导数用于单调性和极值问题

1、实用文案专题十四、导数用于单调性和极值问题题型一利用导数判断函数的单调性1.证明：函数f(x)在区间上单调递减题型二利用导数求函数的单调区间2.求下列函数的单调区间(1)f(x)x3x；(2)yexx1.3.求函数yx2ln x2的单调区间题型三已知函数单调性求参数的取值范围4.已知函数f(x)x2(x0，常数aR)若函数f(x)在x2，)上是单调递增的，求a的取值范围5.(1)已知函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为1,2，求b，c的值(2)设f(x)ax3x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围题型四用单调性与导数关系证不等式6.当x0时，证明不等式ln(x1)xx2.7.当0x时，

2、求证：xsin xx3.题型五、函数的极值问题8下列函数存在极值的是()Ay2xByCy3x1Dyx29设函数f(x)lnx，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点10若函数yf(x)是定义在R上的可导函数，则f(x0)0是x0为函数yf(x)的极值点的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11函数yx·ex的最小值为_12若函数f(x)(a>0)在1，上的最大值为，则a的值为_题型六、利用极值求参数范围13.已知函数f(x)asinxbcosx在x时取得极值，则函数yf(x)是(

3、)A偶函数且图象关于点(，0)对称B偶函数且图象关于点(，0)对称C奇函数且图象关于点(，0)对称D奇函数且图象关于点(，0)对称14已知函数f(x)x3ax2bxc，f(x)在x0处取得极值，并且在区间0,2和4,5上具有相反的单调性(1)求实数b的值；(2)求实数a的取值范围题型七、导数用于解决实际问题15用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6B8C10D1216一工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C2元，产

4、品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)设每年每台的库存费为C1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床_台，一年中库存费和生产准备费之和最小题型八、图像问题17.二次函数yf(x)的图象过原点且它的导函数yf (x)的图象是如图所示的一条直线，yf(x)的图象的顶点在()A第象限B第象限C第象限D第象限18.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如下图所示，则导函数yf (x)的图象可能是()巩固练习：19.定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f (x)>，则满足2f(x)<x1的x的集合为()Ax|1<x<

5、;1Bx|x<1Cx|x<1或x>1Dx|x>120函数f(x)sinx2xf()，f(x)为f(x)的导函数，令a，blog32，则下列关系正确的是()Af(a)>f(b)Bf(a)<f(b)Cf(a)f(b)Df(|a|)<f(b)21.若关于x的方程x33xm0在0,2上有根，则实数m的取值范围是()A2,2B0,2C2,0D(，2)(2，)22.已知函数f(x)ax3ax22ax2a1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是_23.已知函数f(x)x33x，若过点A(1，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，则实数m的取值范围为_三、解答题

6、24求证：x>0时，12x<e2x.25.设函数f(x)alnx，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性. 26已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长27.已知函数f(x)lnx，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值28设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x>0时，(xk)f (x)x1>0，求k的最大值专题十四、导数

7、用于单调性和极值问题参考答案1.证明f(x)，又x，则cos x<0，xcos xsin x<0，f(x)<0，f(x)在上是减函数2.解(1)f(x)3x21(x1)(x1)，令f(x)>0，则x和，令f(x)<0，则x.f(x)x3x的单调增区间为和，单调减区间为.(2)yex1，令y>0，即ex1>0，则x(0，)；令y<0，即ex1<0，则x(，0)，yexx1的单调增区间(0，)，单调减区间为(，0)3.解函数yf(x)x2ln x2的定义域为(，0)(0，)，又f(x)2x，f(x)，f(x)的取值变化情况如下表：x(，1)1(

8、1,0)(0,1)1(1，)f(x)00f(x)11由上表可知，函数f(x)x2ln x2在区间(1,0)，(1，)上单调递增；在区间(，1)，(0,1)上单调递减4.解f(x)2x.要使f(x)在2，)上是单调递增的，则f(x)0在x2，)时恒成立，即0在x2，)时恒成立x2>0，2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立a(2x3)min.x2，)，y2x3是单调递增的，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)有且只有f(2)0，a的取值范围是(，165.解(1)函数f(x)的导函数f(x)3x22bxc，由题设知1<x<2是不等式3x22bxc<

9、0的解集1,2是方程3x22bxc0的两个实根，12b，(1)×2，即b，c6.(2)f(x)3ax21，且f(x)有三个单调区间，方程f(x)3ax210有两个不等的实根，024×1×3a>0，a<0.a的取值范围为(，0)6.审题指导 利用导数证明不等式，首先要构造函数f(x)ln(x1)xx2，证明f(x)在(0，)上单调增，由f(x)>f(0)0证得规范解答 令f(x)ln(x1)xx2，(4分)则f(x)1x.(6分)当x(0，)时，f(x)0，f(x)在(0，)上是增函数(8分)于是当x0时，f(x)f(0)0，当x0时，不等式ln(

10、x1)xx2成立(12分)7.证明设g(x)xsin xx3，x，g(x)1cos xx22.x，0sin xx，sin22，g(x)0，g(x)在上单调递减，g(x)g(0)0，xsin xx3.8.答案D解析画出图像即可知yx2存在极值f(0)0.9.答案D解析本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题f(x)(1)0可得x2.当0<x<2时，f(x)<0，f(x)递减，当x>2时f(x)>0，f(x)单调递增所以x2为极小值点对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域10.答案B解析如yx3，y3x2，y|x00，但x0不是函数yx3的极值点11.答案解析

11、y(x1)ex0，x1.当x<1时，y<0，当x>1时y>0yminf(1)12.答案1解析f(x).当x>时f(x)<0，f(x)在(，)上是递减的，当<x<时，f(x)>0，f(x)在(，)上是递增的当x时，f()，<1，不合题意f(x)maxf(1)，解得a1.13.答案D解析f(x)的图象关于x对称，f(0)f()，ba，f(x)asinxbcosxasinxacosxasin(x)，f(x)asin(x)asin(x)asinx.显然f(x)是奇函数且关于点(，0)对称，故选D.14.解析(1)由导数公式表和求导法则得，f(

12、x)3x22axb，因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即得b0.(2)令f(x)0，即3x22ax0，解得x0或xa.依题意有a>0.因为函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性，所以应有2a4，解得6a3.15.答案B解析设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得Vx(482x)2(0<x<24)，V12(24x)(8x)令V0，则在(0,24)内有x8，故当x8时，V有最大值16.答案解析设每批生产x台，则一年生产批一年中库存费和生产准备费之和yC1x(0<x<N)yC1.由y0及0<x<N，解得x(台)根据

13、问题的实际意义，y的最小值是存在的，且y0有唯一解故x台是使费用最小的每批生产台数17.答案A解析设f(x)ax2bxc，二次函数yf(x)的图象过原点，c0，f (x)2axb，由yf (x)的图象可知，2a<0，b>0，a<0，b>0，>0，>0，故选A.18.答案A解析f(x)在(，0)上为增函数，在(0，)上变化规律是减增减，因此f (x)的图象在(，0)上，f (x)>0，在(0，)上f (x)的符号变化规律是负正负，故选A.19.答案B解析令g(x)2f(x)x1，f (x)>，g(x)2f (x)1>0，g(x)为单调增函数，

14、f(1)1，g(1)2f(1)110，当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<x1，故选B.20.答案A解析f(x)cosx2f( )，f()cos2f()，即f().f(x)sinxx.又f(x)cosx10，故f(x)在R上递减又<log32，f()>f(log32)，即f(a)>f(b)21.答案A解析令f(x)x33xm，则f (x)3x233(x1)(x1)，显然当x<1或x>1时，f (x)>0，f(x)单调递增，当1<x<1时，f (x)<0，f(x)单调递减，在x1时，f(x)取极大值f(1)m2，在x1时

15、，f(x)取极小值f(1)m2.f(x)0在0,2上有解，2m2.22.答案(，)解析f (x)ax2ax2aa(x1)(x2)，由f(x)的图象经过四个象限知，若a>0，则此时无解；若a<0，则<a<，综上知，<a<.23.答案(3，2)解析f (x)3x23，设切点为P(x0，y0)，则切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，切线经过点A(1，m)，m(x3x0)(3x3)(1x0)，m2x3x3，m6x6x0，当0<x0<1时，此函数单调递增，当x0<0或x0>1时，此函数单调递减，当x00时，m3，当x01时，m2，当3

16、<m<2时，直线ym与函数y2x3x3的图象有三个不同交点，从而x0有三个不同实数根，故过点A(1，m)可作三条不同切线，m的取值范围是(3，2)24.分析利用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一，而函数的单调性，可利用其导函数的符号确定解析设f(x)12xe2x，则f(x)22e2x2(1e2x)当x>0时，e2x>1，f(x)2(1e2x)<0，所以函数f(x)12xe2x在(0，)上是减函数当x>0时，f(x)<f(0)0，即当x>0时，12xe2x<0，即12x<e2x.25.解析(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)a0

17、，f(x)，根据导数的几何意义，所求切线的斜率kf(1)，而f(1)0.所求切线方程为y(x1)，即x2y10.(2)f(x)1°当a0时，f(x)>0，f(x)在(0，)递增令g(x)ax22(a1)xa4(a1)24a28a42°当a>0时，>0，此时g(x)0的两根x1，x2a>0，x1<0，x2<0.g(x)>0，x(0，)，f(x)>0故f(x)在(0，)递增3°当a<0时，8a40，即a时，g(x)0，f(x)0.故f(x)在(0，)递减当>0，即<a<0时，x1>0，x2&

18、gt;0令f(x)>0，x(x1，x2)，f(x)<0，x(0，x1)(x2，)f(x)在(x1，x2)递增，在(0，x1)和(x2，)上递减综上所述：当a0时，f(x)在(0，)递增当<a<0时，f(x)在(x1，x2)递增，在(0，x1)和(x2，)递减(其中x1，x2)当a时，f(x)在(0，)递减26.分析如图，设出AD的长，进而求出|AB|表示出面积S，然后利用导数求最值解析设矩形边长为AD2x，则|AB|y4x2，则矩形面积S2x(4x2)(0<x<2)，即S8x2x3，S86x2，令S0，解得x1，x2(舍去)当0<x<时，S>0；当<x<2时，S<0，当x时，S取得最大值，此时，S最大，y.即矩形的边长分别为、时，矩形的面积最大点评本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长27.解