数字图像处理10PPT课件

1、CH10 傅立叶变换及其应用 一、一维连续傅立叶变换 二、二维连续傅立叶变换 三、一维离散傅立叶变换 四、二维离散傅立叶变换 五、傅立叶变换性质 六、线性系统和傅立叶变换 七、数字图像处理和傅立叶变换 要点总结 上机实习题第1页/共63页1 一维连续傅立叶变换 引子信号（波）的三种表示方法第1种表示方法第第2 2种表示方法种表示方法第2页/共63页1 一维连续傅立叶变换 第3种表示方法1/2Pi1/2Pi1/Pi1/Pi1 12 2频率频率幅值幅值第3页/共63页1 一维连续傅立叶变换 思考 如何把任意波形的信号表达成不同频率基波的组合？ 在上一章中，不同频率的基波（正弦或余弦信号）表现为复域

2、上的调谐信号； 因此：问题转化成如何把任意波形的信号表达成复数域上不同角速度的调谐信号之和. 22cos 2sin 21jutx teutjutj其中第4页/共63页请仔细思考F(u)函数的形式.1 一维连续傅立叶变换 1）变换 22221tanjuxjuxxf xF uf x edxR ujI uF uf xf xF u eduF uf xF uRuIuI uuR uF uf x定义实变量 的连续可积函数的傅立叶变换为从中恢复，定义为傅立叶反变换 记幅度 相角 幅度函数又称为的傅立叶谱第5页/共63页1 一维连续傅立叶变换 例10-1：为下图所示的简单函数f(x)，求其傅立叶变换F(u)。

3、2220022122sinsinjuxXXjuxjuxjuXj uXj uXj uXj uXF uf x edxAAedxejuAAeeeejujuAuX euuXF uAXuX解：第6页/共63页1 一维连续傅立叶变换00. 20. 40. 60. 811. 21. 4-1 -0. 8-0. 6-0. 4-0. 20. 2 0. 4 0. 6 0. 811. 2 1. 4x00. 20. 40. 60. 8-4-224u矩矩形形函函数数矩形矩形函数函数的傅的傅立叶立叶谱谱请思考除此之外的第3种表达?XA第7页/共63页1 一维连续傅立叶变换 例10-2：对高斯函数G(t)，求其傅立叶变换F(

4、u)。 高斯函数的傅立叶变换同样是高斯函数。 222222222222ttj uttjutjutjutjuuuTuG teF ueedtedteedteedteedTe第8页/共63页1 一维连续傅立叶变换 22222sinsin12cos 22sin 22tuftf tF ueeuuuuttujuu tftufufftjufufeuf函数高斯矩形脉冲t三角脉冲冲激单位阶跃余弦正弦复指数请课后练习!第9页/共63页1 一维连续傅立叶变换 2）加快运算 2cos2sin2juxf x ef xuxjuxf xf x因为奇函数乘偶函数为奇函数，奇函数乘奇函数为偶函数。而积分对于奇函数为零。因此若为

5、奇函数，只需计算虚数项；若为偶函数，只需计算实数项。第10页/共63页2 二维连续傅立叶变换2222122,tan,jux vyjux vyx yf x yF u vf x y edxdyR u vjI u vF u vf x yf x yF u v edudvF u vR u vI u vI u vu vR u vE u vR u vI u v 定义实变量的连续可积函数的傅立叶变换为从中恢复，定义为傅立叶反变换幅度 相角 能量谱 第11页/共63页2 二维连续傅立叶变换 例10-3：为下图所示的二维函数f(x,y)，求其傅立叶变换F(u,v)。22200,sinsinsinsin,jux v

6、yXYjuxjuyjuXjvYF u vf x y edxdyAedxedyuXvYAXYeeuXvYuXvYF u vAXYuXvY 解：第12页/共63页2 二维连续傅立叶变换00. 511. 5-1. 5-1-0. 50. 511. 5y-1. 5-1-0. 50. 511. 5x00. 20. 40. 60. 8-4-224v-4-224u二维矩形二维矩形函数函数二维矩形二维矩形函数的傅函数的傅立叶谱立叶谱第13页/共63页3 一维离散傅立叶变换 1）一维离散傅立叶变换对 01201201NjuxNxNjuxNxf xNxf xf xx xF uf x eNf xF u e 设离散函数

7、为相应连续函数取 个间隔的取样值。离散函数的傅立叶变换对为注意注意: 1/N并没有固定位置并没有固定位置.第14页/共63页3 3 一维离散傅立叶变换 323240000020222460222369022214,410,00123411,10123412,20123413,301234jjuxxjjejjjjjjNF uf x euFfefefefeuFfefefefeuFfefefefeuFfefefefe取展开为第15页/共63页3 一维离散傅立叶变换 例：一维离散函数如下,求其离散傅立叶变换. 332240001,11,21,3111401,10,20,30uxuxjjNxxf xff

8、ffF uf x eeNFFFF第16页/共63页3 一维离散傅立叶变换 例：对连续sinc函数的不同采样，导致的不同离散傅立叶变换。 1）采样10个点； 2）采样100个点。第17页/共63页3 一维离散傅立叶变换下标从下标从0,1扩展到扩展到0,10第18页/共63页3 一维离散傅立叶变换下标从下标从0,1扩展到扩展到0,100第19页/共63页3 一维离散傅立叶变换 2）DFT的矩阵表示法 000030220233903221,0011122433jjjjjjjjjFWfNeeeeFfFfeeeeFfeeeeFfeeee考虑到记作第20页/共63页3 一维离散傅立叶变换000001230

9、2020321111111111111WWWWjjWWWWWWWWjjWWWW012301234567N=4和N=8的W各元素N=4和N=8的W各元素步进法步进法第21页/共63页3 一维离散傅立叶变换 N=8时W各元素024613571,1,12121212WWj WWjWjWjWjWj 第22页/共63页3 一维离散傅立叶变换 3）常用一维DFT的几个性质 12,;34uxNNuxNWWuxf xDFTWF uF uNf xf xNf xf xf xW阵是对称阵阵 方向和 方向是对称的；的是周期性,即阵是周期性即为偶函数或奇函数情况当为奇函数，计算时只计算虚部；当为偶函数，计算时只计算实部

10、；阵的可分性参看快速傅立叶变换第23页/共63页3 一维离散傅立叶变换 4）快速傅立叶变换FFT 时域分组：将W中把x不断分解为奇偶表达式； 频域分组：将u不断分解为奇偶表达式。 21022112lguxNjNxnF uf x eNDFTNN NNFFTNN计算复杂度=次乘法+次加法对于幂时有快速算法计算复杂度=第24页/共63页3 一维离散傅立叶变换 102 12 1212002 12 1220022221 :1122221212222121212222mNuxNxNNuxuxNNxxNNuxuxuNNNxxueNou NeNoNf xfxfxF uf x WNfx WfxWNNfx Wfx

11、WWNNF uW F uNNNF uFuWFu幂，分解为和注意x的取值范围第25页/共63页3 一维离散傅立叶变换 2222,221222eeooNju NuNuujuNNNNNNNueNoeoNNFuF uFuF uWW WW eW eWNF uF uW F uFFx 因此和 中的 继续分解，直到 点。07030100FFFFFFFf第26页/共63页3 一维离散傅立叶变换 蝶形图 显然计算一次蝶形需1次乘法和2次加（减）法。aba+bwa-bww2222/2log22loglog2mNDFTNNNmNNNNN对于点的，每轮有个蝶形，总共有个蝶形。总共有次乘法和加法。第27页/共63页3 一

12、维离散傅立叶变换 比特倒序第1次分奇偶第1次分奇偶第2次分奇偶第2次分奇偶第3次分奇偶第3次分奇偶x x0 0 x x1 1x x2 2x x3 3x x4 4x x5 5x x6 6x x7 7x x0 0 x x2 2x x4 4x x6 6x x1 1x x3 3x x5 5x x7 7x x0 0 x x4 4x x2 2x x6 6x x1 1x x5 5x x3 3x x7 7x x0 0 x x4 4x x2 2x x6 6x x1 1x x5 5x x3 3x x7 7第28页/共63页4 4 二维离散傅立叶变换11200112001,0,1,2,1;0,1,2,1,0,1,2

13、,1;0,1,2,1.MNjux M vy NxyMNjux M vy NuvF u vf x y eMNuMvNf x yF u v exMyNMN容易将一维离散傅立叶变换推广到二维情况式中：式中：在数字图象处理中，图象一般取方形，即第29页/共63页5 傅立叶变换性质 1）加法定理 时域或空域内的相加对应于频域内的相加。 22222 jutjutjutjutjutF uf t edtG ug t edtr tf tg tR uf tg tedtf t edtg t edtF uG u设有两个傅立叶变换对若则第30页/共63页5 傅立叶变换性质00. 20. 40. 60. 8-4-224t

14、00. 20. 40. 60. 811. 21. 41. 6-4-224u-1-0. 8-0. 6-0. 4-0. 200. 20. 40. 60. 81-4-224t00. 20. 40. 60. 811. 21. 41. 61. 8-4-224x00. 20. 40. 60. 8-4-224t11. 21. 41. 61. 822. 22. 42. 6-4-2024u高斯函数冲激函数和原点为原点为0,1第31页/共63页5 傅立叶变换性质 2）位移定理 函数位移不改变傅立叶变换的幅值。 222222jvtjv t ajvajv t ajvajvaF vf ta edtf ta eedtef

15、 ta edteFvFvf t其中，为的傅立叶变换第32页/共63页5 傅立叶变换性质第33页/共63页5 傅立叶变换性质 3）卷积定理 时域（或空域）中的卷积等价于频域的乘积。 2221jutjutjuxF f tg tf x g tx dxedtf xg tx edtdxf x eG u dxF u G u 因为任何函数冲激函数的卷积保持不变，因此可证明冲激函数的傅立叶变换是单位演算三角脉冲的演算三角脉冲的傅立叶变换傅立叶变换第34页/共63页5 傅立叶变换性质 4）相似性定理 描述函数自变量尺度变化对其傅立叶变换的作用。 222111jutjutjur aF f atf at edtf

16、at eadtf r edraauFaa第35页/共63页5 傅立叶变换性质00. 20. 40. 60. 8-4-224x00. 20. 40. 60. 811. 21. 41. 6-4-224u00. 20. 40. 60. 8-4-224x0. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 8-4-2024u第36页/共63页5 傅立叶变换性质 5）其他常用性质 （1）线性 （2）可分离性1212,afx ybfx yaF x ybFx y傅立叶变换是一种线性算子F122012011222001,1,1,Njux NxNjuy NyNNjux Njuy NyxF u yNf x y e

17、NF u vF u y eNf x y eeN第37页/共63页5 傅立叶变换性质 （3）周期性和共轭对称性*,F u vF uaN vbNf x yf xaN ybNF u vFuvF u vFuv第38页/共63页5 傅立叶变换性质 （4）旋转不变性00coscos sinsin,xruyrvf rFf rF 引入极坐标第39页/共63页5 傅立叶变换性质 （5）平均值11200112001,100,0,0,0NNxyNNxyf x yf x yNuvFf x yNf x yF二维离散函数平均值定义如下：将代入二维傅立叶定义因此第40页/共63页5 傅立叶变换性质 （6）微分性质 等于傅立

18、叶谱乘以 项，相当于传递函数随频率平方增加的线性系统。 222,22,nmmnf x yxyjujvF u vf x yuvF u v 2时域上的微分对应频域。拉普拉斯对应频域-422uv第41页/共63页6 线性系统和傅立叶变换 1）线性系统术语g(t)G(u)f(t)f(t)F(u)F(u)h(t)h(t)H(u)H(u)h(t)=f(t)*g(t)h(t)=f(t)*g(t)H(u)=F(u)G(u)H(u)=F(u)G(u)f(t)=输入信号f(t)=输入信号F(u)=输入信号的谱F(u)=输入信号的谱g(t)=冲激响应g(t)=冲激响应G(u)=传递函数G(u)=传递函数h(t)=输

19、出信号h(t)=输出信号H(u)=输出信号的谱H(u)=输出信号的谱第42页/共63页6 线性系统和傅立叶变换 2）线性系统辨识 定义：确定系统的冲激响应及传递函数； 方法：输入已知的f(x)，测量输出h(t)，然后通过数字积分计算g(t)。 11H uF u G uG uH uF uF h tH ug tFFF uF f t第43页/共63页6 线性系统和傅立叶变换 例： 2211,sinsinsinf tth ttuuug tFFuuut 输入为输出为第44页/共63页6 线性系统和傅立叶变换-0. 200. 20. 40. 61-4-224u00. 20. 40. 60. 811. 21

20、. 4-1. 5-1-0. 50. 511. 5t00. 20. 40. 60. 8-4-224u00. 20. 40. 60. 811. 21. 4-1. 5-1-0. 50. 511. 5t第45页/共63页6 线性系统和傅立叶变换-0. 200. 20. 40. 61-4-224u00. 20. 40. 60. 811. 21. 4-1. 5-1-0. 50. 511. 5t第46页/共63页6 线性系统和傅立叶变换 例 21 2,010,0 221 2,01 2,1sin, 11 21 2,1sintf tu ttF ujuttuh tttH ujutH uuG uF uug tt 第

21、47页/共63页6 线性系统和傅立叶变换第48页/共63页6 线性系统和傅立叶变换00. 20. 40. 60. 811. 21. 4-1. 5-1-0. 50. 511. 5t-0. 200. 20. 40. 61-4-224u第49页/共63页7 数字图像处理和傅立叶变换 1）频谱的图像显示 谱图像加深对图像的视觉理解，如一幅遥感图像受正弦网纹的干扰，从谱图像中可看出干扰的空间频率并有效去除。,log 1,log 1,F u vD u vF u vKD u vK F u v谱图象：就是把作为亮度显示出来。人的视觉可分辨灰度有限：实用公式常用 系数调整：第50页/共63页7 数字图像处理和傅立叶变换第51页/共63页7 数字图像处理和傅立叶变换采