周期性函数分解的傅里叶级数_第1页
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文档简介

1、周期性函数分解的傅里叶级数周期电压、电流等都可以用一个周期函数表示，即式中T是周期函数的周期，且如果给定的周期函数在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值，那么就可以展开成一个收敛的级数（三角级数）设给定的周期函数，则可展开成 上式中的系数，可按下列公式计算： 这些公式的对导，主要的依据是利用三角函数的定积分的特点。设m.n是任意整数，则下列定积分成立： ， , , , 这种特点陈为三角函数的正交性质。案例来说，如果要确定系数，把式（1）两边各乘以，并对两边取定积分，有以上式右边来看，利用三角函数定积分的公式，不难看出最后只剩下包括的一项，故有：所以 特此结束推广到，有同理

2、，如果用去乘以式（1）的两边后再取积分，则可求得至于，可以对式（1）两边就一个周期求定积分，得从而有，故是在一个周期内的平均值。2方波的傅里叶级数展开式：给定一个周期性信号，其波形如图所示，对一个周期性方波（矩形波）求此信号，的傅里叶级数展开式 的表达式是， ， 按式（2），可求得所需要的个数,即，表示恒定分量为零，因为代表在一个周期内的波形上下面积的代数平均值，因此当波形上下面积相等时，即为零。当k为偶数时， 所以 当k是奇数时，所以 由此求得，如果取上列展开式的三项，分别画出各自的曲线再相加，就可得到如图所示的合成曲线。傅里叶级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周期函数分解为傅里叶级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地代表原函数。从实际运算来看，必须取有限的项数，因此就产生了误差问题。截取项数的多少，视要求而定。这里涉及到级数收敛的快慢问题。或者说，就是相续项数的比值大小的问题，如果级数收敛很快，只取级数前几项就够了，五次谐波一般可以略去。而像图1所示的矩形波（方波）其收敛速度比较慢。例如取或，则

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