重庆邮电大学_信号与系统_杨晓非版_课件

1、2.1 LTI连续系统的连续系统的经典时域分析法经典时域分析法2.2 LTI离散系统的离散系统的经典时域分析法经典时域分析法2.3 LTI连续系统的连续系统的单位冲激响应单位冲激响应2.4 LTI离散系统的离散系统的单位序列响应单位序列响应2.5 卷积卷积2.6 卷和卷和S一、一、 微分方程的经典解微分方程的经典解如果如果单输入一单输出单输入一单输出系统的系统的LTI连续系统激励为连续系统激励为f(t)，响应为，响应为y(t)，则系统的数，则系统的数学模型是学模型是n 阶线性常系数微分方程。阶线性常系数微分方程。nn(i )( j )iji 0j 0a y (t)b f(t) 该方程的该方程的

2、全解（系统的输出全解（系统的输出）由两部分组成：）由两部分组成：l 齐次解齐次解yh(t)l 非齐次特解非齐次特解yp(t)hpy(t )y (t )y (t )ai 和和bj 为常数，且为常数，且an=11、齐次解、齐次解yh(t)( n )( n 1 )n 110y(t )ay(t )a y (t )a y(t )0 的解的解nn 110aa0 齐次微分方程的特征根：特征方程的齐次微分方程的特征根：特征方程的 n 个根个根i (i=1，2，n) ； 齐次解齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定；的函数形式由特征根确定；特征方程特征方程解：解：特征方程为特征方程为2560 特征根为特征根为1

3、22,3 求微分方程的齐次解，已知求微分方程的齐次解，已知: :( )5( )6( )( )ytyty tft(0)1,(0)1hhyy齐次解一般形式为齐次解一般形式为:12tt2t3th1212y (t )C eC eC eC e 代入初始条件得代入初始条件得:2t3th2y (t )4e3C eC1=4C2= -3得到齐次解得到齐次解:2、特解、特解yp(t)l 是是t0t0微分方程的一个解；微分方程的一个解；l 特解的函数形式特解的函数形式与与激励函数（激励函数（f(t)f(t)）的形式）的形式有关，有关，; ;l 选定特解后，将其代入到微分方程，求出各待定系数选定特解后，将其代入到微分

4、方程，求出各待定系数P Pi i3、完全解、完全解 微分方程的完全解是齐次解与特解之和。若微分方程的特征根微分方程的完全解是齐次解与特解之和。若微分方程的特征根均为单实根，则其全解为：均为单实根，则其全解为：inthpipi 1y(t )y (t )y (t )C ey (t ) 解解：（：（1 1）求齐次解）求齐次解齐次解一般形式：齐次解一般形式：12tt2t3th1212y (t )C eC eC eC e 求微分方程求微分方程 的全解的全解( )5( )6( )( )ytyty tft(0 )1,(0 )2,( )20tyyf tet 已知：已知：特征方程为：特征方程为：2560 122

5、 ,3 (2) (2) 求特解求特解( )2( )ttpf teytPe代入原微分方程代入原微分方程562ttttPePePee1( )tpPyte(3) 求全解求全解12C3,C2 2t3tty(t )3e2ee 齐次解齐次解特解特解自由响应自由响应强迫响应强迫响应inthpipi 12t3tt12y(t )y (t )y (t )C ey (t )C eC ee inthpipi 12t3tt12y(t )y (t )y (t )Cey (t )C eC ee l 齐次解的函数齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的形式仅依赖于系统本身的特性，与激励特性，与激励f(t)f(t)的函数形式无关，称

6、为的函数形式无关，称为系统的系统的自由响应或固有响应自由响应或固有响应。但。但齐次解的齐次解的系数系数C Ci i的值是与激励的值是与激励f(t)f(t)有关。有关。l 特解特解的函数形式由激励信号的函数形式由激励信号f(t)f(t)确定，确定，称为称为强迫响应强迫响应。 二、初始值的确定二、初始值的确定l 若输入若输入f(t) 是在是在t=0 时刻接入，怎么确定求时刻接入，怎么确定求待定系数待定系数所需的一组初始条件？所需的一组初始条件？l 初始条件初始条件：指：指 t=0+ 时刻的值，即时刻的值，即 y(j)(0+) (j = 0，1，n1)。l t =0 时，激励尚未接入，时，激励尚未接

7、入，t =0 时的值时的值y(j)( 0) 反映了系统过去的历史状况；反映了系统过去的历史状况；l t = 0+时，激励已接入，因而时，激励已接入，因而 y(j)(0+) 则已包含输入信号的作用。则已包含输入信号的作用。要求要求l 如何由已知的初始状态如何由已知的初始状态 y(j) ( 0)，设法求得初始条件，设法求得初始条件y(j) (0+)。问题问题解决方法解决方法初始值确定的两种情况：初始值确定的两种情况：l 若给定的是具体电路若给定的是具体电路，根据电路分析中的换路定律来确定，根据电路分析中的换路定律来确定t=0+初始条件；初始条件；l 若给定的是微分方程和初始条件若给定的是微分方程和

8、初始条件，根据激励信号的情况，利用微分方程两端，根据激励信号的情况，利用微分方程两端各各奇异信号相平衡奇异信号相平衡的方法来判断；的方法来判断；已知：已知：)()(, 1)0(, 2)0(ttfyy已知系统的微分方程为：已知系统的微分方程为：)()( 2)()( 4)( tftftytyty求求)0(y)0(y和和已知：已知：)()(, 2)0(, 0)0(ttfyy已知系统的微分方程为：已知系统的微分方程为：)(6)( 2)(2)( 3)( tftftytyty求求)0(y)0(y和和三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应l LTI系统的完全响应系统的完全响应 y(t) ：可分

9、解为：可分解为零输入响应零输入响应与与零状态响应零状态响应之和。之和。l 零输入响应零输入响应yx(t) ：激励为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应；激励为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应；l 零状态响应零状态响应yf(t)：系统初始状态为零时，仅由输入信号系统初始状态为零时，仅由输入信号 f(t) 所引起的响应；所引起的响应；( )( )( )xfy ty tytl 微分方程式是齐次方程，微分方程式是齐次方程， y yx x(t)(t)与齐次解与齐次解y yh h(t)(t)形式相同；形式相同；l 求解的待定系数直接由给定的求解的待定系数直接由给定的t=0t=0- -初始状态初始状态y

10、 y(j)(j)(0(0-) )确定；确定；l 零输入响应是齐次微分方程满足初始状态（或零输入响应初值）的解零输入响应是齐次微分方程满足初始状态（或零输入响应初值）的解( n )( n 1 )n 110y(t )ay(t )a y (t )a y(t )0 1、零输入响应、零输入响应yx(t) 右端为零右端为零已知：已知：1)0(, 2)0(yy已知系统的微分方程为：已知系统的微分方程为：0)(2)( 3)( tytyty求零输入响应求零输入响应激励信号：激励信号：)()(2tetft已知微分方程为：已知微分方程为：)(2)(3)(5)(3)( 4)( tftftftytyty求求: :系统的

11、零状态响应系统的零状态响应y yf f(t)(t)冲激平衡法冲激平衡法差分方程的经典解分为差分方程的经典解分为齐次解齐次解yh(k)和和特解特解yp(k)。( )( )( )hpy kykyk00()()(1,)nmijnija y kib f kjamn n阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程110()(1)(1)( )0ny knay kna y ka y k n阶前向齐次差分方程阶前向齐次差分方程 特解特解与激励与激励 f(k) 的形式相关，常见激励的几种形式和相应的响应形式如下表：的形式相关，常见激励的几种形式和相应的响应形式如下表：激励激励f(k)f(k)特解特解y yp p(k

12、)(k)km Pmkm + Pm-1km-1 + P1k + P0 所有特征根不等于所有特征根不等于1 krPmkm+ Pm-1km-1+ P1k1+ P0 r重等于重等于1的特征根的特征根ak P0ak a不等于特征根不等于特征根 P1kak+P0ak a等于特征单根等于特征单根 Prkrak+ Pr-1kr-1ak-1+ P1kak+ P0ak a是是r重特征根重特征根Acos(k)或或 Asin(k) P1cos(k)+P2sin(k) 所有的特征根均不等于所有的特征根均不等于e ejj 或或Pcos(k) 其中，其中， Pej=P2+jP2 kP1cos(k)+P2sin(k) 当特征

13、根均等于当特征根均等于e ejj2、差分方程的特解、差分方程的特解 LTI差分方程的完全解：差分方程的完全解：3、差分方程的完全解、差分方程的完全解( )( )( )hpy ky kyk激励信号：激励信号：)(2)(kkfk已知某离散时间系统的差分方程为：已知某离散时间系统的差分方程为：)() 2(2) 1(3)(kfkykyky，y(0)=0，y(1)=2，求，求:系统的完全解。系统的完全解。LTI离散系统的全响应离散系统的全响应y(k)分为：分为： 零输入响应零输入响应yx(k) 和和零状态响应零状态响应yf (k) 。( )( )( )xfy ky kykl 零输入响应零输入响应yx(k

14、) ：当激励为零时完全由初始状态所引起的系统响应；当激励为零时完全由初始状态所引起的系统响应；l 零状态响应零状态响应yf (k) ：当初始状态为零时完全由激励当初始状态为零时完全由激励 f(t) 所引起的系统响应。所引起的系统响应。1、零输入响应、零输入响应yx(k) 用齐次解的经典求解方法求零输入响应用齐次解的经典求解方法求零输入响应10)(0nnixiaikya是齐次方程，是齐次方程，yx(k)与与 yh(k)具有相同的模式具有相同的模式描述某离散系统的差分方程为：描述某离散系统的差分方程为：(2) 5 (1) 6 ( )0y ky ky k初始条件为初始条件为 yx(0) = 2，yx

15、(1) = 3, 试求其零输入响应。试求其零输入响应。2、零状态响应、零状态响应yf(k) 以下通过举例来说明经典法求解零状态响应的方法：以下通过举例来说明经典法求解零状态响应的方法：描述某离散系统的差分方程为：描述某离散系统的差分方程为：已知：已知： , 试求其零状态响应。试求其零状态响应。)(2)(kkfk)()(1 . 0) 1(7 . 0) 2(kfkykykyl 自由响应与零输入响应都是齐次解的形式，但它们的自由响应与零输入响应都是齐次解的形式，但它们的系数系数并不相同；并不相同；l Cxi仅由初始状态所决定；仅由初始状态所决定；l Cfi仅由输入激励仅由输入激励f(t)所决定，所决

16、定，l Ci是由是由起始状态和激励共同起始状态和激励共同决定。决定。111nnnkkkiixiifiiiiiCCC其中，其中，)()()()()()()(111kyCCkyCkykykykykypnikifinikixipnikiifxph某离散系统的差分方程为：某离散系统的差分方程为：已知：已知： , 初始状态初始状态y(-1)=0， y(-2)=1/2，试求系统的全响应。试求系统的全响应。)(2)(kkfk)() 2(2) 1(3)(kfkykyky本节解决两个问题：本节解决两个问题：l 单位冲激响应和单位阶跃响应的概念；单位冲激响应和单位阶跃响应的概念；l h(t)的求取方法的求取方法零

17、状态零状态系统系统f(t )(t ) fy (t)h(t) 注意：注意：为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表代表yf(t)。00y (t )a y(t )b f (t ) 00f (t )(t )h (t )a h(t )b(t ) 当当时时此方法适用于此方法适用于简单电路简单电路，前提是阶跃响应，前提是阶跃响应g(t)简单易求。简单易求。（1） 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解利用阶跃响应与冲激响应的关系求解某二阶某二阶LTI系统的微分方程为：系统的微分方程为：试求其单位冲激响应试求其单位冲激响应h(t) 。)()(6)(5

18、)( tftytyty注意两点：注意两点：1、初始值的确定：、初始值的确定：n阶微分方程，右端只含有激励阶微分方程，右端只含有激励f(t)()()()()(01) 1(1)(tftyatyatyatynnn )()()()()(01) 1(1)(tthathathathnnn t=0+的初始值为：的初始值为：2,.,2 , 1 , 00)0(1)0()(1njhhjn1)()(0)(0)(nmjjjniiiatfbtya2、微分方程的右端由激励微分方程的右端由激励f(t)及其各阶导数的线性组合时：及其各阶导数的线性组合时：)(.)()()(00)1(01)(0thbthbthbthmmmm设微

19、分方程右端仅有设微分方程右端仅有f(t)时的冲激响应为时的冲激响应为h0(t)本节解决两个问题：本节解决两个问题：l 单位序列响应单位序列响应和单位阶跃响应的概念；和单位阶跃响应的概念；l h(k)的求取方法的求取方法l 单位序列响应单位序列响应h(k)：离散系统的激励信号为离散系统的激励信号为 (k)(k)时的零状态响应；时的零状态响应；l 单位阶跃响应单位阶跃响应g(k)：离散系统的激励信号为离散系统的激励信号为(k)(k)时的零状态响应；时的零状态响应；零状态零状态系统系统( )f k( )k=( )fyk( )h k=(k)g(k)() 1()() 1(kcfkbfkayky)() 1

20、()() 1(kckbkagkg)() 1()() 1(kckbkahkh1、利用单位阶跃响应与单位序列响应的关系求、利用单位阶跃响应与单位序列响应的关系求h(t)(k)g(k)( )k( )h k=(k)=g(k)2、利用差分方程的经典求解法求解、利用差分方程的经典求解法求解(2) 5 (1)6 ( )(2) 3 ( )y ky ky kf kf k求下列差分方程的单位序列响应求下列差分方程的单位序列响应110( )(32) (1)kkorh kk1111(32) (1)3(32) (1)kkkkkk00( )(2)3( )h khkhk11( )6(3)2(1)kkkk注意两点：注意两点：

21、1、初始值的确定：、初始值的确定：n阶差分方程阶差分方程)()() 1() 1()(011kfkyakyankyankyn )()() 1() 1()(011kkhakhankhankhn 初始条件为：初始条件为：0) 1(.) 1 () 0(1)(nhhhnh1)()(00nmjjniiajkfbikya2、差分方程的右端由序列差分方程的右端由序列f(k)及其各阶导数的线性组合时：及其各阶导数的线性组合时：)(.) 1()()(00010khbmkhbmkhbkhmm设微分方程右端仅有设微分方程右端仅有f(k)时的单位序列响应为时的单位序列响应为h0(k)2.5 2.5 卷积积分卷积积分本节

22、解决几个问题：本节解决几个问题： l LTI连续系统的零状态响应表示为卷积积分连续系统的零状态响应表示为卷积积分l 卷积的求取方法卷积的求取方法l 卷积的存在性卷积的存在性l 卷积的性质卷积的性质l 利用卷积求利用卷积求yf(t) 一、一、LTI连续系统的零状态响应表示为卷积积分连续系统的零状态响应表示为卷积积分1 1、卷积积分的定义、卷积积分的定义（1）任意信号）任意信号 f(t) 表示为冲激函数的积分表示为冲激函数的积分)(*)()()()(ttfdtftff(t)是其自身与是其自身与(t)(t)的卷积积分的卷积积分LTI零状零状态系统态系统f (t )fy (t )激励激励 f(t) 零

23、状态响应零状态响应 yf(t) fffff(t )(t )y (t )h(t )f(t )A (t)y (t )Ah(t)f(t )f( ) (t)y (t )f( )h(t)f(t )f( ) (t)dy (t )f( )h(t)d fffff(t)(t)y (t) h(t)f(t)A (t)y (t)Ah(t)f(t)f( ) (t)y (t)f( )h(t)f(t)f( ) (t)dy (t)f( )h(t)d 时不变性时不变性 齐次性齐次性 积分性积分性 fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) 结论：结论：零状态响应零状态响应

24、 yf(t)为激励信号与系统单位冲激响应的卷积积分为激励信号与系统单位冲激响应的卷积积分 (2) 关于关于h(t)l 是系统时域特性的一种描述；是系统时域特性的一种描述； l 可以用来计算零状态响应可以用来计算零状态响应yf(t)；fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) LTI为因果系统为因果系统f(t)为因果信号为因果信号二、卷积的基本计算方法二、卷积的基本计算方法1、图解法、图解法两个函数两个函数x1(t)和和x2(t)的波形如下图所示：的波形如下图所示：t01x (t )t02x

25、 (t ) 11 01x ( ) 02x (t) 0y(t )111tt 1212y(t )x (t ) x (t )x ( )x (t)d 1212y(t )x (t )x (t )x ()x (t)d y(t)是是x1()和和x2(t)波形相乘后组成的曲线与横轴波形相乘后组成的曲线与横轴之间构成的图形的面积。之间构成的图形的面积。总结卷积的图解法的步骤总结卷积的图解法的步骤（1）变量替换）变量替换：将自变量由：将自变量由 t变成变成 （2）反转：）反转：将将h()折叠成折叠成h()。注意注意：可将两函数的任意一个折叠。：可将两函数的任意一个折叠。（3）移位：）移位：将将h()移位成移位成h

26、(t), 由于由于t是变化的，这种移位是动态的，使两是变化的，这种移位是动态的，使两个函数从不重叠到重叠甚至脱离重叠；个函数从不重叠到重叠甚至脱离重叠；（4）相乘：）相乘： f()与与h(t)相乘；相乘；（5）积分：）积分：重叠区域进行积分；重叠区域的面积即为重叠区域进行积分；重叠区域的面积即为t时刻的卷积值；时刻的卷积值；注意注意：图解法是借助曲线图求解卷积积分，而不是绘图。此方法图解法是借助曲线图求解卷积积分，而不是绘图。此方法可清晰地判定积分的上下限。可清晰地判定积分的上下限。t0f(t)11t0h(t)0.51（2）反转：）反转：h()为为h() 0h() 0.51 两函数两函数f(t

27、)和和h(t)波形如图所示，试求卷积波形如图所示，试求卷积fy (t)f(t) h(t) 解解： （1 1）变量替换变量替换 011 0h( ) 0.51（4）分段求卷积：）分段求卷积： t0f ()hy(t )(t0)0 当当时时tt00111y(1tft )dt2( )h(t)222 当当0 0时时（3）将）将h()移位成移位成h(t)tt00111y(1tft )dt2()h(t)222 当当0 0时时tf ()h( ty (0t )0) 当当 2 2时时11 t11 t1y( t )d211( 2t )21t2f ()h( t)22 当当1 1时时tf( )h(ty(0t )0) 当当

28、2 2时时11 t11 t1y(t)d211(2 t)21t2f( )h(t)22 当当1 1时时11t11t1y( t )d211( 2t )21t2f ()h( t)22 当当1 1时时 00.51t t 00.51t t11t 0f( )hy(t)(t0) 0 当当时时t 0f( )hy(t)(t0) 0 当当时时（5）写出）写出y(t)表达式表达式 t0tt2t01t2y(t )1(2t )20 0 01 12 2t21012y(t )两函数两函数f(t)和和h(t)波形如图所示，试求卷积波形如图所示，试求卷积fy (t)f(t) h(t) t0f(t)11t0h(t)1122、函数式

29、计算法（卷积积分上下限的确定）、函数式计算法（卷积积分上下限的确定） 对于两个卷积信号有函数表达式，且不便于作出信号的图形，则可以采用对于两个卷积信号有函数表达式，且不便于作出信号的图形，则可以采用该方法，但关键的问题是如何确定卷积积分该方法，但关键的问题是如何确定卷积积分上下限。上下限。两函数两函数 f(t)=(t) 和和 h(t)=(t) ，试求其卷积。，试求其卷积。两函数两函数 f(t)=e-2t(t) 和和 h(t)=e-t(t) ，试求其卷积。，试求其卷积。两函数为：两函数为：)()(),2/()(sin)(tethttttft试求其卷积。试求其卷积。三、卷积积分的存在性三、卷积积分

30、的存在性y(t )f ()h(t)d 1、假定、假定f(t)与与h(t)不包含冲激不包含冲激。在任何有限时刻。在任何有限时刻t，若，若 则两函数的卷积则两函数的卷积存在。据此，可推出如下判定准则：存在。据此，可推出如下判定准则： ( )y t ( )tet()tet, （1）设两信号分别是设两信号分别是因果（或有始）因果（或有始）指数信号指数信号 和反因果（或有终）指和反因果（或有终）指数信号数信号 ，其中，其中， 为任意实数，则若为任意实数，则若 ，两信号的卷积不存在；，两信号的卷积不存在；若若 ，两信号的卷积存在。，两信号的卷积存在。 解解：（：（1 1）在）在( )()ttetet中，中

31、，1 ，故卷积不存在；，故卷积不存在；2( )()ttetet求求 和和 。（2） 在在2( )()ttetet中，中，1,2 ，故卷积存在。故卷积存在。将两无时限信号分解为：将两无时限信号分解为：( )f t( )h t2、两个、两个有始信号有始信号的卷积和两个有终信号的卷积一定存在；若的卷积和两个有终信号的卷积一定存在；若 和和 至少有至少有一个一个是时限信号，则两者的卷积一定存在。是时限信号，则两者的卷积一定存在。3、若、若 和和 都是无时限都是无时限信号，可将它们分解成有始信号与有终信号之和。信号，可将它们分解成有始信号与有终信号之和。( )f t( )h t( )h t( )f t4

32、、若、若 和和 含有冲激及其导数，可将它们先分离出来，然后单独处理。含有冲激及其导数，可将它们先分离出来，然后单独处理。( )( ) ( )( ) ()f tf ttf tt12122ttee判断判断 是否存在。是否存在。四、卷积的性质四、卷积的性质1、卷积的代数运算性质、卷积的代数运算性质(1) 交换律交换律f(t) h(t)h(t) f(t) (2) 分配律分配律1212f(t )h (t )h (t )f(t ) h (t )f(t ) h (t ) h1(t)f ( t )y( t )h2(t) h1(t)+ h1(t)f ( t )y( t )h1(t)y(t )h2(t)f (t

33、)h1(t)*h2(t)y(t )f (t )(3) 结合律结合律121212f(t) h(t) h (t)f(t)h(t) h (t)f(t) h(t)h (t) 121212f(t) h(t) h (t)f(t)h(t) h (t)f(t) h(t)h (t) 系统的系统的并联并联系统的系统的级联级联2、卷积的时移性、卷积的时移性)(*)()(thtfty)(*)()(*)()(000tthtfthttftty)(*)()(00tthttfty3、卷积的微积分运算性质、卷积的微积分运算性质(1) (1) 卷积的微分性质卷积的微分性质y (t)f (t) h(t)f(ty(t)f(t) h(

34、t) h(t) 设设则则 a a. .y(t)f (t) h(t)f(ty(t)f(t) h(t) h(t) 设设则则 a a. .y (t )f (t ) h(t )f (ty(t )f (t ) h(t ) h (t ) 设设则则a.a.t( 1)t( 1()01)( 1)( 1)y(t )y( )dy(ty(t )f(t )y(h(t )f(t ) h(t)d) 设设对对有有始始信信号号则则(2)(2)卷积的积分性质卷积的积分性质t( 1 )t( 1()01 )( 1 )( 1 )y(t )y()dy(ty(t )f(t )y(h(t )f (t ) h(t)d) 设设对对有有始始信信号

35、号则则t( 1)t( 1()01)( 1)( 1)y(t )y( )dy(ty(t )f(t )y(h(t )f(t ) h(t)d) 设设对对有有始始信信号号则则有始信号有始信号t( 1)t( 1()01)( 1)( 1)y(t)y( )dy(ty(t)f(t)y(h(t)f(t) h(t)d) 设设对对有有始始信信号号则则对两函数的条件对两函数的条件：连续、只有有：连续、只有有限的间断点、必须绝对可积限的间断点、必须绝对可积（3 3）卷积的微积分性质）卷积的微积分性质微积分性质：微积分性质：( 1)1)y(t )f(t ) h(t )f (t ) h(t )f (t ) g(g(t )h(

36、tt )f ( )g(t)d) 杜哈密尔积分：杜哈密尔积分：( 1)1)y(t)f(t) h(t)f (t) h(t)f (t) g(g(t) h(tt)f ( )g(t)d) 零状态响应也可由激励的一次导零状态响应也可由激励的一次导数数f (t)与单位阶跃响应与单位阶跃响应g(t)的卷的卷积求得。积求得。( 1)( 1)y(t)f (t) h(ty(t)f(t) h(t)f(t) h(t) 设设则则( 1)( 1)y(t)f (t) h(ty(t)f(t) h(t)f(t) h(t) 设设则则( 1)( 1)y(t )f (t ) h(ty(t )f(t ) h(t)f(t ) h(t) 设

37、设则则( 1 )1 )y(t )f (t ) h(t )f (t ) h(t )f (t ) g(g(t )h(tt )f ()g(t)d) ( 1 )1 )y(t )f (t ) h(t )f (t ) h(t )f (t ) g(g(t )h(tt )f ()g(t)d) ( 1)1)y(t)f(t) h(t)f (t) h(t)f (t) g(g(t)h(tt)f ( )g(t)d) 推论：推论：( ij )( i )( j )y(t )fy(t )f (t(t ) h(t )h(t ) 设设则则(ij )(i )( j )y(t )fy(t )f(t(t ) h(t )h(t ) 设设

38、则则i 和和 j 为为l 为正是求导；为正是求导；l为负是求积分为负是求积分h(t)和和f(t)皆为有始信号皆为有始信号 t0f(t )11t0h(t)10.5（1）求：）求：4、含有冲激函数、含有冲激函数(t)的卷积的卷积(1)(1)f(t)(t)f(t) t0f(t)t0f(t)t0(t) (1) (2)(2)00f(t)(t t )f(t t ) t0f(t )t0t00(tt ) (1) 0t0t0f(tt ) 11(3)122112f(tt )(tt )f(tt )(tt )f(ttt ) 1122211212f (tt ) f (tt )f (tt ) f (tt )y(ttt )

39、 则则12y(t)f (t) f (t) 若若已已知知（4）（5）f (t )(t )f (t ) 11f (t )(t )f(t ) 推论：推论：)()(*)()()(tfttfii)()(*)(0)(0)(ttftttfiii 为为l 正表示求导次数；正表示求导次数；l 负表示积分次数；负表示积分次数；（2）系统如图）系统如图1所示，激励所示，激励f(t)为图为图2所示信号时求响应所示信号时求响应y(t)。延迟延迟Tf (t )y(t ) 图图1图图2t0f(t )T(1)T -（3 3）已知：）已知：)()(),()(),1()()(thtftethttttft求2.6 卷和卷和本节解决

40、几个问题：本节解决几个问题： l LTI离散系统的零状态响应表示为卷和离散系统的零状态响应表示为卷和l 卷和的求取方法卷和的求取方法l 卷和的性质卷和的性质l 利用卷和求利用卷和求yf(k) 一、一、LTI离散系统的零状态响应表示为卷和离散系统的零状态响应表示为卷和任意离散信号任意离散信号 f(k) 可以表示为单位序列和的形式可以表示为单位序列和的形式:即：即：若若 f(k) 是是因果信号因果信号( )( ) ()nf kf nkn0( )( ) ()nf kf nkn( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)(2) (2)f kfkfkfkfkfk ( )( 2) (

41、2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)(2) (2)f kfkfkfkfkfk( )( ) ()nf kf nknLTI离散系统产生的零状态响应离散系统产生的零状态响应yf(k)( )( )kh k( ) ()( ) ()f nknf n h kn( )( ) ()( )( ) ()fnnf kf nknykf n h kn零状态零状态线性系统线性系统( )f k( )fykLTI离散系统离散系统:( )( ) ()fnykf n h kn( )( )( )fy kf kh k二、卷和的求法二、卷和的求法( )( ) ()fny kf n h knl 自变量由自变量由k变成变成nl

42、将将h(n)反折为反折为h(-n);l 将将h(-n)平移为平移为h(k-n);l h(k-n) 与与f(n) 相乘相乘;l 求各乘积之和求各乘积之和1、图解法、图解法求：求：011 223( )h kk011 2 323( )x kk44解：解：（1）改换）改换h(k)的自变量后反折迭得的自变量后反折迭得h(-n)01-1-223()hnn（2）平移得）平移得 h(k-n)01k+223()h knnk1k+223k011 2 323( )x nn441k+223k011 2 323( )x nn441k+223k011 2 323( )x nn441k+223k011 2 323( )x

43、nn441k+223k011 2 323( )x nn44（3）固定）固定x(n), 移动移动 h(k-n) 后求和后求和k0时，两信号不重合时，两信号不重合k=0 时时k=1 时时k=2 时时k=3 时时1k+223k011 2 323( )x nn44k=4 时，时，k=5 时，时，011 2 323( )x nn441k+223kk=6 时，时，011 2 323( )x nn441k+223kk=7 时，时，011 2 323( )x nn441k+223k2、数值法、数值法( )( )( )fykf kh k求：求：解：解：固定固定f(k) ,折迭折迭h(k)为为h(k-n)，作如下

44、运算，作如下运算0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 200k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 20221k ( )0,1,2,3,4( )2,3,1f kh k0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 203472k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2166133k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2298194k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2312155k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2446k 0 , 1 , 2 , 3 , 40 , 1 , 3 , 207k ( )0,2,7,13,19,15,4fyk3 3、算式法（逢十不进位乘法）、算式法（逢十不进位乘法）2 , 3 , 1求：求：解：解： 用算式法求解用算式法求解0 , 1 , 2 , 3 , 40 , 1 , 2 , 3 , 40 , 3 , 6 , 9 , 1 20 , 2 , 4 , 6 , 8()()()fykfkh k( )0,1, 2,3, 4( )2,3,1fkh k()0, 2, 7,13,19,15, 4fyk注意：注意