数值计算方法chap误差PPT课件

1、模型误差：实际问题的解与数学模型的解之差.观测误差：由观测所产生的数学问题（模型） 中参量（数据）的误差.截断误差：数学问题的准确解与数值方法所求 得的近似解之差. b)(a, )(12)()(2)()(311 fbfafabdxxfabIIRIIba舍入误差：计算过程中对数字的舍取所产生的误差.（计算机可以表示的数是有限的）第1页/共35页1.2.1绝对误差与相对误差的一个近似值的一个近似值为准确值为准确值设设xx*xxe *xxe *xxx * xx或或:绝绝对对误误差差:绝绝对对误误差差限限:可可以以表表示示为为.:绝绝对对误误差差限限不不唯唯一一注注1.2绝对误差、相对误差和有效数字第

2、2页/共35页例： 4 . 2 5 . 2 xx例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过5cm, 宽的误差不超过2cm, 如何表示？02. 010)( 05. 030)( 宽宽长长xy哪一个精度高？哪一个精度高？1 . 0e xx绝对误差：绝对误差：第3页/共35页相对误差：*xexeer 相对误差限： rer 两种误差限的关系：*xr rx * 002. 00016. 03005. 0)()(002. 01002. 0)()(* xyyxxxrr *2*2*1)()()(xexexexexxxxexexe 第4页/共35页1.2.2 有效数字位有效数字位有效数字有有则则如果如果为

3、为为整数，为整数，其中其中表示成规范形式：表示成规范形式：一般地，将一般地，将nxxxaamaaaxxnmimn ,10210, 9010. 0121数字。数字。的所有数字均称为有效的所有数字均称为有效位小数位小数的第一位非零数字到第的第一位非零数字到第从从位小数，位小数，准确到第准确到第则称则称的绝对误差限为的绝对误差限为如果近似值如果近似值nxnxxn ,1021第5页/共35页例如005800. 0 1021005800. 0 . 1*6 xx表示近似值表示近似值准确到小数点后第6位，有4位有效数字.4*10.145204600461452 2 .x.具有7位有效数字，其误差限374*1

4、0211021 xx准准确确到到哪哪一一位位有有效效数数字字绝绝对对误误差差限限 第6页/共35页有效数字和绝对误差限的关系（准确到哪一位）有效数字和绝对误差限的关系（准确到哪一位）位有效数字位有效数字有有则则如果如果为为为整数，为整数，其中其中表示成规范形式：表示成规范形式：nxxxaamaaaxxnmimn ,10210, 9010. 0121;, 0;, 0;, 0,1021位位准确到个位前的第准确到个位前的第准确到个位准确到个位位位准确到小数点后第准确到小数点后第若若nxnxnnxnxxn 4*1021)(,2376490 xx 且且例：例：.3*位有效数字位有效数字有有则则x第7页/

5、共35页的相对误差限满足的相对误差限满足若若反之反之相对误差限相对误差限为其为其则则位有效数字位有效数字有有的近似值的近似值若若定理定理*11121*,1021,)0(10. 01 . 1xanaaaaxxnmn 1110) 1( 21 nra .*位有效数字位有效数字至少具有至少具有则则nx111*102110. 011021| nmnnmaaax mnmnraax 102110. 010)1(21|111 第8页/共35页1.3数值计算中误差的传播1.3.1基本运算中的误差传播的近似值，则的近似值，则为为处可微，处可微，在点在点设设iinnxxxxxfxxxfy*2121),.,(),.,

6、( )().,( ).,().,()(*n1i*2*1*2*121*iinnnxexxxxfxxxfxxxfye )(),.,( ).,()()(*n1i*1*2*1*irniinrxexxfxxxxxfyyeye 第9页/共35页特别地，和、差、积、商的误差公式为： )()()()()()(22121211212121xexxxxexxxxxexexexxerrr )()()()()()(2121211221xexexxexexxexxxerrr )()()()()(1)(212122211221xexexxexexxxexxxerrr第10页/共35页 )()()()()()()()()(

7、212121212121xxxxxxxxxxxxrrrrrr 即和、差的绝对误差限不超过各数的绝对误差限之和，积、商的相对误差极限不超过各数的相对误差限之和.第11页/共35页1.3.2 算法的数值稳定性算法：预先设计计算问题近似解的运算顺序稳定性：在按一个算法的计算过程中，数据误差和舍入误差在计算过程中不增长，则称算法是稳定的；否则称算法是数值不稳定的.).,2, 1 ,0(5:10 ndxxxInn计算下列积分的近似值计算下列积分的近似值例例 10101111555ndxxdxxxxIInnnnn第12页/共35页算法*010018232155. 02 . 1ln51 IdxxI 取取).

8、, 2 , 1( 51 1 nInInn按公式按公式依次计算,21II近似值.nIInn151 第13页/共35页n(算法算法)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831*nI第14页/共35页估计估计nI0122222. 0)751901(21*14 I11100011116165551()

9、()nnnnxx dxIdxx dxnxn第15页/共35页算法 由于取 ) 1( 51) 1( 6121*nnIn按公式)1(511kkIkI )1 ,., 1,( nnk)., 2 , 1( 151 nnIInn计算0122222. 0)751901(21*14 I例如第16页/共35页n(算法算法)00.1823215510.0883922220.0580389230.0431387340.0343063350.0254683560.0243249170.0212326080.0188369990.01692617100.01536914110.01406339120.013016361

10、30.01184127140.01222222*nI0011. 0)901751(2114 01222222. 0)901751(21*14 I第17页/共35页0*00 eII 设设01*11*) 5(555eeIIIIennnnnnn nnkkeeee)51 ( ,51 01 分析什么原因：由算法)., 2 , 1( 511 nInInn对算法) 1, 1,( )1(511 nnkIkIkk第18页/共35页 关于数值稳定性的算法 一个程序往往要进行大量的运算才能得出结果，每一步的运算都可能会产生舍入误差。 在运算过程中，舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法；否则，就称之为

11、不稳定的算法。第19页/共35页1.4数值计算中应注意的问题1.4.1. 避免两个相近的数相减yxyexeyxer )()()(有效数字严重丢失。有效数字严重丢失。差很大差很大很接近时，差的相对误很接近时，差的相对误与与当当yx两数之差x-y的相对误差为第20页/共35页一般地， 当 x 充分大时，应作变换：xxxx 111)1(1111 xxxx当x接近零时，应作变换xxxxxxcos1sinsincos1 ,2sin2cos12 第21页/共35页 例：如用四位有效数字计算: 结果只有一位有效数字;如改为: : 有四位有效数字。避免了两个相近数的相减。.170130 0384048.170

12、1313 04130 04.11170130 0384013 041317013第22页/共35页 例：用四位浮点数计算解: : 只有一位有效数字, ,有效数字大量损失, ,造成相对误差扩大。结果仍然有四位有效数字。这说明了算法设计的重要性。 117 5 97 6 0225110.1318 100.1316 100.2 107597605611110.1734 10759760759 7600.5768 10第23页/共35页1.4.2.1.4.2.避免大数避免大数“吃吃”小数小数. . 计算机在进行运算时，首先要把参加运算的数对阶，即把两数都写成绝对值小于1而阶码相同的数。 如 ，必须改写成

13、 如果计算机只能表示8 8位小数，则算 出 ，大数“吃”了小数。 这种情况有时允许，有时不允许。 9101a10100.1 100.0000000001 10a100.1 10a第24页/共35页 例如: : 被大数吃掉了。如按 , , 就没有被吃掉。这也是构造算法时要注意的问题。1010,10, abca1010101010101010100abcb0acbbbb第25页/共35页 例:一元二次方程x2(109+1)x+109=0其精确解为 x1=109, x2=1。 如用求根公式: :和8 8位的计算机求解, ,有 及 ; ;则 的值与精确解差别很大。若用 因此, ,算法的选用很重要。21

14、,242bbacxa21891894104 101010 bac99101109999912( 10 )10( 10 )1010 ,022 xx2x292992422 1012( 10 ) 104 bbaccxabbac第26页/共35页1.4.3.1.4.3.避免除数绝对值远小于被除数的绝对值避免除数绝对值远小于被除数的绝对值 , , 当 时, ,舍入误差会扩大。例: : 的舍入误差均为 , ,而 , ,则的舍入误差为: :很小的数作除数有时还会造成计算机的溢出而停机。 2xyyxxyy xy , x y30.510 *710yx xy 7311214100.510151010 xxxx 第

15、27页/共35页1.4.4.简化计算，减少运算次数，提高效率例如 计算ln2的近似值，要求误差不超过510 算法: 由 1111121234()lnnn 绝对误差限11 n 由51011 n1105 n得nxxxxxnn 132) 1(.32)1ln( 第28页/共35页算法 129 ) 12(1.951931132311311ln2lnnn绝对误差限899) 12(13291119) 12(132 nnnn 由510 5 n得224111ln2 (1)13521nxxxxxxn第29页/共35页又如计算n次多项式的值0111.)(axaxaxaxpnnnnn 再作线性组合再作线性组合先计算先计算,.,.32nxxxa需2n-1次乘法运算，0121).)(.()(axaxaxaxaxpnnnn n次加法运算，2n+1个存储单元需n次乘法运算，n次加法运算，n+2个存储单元按按秦秦九九韶韶算算法法. b第30页/共35页1.4.5.选用数值稳定性好的算法.问题：什么叫数值稳定性好的算法？舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法,稳定性好指的是误差可控范围可以很小。第31页/共35页介绍MATLAB matlab语言是由美国的Clever Moler博士于1980年开发的 设计者的初衷是为解决“