他II10媲360.20ffcEJ仍23.94u

15、-rII3M7166.22T世西65却旳平smURI9I17S.27平邮12936.051啊5码257箱朋卡福码153276719031T就肝257CI?1 -r35T養酉4K15IK202I4J1用骑4S.16乍平祈丹4.2平衡Gold码的产生方法为了寻找平衡码，RGold给出特征相位描述：每一个最大长度序列都具有特征相位(序列的初始状态)，当序列处于特征相位时，具有每隔一位抽样与原序列一样的特性。这就是序列处 于特征相位的特性。设序列 ai的特征多项式fa(x)是一个r次本原多项式，其特征相位由ga(x)/fa(x)之比来确定。其中ga(x)是生成函数，其次数等于

16、或小于r，求取算法d xfa(x)ga(x)特征相位多项式定义为dxfa(x)9 Xfa(X)dxr为奇数r为偶数但不是4的倍数(5)(6)G(“需例：对于本原多项式3fa(x) x x 1，根据式(5 )，得ga(x)d x x3 x 1dx1 (mod 2)根据式(6)得特征相位多项式为G(x)鵲1 1fa(x)1 x x3长除得G(x) 1 x x2 x4 x7 x8 x9 L因而得特征相位为111( r=3)。在序列的初始状态为 111时，序列的输出及抽样结果为可看出，每隔一位抽样后的序列仍是原序列。此时，序列fa(x)处于特征相位，其特征相位为111。截止目前，我们得到了处于特征相位

17、的m序列优选对。为了得到平衡Gold码，还需要确定m序列优选对之间的相位关系。若序列 a、 bi处于特征相位上的 m序列优选对。当r为奇数时，其特征相位多项式只 有取G(x)1 d(x)的形式，此时d(x)最高次幕为 0d(x) r，c(x)的最高次幕 °c(x) r 1,长除结果才会具2有1 d/ d?x L这种形式，即特征相位的序列第一个符号是1。对于处于特征相位上的ai与bi序列的移位寄存器，当移动bi序列的第一个0对应于序列的第一个1时，两序列模 平衡码。例1 :设r=5的优选对为52和就可得到平衡序列。下面来研究两个例子，来说明如何寻找67H45Efa(x)fb(x)2x5

18、x相应的生成函数特征相位由G(x)Ga(x)1x2Gb(x)1状态为x x2x4x5ga(x)gb(x)dxd x 1 x2 x512 x4dxg(x)/ f (x)长除得到x4x510aix8x9x10-15x16x18x2023 x271113x x14x18x19x2021x22xx25Lbi当以ai为基准，其特征相位为11101( r=5)。移动b序列，使第一个o对准序列 a的 第一个1，则序列 b的初始状态为00001 ,此时符合相对相位要求，能产生平衡Gold码b的状态为00(H) OOOUI (H)l01 01010 01011 OHIO 011W OOOH00111 01111

19、 00110 01101 01001 00100 01000根据上面所求的b的特征相位，每一个特征相位对应的序列ai与序列b模2和可产生15个平衡Gold序列，加上m序列ai与b，r=5的平衡Gold序列共有17个。例2 :构造r = 11，码长211-1的Gold平衡码。选优选对(4005) 8与(7335) 8来产生平衡码。其 本原多项式为4005fa(x)XX2111109764327335fb (x)xxxx x x x x 1以序列ai为参考序列，其生成函数与特征相位多项式为ga(x)G(x)1 x21 x11d Xfa(X)dx1 x21 x2 x11特征相位为)，如图3。寄存器中

20、符号X表示状态任意，可以是0，也可以是1 ,5. Gold序列仿真分析及应用5.1 Gold序列与m序列仿真比较245仿真时采用5阶移位寄存器，由本原多项式fa(x) 1 x x x x和本原多项式fb(x) 1 x2 x5生成的m序列为m序列优选对，以此优选对为例来产生Gold序列。仿真得到的Gold序列和m序列如图4所示，图中只显示序列的一个周期，周期长度为31，即25-1。Gold序列1111LtL0.5-0-0.5-1：|rriT051015202530m序列图4.周期长度为31的Gold序列和m序列下面从序列的相关特性方面对m序列和Gold序列进行比较，图 5是关于两种序列的自相关和

21、互相关特性的仿真结果。对比m序列和Gold序列的自相关特性仿真结果，可以看出：m序列严格满足自相关二值特性，完全满足扩频序列对自相关特性的要求，而Gold序列的自相关特性在时延不为零处不如m序列，在时延为零处具有与m序列相同的峰值特性，显然，m序列自相关曲线要比 Gold序列自相关曲线整体上平缓，由此也可以得出，m序列的自相关性比 Gold序列的自相关性要好。对比两种序列的互相关特性仿真结果，可以看出：Gold序列的互相关曲线与 m序列相比要更小，具有更小的旁瓣值，更小的互相关峰值，Gold序列的互相关性比 m序列的互相关性好。比较Gold序列的自相关和互相关可以看出：Gold序列自相关函数值的旁瓣取三值，互相关函数值也取三值，只是出现的位置不同。m序列和Gold序列的自相关性对比30 -20 -10 -0-10 m序列自相关性Gold序列自相关性-30-20-1010203020-10 B-30-20-10102030km序列和Gold序列的互相关性对比m序列互相关性Gold序列互相关性jT j图5. m序列与Gold序列性能对比图5.2平衡Gold码的频谱分析值 幅k非平衡码