连续函数及其性质ppt课件

1、48-148-148-248-248-348-348-448-448-548-548-648-648-748-7例2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf48-848-948-948-1048-10例例2.6.7.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx ,

2、1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对任意的对任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy48-1100limsinsin;xxxx00lim coscos;xxxx48-1248-1248-1348-1348-1448-141.跳跃间断点.的跳跃间断点为函数则称点但存在,右极限都处左,在点如果 )(),0()0()(0000 xfxxfxfxxf 例4.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解, 0)00( f, 1)00( f),00()

3、00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy48-152.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例2.6.7.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 48-16),1(f 解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx.0为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可

4、去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.48-17如上例中如上例中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf特点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy11248-18例6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxfoxy解, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间3.无穷间断点：无穷间断点：如果如果 在点在点 处左

5、、右极限处左、右极限)(xf0 x至少有一个为无穷大，则称点至少有一个为无穷大，则称点 为函数为函数 的的无无0 x穷间断点穷间断点.)(xf48-194 4、振荡间断点：如果、振荡间断点：如果 在点在点 处处无极限且函数值在某两个最值间变动无极限且函数值在某两个最值间变动无限多次，则称无限多次，则称 为函数为函数 的振的振荡间断点荡间断点. .)(xf0 x0 x)(xf48-20 xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨

6、论函数讨论函数 xxxf例例2.6.848-21o1x2x3xyx xfy 在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断, 但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型: , 1, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxf函数函数48-22例例2.6.9.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处

7、连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a48-23例例2.6.10函数函数 在点在点 是否间断是否间断? ?属于那种类型属于那种类型? ?能否补充或改变函数在该能否补充或改变函数在该点定义使之连续点定义使之连续? ?解 函数函数 在点在点 没有定义没有定义, ,所以所以 是函数的间断点是函数的间断点. .对于对于 , .xxysin kx , 2, 1, 0( k)xxysin kx , 2, 1, 0( k)kx 0 k0 x48-24因为因为 ,所以所以 是第一类间断点是第一类间断点 .令令 ,即可使函数在即可使函数在 处连续处连续.对于对于 ,因为因为 ,所以所以 是第二类是第二类间断点

8、且为无穷间断点间断点且为无穷间断点 . 1sinlim0 xxx0 x1)0( f0 x0 k xxxsinlim0)0( kkx 48-2548-2648-2648-2748-2720,1,lim1,1,1.nnxxxx48-2848-281,11,( )1,1,0,11.xxf xxxx 或48-2948-2948-3048-3048-3148-31定理定理2.6.4).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若证证,)(连续连续在点在点auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有时时使当使当 afufau,

9、)(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx48-32.)(成立成立恒有恒有 auax将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xxx 48-33意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解48-34例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1l

10、n(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 48-35.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理2.6.5例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy48-3648-3748-37三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义

11、域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在48-38定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .48-391.

12、初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.48-40例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxx

13、x原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx48-41小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.48-42思考题思考题 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.48-43思考题解答思考题解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf

14、1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点 0, 10, 00, 1)(xxxxf48-44等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理).limlim,lim, 则则存在存在且且设设证 lim)lim( limlimlim.lim 48-4548-4648-46例例2.6.16.cos12tanlim20 xxx 求求解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小

15、代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意48-47例例2.6.17.2sinsintanlim30 xxxx 求求解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 错 48-480()0型48-4948-49()型(0)型48-5048-50小结小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上

16、的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)51函数与极限可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x52函数与极限思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？53函数与极限思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxf

17、xx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.54函数与极限但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续55函数与极限48-5648-5648-5748-5748-5848-5848-5948-5948-6048-6048-6148-61( )f bbxoya)(xfy ( )f a48-6248-6248-6348-6348-6448-

18、6448-6548-6548-6648-6648-6748-67例例2.6.262.6.26.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即48-68小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;48-69思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.48-70思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(内连续内连续,.