文本课件666数学基础班

1、第八章多元函数微分法及其应用第八章多元函数微分法及其应用第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一、多元函数的概念一、多元函数的概念 二、多元函数的极限二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性 四、多元初等函数的连续性四、多元初等函数的连续性 设设),(000yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某一正是某一正数，与点数，与点),(000yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP的全体，称的全体，称为点为点0P的的 邻域，记为邻域，记为),(0 PU，即即 1 1邻域邻域0P ),(0 PU0|PPP 2200( , )()().x yxxyy

2、一、多元函数的概念一、多元函数的概念 注注20若不需强调邻域的半径，则点的某一邻域常记为若不需强调邻域的半径，则点的某一邻域常记为0P0(, )U P 00|PPP 称为点称为点 的去心邻域的去心邻域0P 100(),U P点点 的某一去心邻域常记为的某一去心邻域常记为0P0().U P 设设D为平面上的一个非空点集，若对为平面上的一个非空点集，若对D中的任一点中的任一点( , )x y，变量，变量z按照某种法则按照某种法则f总有唯一确定的值与之总有唯一确定的值与之对 应 ， 则 称对 应 ， 则 称z是 变 量是 变 量, x y的 二 元 函 数 ， 记 为的 二 元 函 数 ， 记 为(

3、 , ),( , )zf x yx yD， 其中其中, x y称为自变量，称为自变量，z称为称为因变量，因变量，D称为该函数的定义域称为该函数的定义域. . 2 2多元函数的定义多元函数的定义定义定义1 1 10 对对00(,)xyD ，与，与00(,)xy对应的因变量的值对应的因变量的值0z称为函数称为函数( , )zf x y 在点在点00(,)xy处的函数值，记作处的函数值，记作00 x xyyz 或或00(,)f xy， 即即 00000(,)x xyyzf xyz 20关于二元函数的定义域，与一元函数相类似，关于二元函数的定义域，与一元函数相类似，我们作如下约定：我们作如下约定：对于

4、用解析式（算式）表示的函数对于用解析式（算式）表示的函数，它的定义域就是使这个解，它的定义域就是使这个解析式有意义的实数对析式有意义的实数对( , )x y所构成的集合， 并称其为自然定义域所构成的集合， 并称其为自然定义域 当当2 n时，时，n元函数统称为元函数统称为多元函数多元函数. 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 例例2 2 已知已知(2 ,2 )2f xy xyxy，求

5、，求( , ).f x y解解令令22xyuxyv ，则，则,2uvx .4uvy 于是，于是，53( , )2,2444uvuvf u vuv故故53( , ).44f x yxy二、多元函数的极限二、多元函数的极限定义定义2 2 对于二元函数对于二元函数),(yxfz ，如果当点，如果当点( , )P x y无限趋近无限趋近于点于点000(,)P xy（记作（记作00,xxyy或或000( , )(,)P x yP xy）时 ， 对 应 的 函 数 值时 ， 对 应 的 函 数 值( , )f x y无 限 趋 近 于 常 数无 限 趋 近 于 常 数A（ 用（ 用( , )f x yA表

6、 示 ）， 那 么表 示 ）， 那 么A称 为 函 数称 为 函 数( , )f x y当当00,xxyy时的极限，记作时的极限，记作 00lim( , )xxyyf x yA00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA0lim( )PPf PA0( )()f PAPP00( , )( , )(,)f x yAx yxy或或或或或或或或注注10 n元函数的极限可以类似地定义元函数的极限可以类似地定义20 二元函数的极限又称为二重极限二元函数的极限又称为二重极限 30 二元函数的极限当且仅当二元函数的极限当且仅当 00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA点以任何方

7、式趋向于点时，点以任何方式趋向于点时，( , )P x y000(,)P xy( , )f x y都趋向于同一个数值都趋向于同一个数值 A40 若当点若当点( , )P x y以两种不同方式趋于时，以两种不同方式趋于时，000(,)P xy趋于两个不同值，或趋于两个不同值，或当点当点( , )f x y( , )P x y以某种以某种的极限不存在，的极限不存在，方式趋于时，方式趋于时，000(,)P xy( , )f x y则则不存在不存在. .00( , )(,)lim( , )x yxyf x y50 多元函数的极限运算法则与一元函数类似多元函数的极限运算法则与一元函数类似例例 3 3 设

8、设2222220( , )00 xyxyxyf x yxy ， 证明：证明：00lim( , )xyf x y不存在不存在 证证 因为因为 22( , )(0,0)01lim( , )lim2x yxy xx xf x yxx ， 22( , )(0,0)0()1lim( , )lim()2x yxyxxxf x yxx ， 所以所以 00lim( , )xyf x y不存在不存在 例例4 4求求( , )(1,0)sin(2)lim;x yxyy解解 ( , )(1,0)sin(2)limx yxyy( , )(1,0)sin(2)lim22x yxyxxy1 22.三、多元函数的连续性三、

9、多元函数的连续性1多元函数连续的定义多元函数连续的定义 设 二 元 函 数设 二 元 函 数( , )zf x y的 定 义 域 为的 定 义 域 为,D 000(,)P xyD ，若若 0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy， 则称二元函数则称二元函数( , )zf x y在点在点000(,)P xy处连续处连续. . 定义定义3 3 设 二 元 函 数设 二 元 函 数( , )zf x y的 定 义 域 为的 定 义 域 为,D且且000(,)P xyD ，若，若 00000000limlim(,)(,)0 xxyyzf xx yyf xy， 则称二元

10、函数则称二元函数( , )zf x y在点在点000(,)Pxy处连续处连续. . 定义定义 3 如果如果( , )f x y在点在点000(,)P xy处不连续，则称处不连续，则称0P是函数是函数( , )f x y的间断点的间断点. . 如果函数如果函数 在在 D 上上的每一点都连续，则称的每一点都连续，则称函数函数 在在 D上连续，或者称上连续，或者称 是是 D上的上的连续函数连续函数. .),(yxf),(yxf),(yxf注注定义定义4 4注注二元函数的间断点可以形成一条或几条曲线二元函数的间断点可以形成一条或几条曲线例如：例如：2211,.(1)(1)1zzxyxy例例5 5 讨论

11、函数讨论函数222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy在点在点(0,0)处的连续性处的连续性解解220limxy kxxyxy22220limxkxxk x2,1kk其值随其值随 k 的不同而变化，的不同而变化，因为因为故极限不存在故极限不存在00lim( , )xyf x y因此，函数因此，函数 在点在点(0,0)处不连续处不连续( , )f x y0lim( , )xy kxf x y2多元连续函数的运算性质多元连续函数的运算性质性质性质1 1多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零时）多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零时）仍为多元连续函数仍为多元连续函数性质性质2 2多元连续函数的复合函数仍为多元连续函数多元连续函数的复合函数仍为多元连续函数四、多元初等函数的连续性四、多元初等函数的连续性定理定理一切多元初等函数都在其定义区域内连续一切多元初等函数都在其定义区域内连续注注定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域例例6 6.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 若点若点),(yx沿着无穷沿着无穷多条平面曲线趋向于多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ay