【高中数学】不等式证明方法ppt课件

1、不 等 式 的 证 明天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696321【例例1】已知已知a0a0，b0b0，求证：，求证：a3+b3a2b+ab2.(.(课本课本P12P12例例3)3)即即a3+b3a2b+ab2. .证明一：证明一：比较法（作差）比较法（作差）（a3+b3）- -（a2b+ab2）=（a3- - a2b）+（b3- -ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)a0a0，b0b0，( a- -b)2(a+b)0.故（故（a3+b3）- -（a2b+ab2）0,a+b00，而，而( a- -b)20.=( a- -b)2(a+b).=(a

2、-b)( a2- -b2)天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696322故故a3+b3a2b+ab2. .2233abbaba 证明二：证明二：比较法（作商）比较法（作商）a2+b22ab，ababab2 ababba22 )ba(ab)abba)(ba(22 1 又又a0a0，b0b0，所以，所以ab00，3所以有所以有a3+b3a2b+ab2. .证明三：分析法证明三：分析法欲证欲证a3+b3a2b+ab2，只需证明只需证明(a+b)(a2+b2- -ab)ab(a+b).由于由于a0a0，b0b0，所以所以a+b00，故只要证明故只要证明a2+

3、b2- -abab即可。即可。即即证明证明a2+b22ab.而而a2+b22ab 显然是成立的显然是成立的天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696324即即a3+b3a2b+ab2.证明四：综合法证明四：综合法a2+b22ab，a2+b2- -abab.又又a0a0，b0b0， a+b00，故故(a+b)(a2+b2- -ab)ab(a+b).天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696325【例例2】已知已知a0a0，b0b0，求证：，求证：课课本本习习题题改改变变）.(baabba22 证明一：比较法（作差

4、）证明一：比较法（作差）) ba (abba22 baabba22 所所以以，0 ab)ba()ba(2 ab)ba)(ba(22 ab)ab(b)ba(a22 ababbaba2233 天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696326证明二：比较法（作商）证明二：比较法（作商）baabba22 而而a0a0，b0b0，所以，所以a+b0.a+b0. baabba22 故故1 ababab2 ababba22 )ba(abba33 7证明四证明四:综合法综合法b2aab2 同理同理a2bba2 b2a2aabbba22 baabba22 即即0b, 0

5、a 8a1a2a3an,b1b2b3bn,a1bn+a2bn-1+ + an-1b2+anb1.a1b2+a2b3+ + an-1bn+anb1则则a1b1+ +a2b2+a3b3+ +anbn9【例例3】求证求证: :(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).证明一：证明一：(比较法比较法)(ac+bd)2- -(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).=2abcd- - a2d2- -b2c2=(a2c2+b2d2+2abcd)- -(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2)=- -(ad- -bc)20.0.10证明二：证明二：(分析法分析法)证明三

6、：证明三：(综合法综合法)一般地一般地,对任意实数对任意实数ai,bi(i=1,2,3, ,n),都有都有:(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn) 2.( (柯西不等式柯西不等式) )11【例例4】设设-1a1,-1b1,-1a1,-1b1,求证求证: : . .ab12b11a1122 证明一证明一:比较法比较法(作差作差)ab12b11a1122 )ab1)(b1)(a1 (ba2b2a22baaba1ababb12222223232 )ab1)(b1)(a1()b1)(a1(2)ab1)(a1()ab1)(b1(222222 12)ab1)(

7、b1)(a1(ba2baabab2ba22223322 )ab1)(b1)(a1()ba(ab)ba(2222 )ab1)(b1)(a1()ab1()ba(222 13-1-1a1,-1-1b0， 1- -a20,1- -b20, 1- -ab0.所以所以，(1-(1-a2)(1-)(1-b2)(1-ab)0,)(1-ab)0, 14证明二证明二:分析法分析法证明三证明三:综合法综合法a2+ +b22ab, 2ab, 22b11a11 ab12)ab1 (122 2222baba112 22b11a112 -a2- -b2-2ab.-2ab.从而从而01+00.1-ab0.15证明四证明四:换

8、元法换元法设设a=sin,b=,b=sin,则则 2222sin11sin11b11a11ab12sinsin12 |sinsin)cos(|2 |coscos|2coscos|coscos|222 22222222coscoscoscos)sin1)(sin1 ()sin1 ()sin1 (16思考思考 6422aaa1a11 )ba()ba()ba(2b11a1166442222ab12 6422bbb1b112+2ab+22+2ab+2a2b2+ + =2(1+ab+=2(1+ab+a2b2+ +) )17【例例5】设设a0,b0,a0,b0,且且a+b=1,a+b=1,求证：求证：32

9、1b41a4 证明一证明一(分析法分析法)12)1b4)(1a4(2)1b4()1a4( 3)1b4)(1a4( (4a+1)(4b+1) 9916ab+4a+4b+1916ab+4a+4b+19 41ab 321b41a4 18证明二证明二(综合法综合法)因为因为a0,b0,a0,b0,且且a+b=1,a+b=1,所以所以, 2b22)1b4(3)1b4(3 , 2a22)1a4(3)1a4(3 从而从而 + + . .1a4 1b4 3236)2b2()2a2(31 19【例例6】已知已知m0,m0,求证求证: :m+ 33.2m4证明一证明一(比较法比较法)m+ - -3=2m4223m4m3m m+2m4330 22m)1m()2m( 2223m4mm2m 20证明二证明二(综合法综合法)m+ = 2m42m42m2m 证明三证明三(函数思想函数思想)设设f(x)=x+ ,则则f (x)=1- ,- ,令令f(x)=0,得得: x=2.2x43x8当当0 x22时时, f (x)0.2 2时时, f (x)0.0.所以当所以当x=2时时, , f(x)取到最大值取到最大值3, 故当故当m0m0时时, ,有有 m+ 3.3. 2m4